Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Transkript

1 Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen 16x Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr z 91 Uppgift nr 5 Bryt ut det som går ur 30a 4-35a 7 Uppgift nr 6 63 y 46 Uppgift nr 7 Huvudräkna lg lg90 Uppgift nr 8 Förenkla 9 + 5(7x - 4) - 4(3-4x) Uppgift nr y 888 Uppgift nr z 10 Uppgift nr 11 Multiplicera (4x + 3)(2x - 2) Uppgift nr 12 A/ Vilket värde har y i följande uttryck? 8 y 8 y 8 y 8 15 B/ Vilket värde har x i följande uttryck? 6 x 6 x 6 Uppgift nr 13 lg y 5 Uppgift nr z 0,1 Uppgift nr 15 Temperaturen T ( o C) på en dryck i en termos är en funktion av tiden t (timmar). T(t) 78 0,95 t + 14 A/ Beräkna temperaturen på drycken då den hälls i termosen. B/ Tolka talet 14 C/ Tolka talet 0,95 Uppgift nr 16 Multiplicera (a + b) 2 Uppgift nr 17 Skriv (2n) 4 utan parentes Uppgift nr 18 Skriv p -1 utan att använda minustecken Sid 1

2 Höstlov Uppgift nr 19 Innevånarantalet i en ort förändras exponentiellt från ca personer år 1986 till ca personer år Hur många innevånare kan orten beräknas ha ungefär år 2004 med samma exponentiella tillväxt? Uppgift nr 20 Skriv uttrycket 2 utan rotsymbolen. Uppgift nr 21 Skriv lg6 + lg2 som en logaritm Uppgift nr 22 Motivera med ett exempel varför man definierat att x 0 1. Uppgift nr 23 Multiplicera 7e -6 6e 6 Uppgift nr 24 Ange som ett tal exakt 10 Uppgift nr x 82 Uppgift nr 26 Huvudräkna lg lg40 lg 473 Uppgift nr 27 Skriv 2 lg3 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr 28 Förenkla 11n 8 + 7n 8-5n 8 Uppgift nr 30 Bryt ut det som går ur 5x - x² Uppgift nr 31 Multiplicera parenteserna (a + b)(x + y) Uppgift nr 32 Skriv uttrycket x 3 i faktorform. ( Faktorisera ) Uppgift nr 33 Bryt ut det som går ur x² + 6x Uppgift nr 34 Skriv talet 64,8 i potensform med 10 som bas. Uppgift nr 35 Skriv lg18 - lg2 som en logaritm Uppgift nr 36 Ange lg 10 Uppgift nr y 1 Uppgift nr 38 Skriv uttrycket a 2 + 2ab + b 2 med hjälp av första kvadreringsregeln som en multiplikation mellan två parenteser. Uppgift nr 39 Multiplicera (a - b) 2 Uppgift nr 29 Ange lg Sid 2

3 Höstlov Uppgift nr 40 Beloppet 6800 kr har på ett sparkonto ökat till 10497,85 kr. Hur lång tid har kapitalet vuxit med ränta på ränta om räntesatsen hela tiden varit 6,4%? Uppgift nr 41 Faktorisera a 2 - b 2 Uppgift nr 42 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + y) Uppgift nr 43 Huvudräkna lg50 + lg20 Uppgift nr 44 Ange lg 0,0001 Uppgift nr ,14 x 4366 Avrunda svaret till tre decimaler. Uppgift nr ,18 x Avrunda svaret till tre decimaler. Uppgift nr 47 Förenkla uttrycket g 7 + g 7 Uppgift nr 48 Faktorisera x 2-4y 6 Uppgift nr 50 Skriv 3 lg4 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr 51 Dividera t-8 t -3 Uppgift nr ,19 z 9200 Avrunda svaret till tre decimaler. Uppgift nr 53 Beloppet 6900 kr har på ett sparkonto ökat till 10350,83 kr. Hur lång tid har kapitalet vuxit med ränta på ränta om räntesatsen hela tiden varit 5,2%? Uppgift nr 54 A/ Vilket tal skall stå i stället för frågetecknet för att uttrycket x² - 20x +? skall kunna skrivas som ett binom i kvadrat. B/ Vilket blir binomet? Uppgift nr y 26 Uppgift nr 56 Ge en lösning till ekvationen x 3 8 Uppgift nr 57 Huvudräkna lg lg400 Uppgift nr 49 Multiplicera potenserna g 2 g 3 Sid 3

4 Höstlov Uppgift nr 58 Innevånarantalet i en ort förändras exponentiellt från ca personer år 1987 till ca personer år Hur många innevånare kan orten beräknas ha ungefär år 2000 med samma exponentiella tillväxt? Uppgift nr y 831 Uppgift nr 60 Beskriv vad som menas med 6 1/18 Uppgift nr 61 Multiplicera in i parentesen 2(3x - 5) Uppgift nr 62 Faktorisera a 2-2ab + b 2 med hjälp av andra kvadreringsregeln. Uppgift nr 63 Skriv 4 lg3 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr x 797 Uppgift nr 68 Skriv x 0 enklare där x 0 Uppgift nr 69 Ge en lösning till ekvationen x Svara både exakt och avrundat till tre decimalers noggrannhet. Uppgift nr 70 Multiplicera x 7 x x 6 Uppgift nr x 59 Uppgift nr z 327 Uppgift nr x 111 Uppgift nr 65 Huvudräkna lg40 + lg25 Uppgift nr 66 Beloppet 8000 kr har på 9 år ökat med ränta på ränta till 14707,67 kr. Hur stor har räntesatsen varit, om den varit lika stor hela tiden? Sid 4

5 Uppgift nr 1 (Flytta om termerna) 13x 3 434,2 [Dividera båda termerna med koefficienten framför x 3 (dvs 13)] x 3 33,4 Svar: x 3 33,4 x 3,22 Uppgift nr 2 Svar: 3 lga + lgb lg(a B) ger lg20 + lg50 lg(20 50) lg Uppgift nr 3 [Dividera först båda termerna med koefficienten framför x 3 (dvs 16)] x 3 82 Svar: x 3 82 x 4,34 Uppgift nr 4 lg 91 (10 lg 805 ) 2 z 10 lg z lg z lg 805 lg 91 2 z lg lg 805 Svar. z lg 91 2 lg 805 lg 91 2 lg 805 Uppgift nr 5 ( 0,337) Svar: 5a 4 (6-7a 3 ) (Båda temerna innehåller minst fyra faktorer a. a 4 kan alltså brytas ut. Båda termerna är också delbara med 5.) Uppgift nr 6 lg 46 (10 lg 63 ) y 10 lg y lg y lg 63 lg 46 y lg 63 lg 63 lg 46 lg 63 Svar: y Uppgift nr 7 Svar: 2 lg 46 lg 63 ( 0,924) lga - lgb lg A B ger lg lg90 lg lg100 2) Uppgift nr 8 (Multiplicera först in talen i parenteserna.) 9 + (35x - 20) - (12-16x) (Tag bort parenteserna. Kontrollera alla tecken.) x x (Räkna ihop x-termerna för sig och kända talen för sig.) Svar: x (eller 51x - 23) Uppgift nr 9 lg 888 (10 lg 219 ) -2 y 10 lg y lg y lg 219 lg y lg 219 -lg y lg lg 219 Svar. y - lg lg 219 -lg lg 219 ( -0,630) Uppgift nr 10 ( ) Svar: z 1 (En ekvation där den sökta variabeln finns som exponent, kallas exponentialekvation. ) Uppgift nr 11 (Första gånger första, Första gånger andra... ger först) 8x 2-8x + 6x - 6 Svar: 8x 2-2x - 6 (En parentes med två termer kallas ett BINOM. Här multipliceras alltså två olika binom.) Uppgift nr 12 A/ 8 15 kan skrivas Svar: y 5 B/ 6 kan skrivas /2 + 1/2 6 1/2 6 1/2 Svar: x 1/2 (x 0,5) [Talet, som gånger sig själv blir 6 skrivs 6. Tydligen kan det också skrivas 6 1/2. 6 skrivs tydligare 2 6 (kvadrat)roten ur 6.] Uppgift nr 13 ( ) Svar: y Uppgift nr 14 (10-1 0,1) Svar: z -1 Sid 1

6 Uppgift nr 15 A/ Då drycken hälls i är tiden t 0. T(0) 78 0, T(0) T(0) 92 Starttemperaturen är 92 ( o C) B/ 14 är omgivningens temperatur som drycken närmar sig vartefter tiden (t) ökar så att 0,95 t går mot noll. C/ 0,95 är en förändringsfaktor som, eftersom den är mindre än ett, visar snabbheten på ett exponentiellt avtagande mot 14 C. Uppgift nr 16 [Uppgiften innebär att multiplicera (a + b) (a + b).] a 2 + ab + ab + b 2 Svar: a 2 + 2ab + b 2. (Svaret blir Första i kvadrat _ plus två gånger första gånger andra _ plus andra i kvadrat. Kallas FÖRSTA KVADRERINGSREGELN. Den kan användas som regel vid multiplikation av ett binom med sig själv när det är plustecken i parenteserna.) Uppgift nr 17 [(2n) 4 2n 2n 2n 2n n n n n 16n 4 ] Svar: 16n 4 Uppgift nr 18 Svar: 1 p (Enligt definition) Uppgift nr 19 Grundformeln A t A 0 e k t ger först konstanten k vid denna tillväxt. Antag att t 0 år Då är t 11 år 1997 (2004 är t18) e k 11 Dividera båda sidor med och e-logga sedan kvoten i vänsterledet e 0, e k 11 k 0, Formeln igen med t 18 A e 0, Svar: Antalet är inv. Uppgift nr 20 Svar: 2 kan skrivas 2 1/2 eller 2 0,5. Uppgift nr 21 Svar: lg12 [Summan av logaritmerna för två tal är logaritmen för talens produkt dvs lga + lgb lg(a b)] Uppgift nr 22 Använder man potenslagen för division, am a n a m-n, tex på bråket x7 x 7 blir svaret x 0. Eftersom det är ett tal dividerat med sig själv är rätta svaret 1. Uppgift nr 23 [7 e -6 6 e e -6 e 6 42 e e ] Svar: 42 Uppgift nr 24 [Enligt definitionen av lg (vad som menas med lg).] Svar: 10 lg Uppgift nr 25 lg 82 (10 lg 15 ) x 10 lg x lg x lg 15 lg 82 x lg 15 lg 15 lg 82 lg 15 Svar: x Uppgift nr 26 Svar: 2 lg 82 lg 15 ( 1,627) lga - lgb lg A B ger lg lg40 lg lg100 2) Uppgift nr 27 Svar: lg9 [Multipliceras en logaritm för ett tal med en faktor, fås logaritmen för talet upphöjt i faktorn dvs a lgb lg(b a )] Uppgift nr 28 Svar: 13n 8 [Termer av samma slag kan räknas ihop. Talet framför en potens kallas KOEFFICIENT. (Här talet 13) 13n 8 är ett kortare skrivsätt för 13 n 8.] Uppgift nr 29 [lg utläses (tio)logaritmen för Med lg menas det tal 10 skall upphöjas i för att svaret skall bli ( )] Svar: lg Sid 2

7 Uppgift nr 30 Svar: x(5 - x) (Båda termerna innehåller variabeln x, som alltså kan brytas ut. Som kontroll kan x multipliceras in igen.) Uppgift nr 31 Svar: ax + ay + bx + by [Båda termerna i första parentesen multipliceras med var och en av termerna i den andra. ( Första gånger första_ Första gånger andra_ Andra gånger första_ Andra gånger andra )] Uppgift nr 32 Svar: x 3 är ett kortare skrivsätt för multiplikationen x x x Uppgift nr 33 Svar: x(x + 6) (Båda termerna innehåller variabeln x, som alltså kan brytas ut. Som kontroll kan x multipliceras in igen.) Uppgift nr 34 Svar: 64,8 kan skrivas 10 lg 64,8 10 1,812 (Enligt definitionen av lg) Uppgift nr 35 Svar: lg9 (Differensen mellan logaritmerna för två tal är logaritmen för talens kvot dvs lga - lgb lg a b ) Uppgift nr 36 [lg 10 utläses (tio)logaritmen för 10. Med lg 10 menas det tal 10 skall upphöjas i för att svaret skall bli 10. ( )] Svar: lg 10 1 Uppgift nr y 10 0 (Baserna är nu 10 i båda leden. Eftersom leden är lika måste exponenterna vara lika.) 5y 0 5y Svar: y 0 Uppgift nr 38 Svar: (a + b) (a + b) (Första kvadreringsregeln baklänges. Uttrycket har faktoriserats. Multiplikationstecknet behöver inte skrivas ut.) Uppgift nr 39 [Uppgiften innebär att multiplicera parenteserna (a - b) (a - b).] a 2 - ab - ab + b 2 Svar: a 2-2ab + b 2. (Svaret blir Första i kvadrat_ minus två gånger första gånger andra _ plus andra i kvadrat. Kallas ANDRA KVADRERINGSREGELN. Den kan användas som regel vid multiplikation av ett binom med sig själv när det är minustecken i parenteserna.) Uppgift nr 40 Antag att tiden varit x år. Räntesats 6,4% ger förändringsfaktor 1, ,064 x 10497,85 (Div. båda leden med 6800 så att 1,064 x blir ensamt i VL) 1,064 x 10497, ,064 x 1,5438 lg 1, x lg 1, x lg 1,064 lg 1,5438 x lg 1,5438 lg 1,064 Svar: Beloppet har förräntat sig i cirka 7 år. Uppgift nr 41 Svar: (a + b)(a - b) (Konjugatregeln baklänges ) Uppgift nr 42 Svar: 8x + 2xy [Först blir det (8x + 2xy). Parentesen har ett osynligt plustecken framför sig. Den kan tas bort.] Uppgift nr 43 Svar: 3 lga + lgb lg(a B) ger lg50 + lg20 lg(50 20) lg Uppgift nr 44 [lg 0,0001 utläses (tio)logaritmen för 0,0001. Med lg 0,0001 menas det tal 10 skall upphöjas i för att svaret skall bli 0,0001. (10-4 0,0001)] Svar: lg 0, Sid 3

8 Uppgift nr 45 (Dividera båda leden med 3700 och förkorta) 1,14 x 1,18 (Skriv talen med hjälp av tiologaritmer) lg 1,18 (10 lg 1,14 ) x 10 lg 1,18 10 x lg 1,14 10 (Lika baser betyder att exponenterna måste vara lika) x lg 1,14 lg 1,18 x lg 1,18 lg 1,14 Svar: x 1,263) lg 1,18 lg 1,14 ( Uppgift nr 46 (Dividera båda leden med 9500 och förkorta) 1,18 x 1,3 (Skriv talen med hjälp av tiologaritmer) lg 1,3 (10 lg 1,18 ) x 10 lg 1,3 10 x lg 1,18 10 (Lika baser betyder att exponenterna måste vara lika) x lg 1,18 lg 1,3 x lg 1,3 lg 1,18 Svar: x 1,585) lg 1,3 lg 1,18 ( Uppgift nr 47 Svar: 2g 7 (Med plus- eller minustecken emellan kallas talen TERMER. I detta fall g 7 - termer.) Uppgift nr 48 Svar: (x + 2y 3 )(x - 2y 3 ) (Konjugatregeln baklänges ) Uppgift nr 49 Svar: g 5 [Uppgiften kan skrivas g g g g g g 2+3 När man multiplicerar potenser med samma bas adderar man alltså exponenterna. Kan skrivas som en formel ( potensräkningslag ) a m a n a m+n ] Uppgift nr 50 Svar: lg64 [Multipliceras en logaritm för ett tal med en faktor, fås logaritmen för talet upphöjt i faktorn dvs a lgb lg(b a )] Uppgift nr 51 ( t-8 t -3 t -8-(-3) t -8+3 t -5 1 t 5 ) Svar: t -5 ( 1 t 5 ) Uppgift nr 52 (Dividera båda leden med 8000 och förkorta) 1,19 z 1,15 (Skriv talen med hjälp av tiologaritmer) lg 1,15 (10 lg 1,19 ) z 10 lg 1,15 10 z lg 1,19 10 (Lika baser betyder att exponenterna måste vara lika) z lg 1,19 lg 1,15 z lg 1,15 lg 1,19 Svar: z 0,803) lg 1,15 lg 1,19 ( Uppgift nr 53 Antag att tiden varit x år. Räntesats 5,2% ger förändringsfaktor 1, ,052 x 10350,83 (Div. båda leden med 6900 så att 1,052 x blir ensamt i VL) 1,052 x 10350, ,052 x 1,5001 lg 1, x lg 1, x lg 1,052 lg 1,5001 x lg 1,5001 lg 1,052 Svar: Beloppet har förräntat sig i cirka 8 år. Uppgift nr 54 Svar: A/? är talet 100 (kvadraten på hälften av talet framför x). B/ Binomet blir x - 10 [(x - 10)² x² - 20x + 100] Uppgift nr 55 lg 26 (10 lg 61 ) y 10 lg y lg y lg 61 lg 26 y lg 61 lg 61 lg 26 lg 61 Svar: y lg 26 lg 61 ( 0,793) Uppgift nr 56 Svar: x 2 [Vi söker ett tal, som gånger sig själv två gånger ger svaret Lösningen kan skrivas 3 8 (tredjeroten ur 8) eller 8 1/3. På miniräknaren tryck 8 _ upphöjt i _ PARENTES _ ett _ dividerat med _ tre _ SLUT PARENTES _ är lika med.] Sid 4

9 Uppgift nr 57 Svar: 2 lga - lgb lg A B ger lg lg400 lg lg100 2) Uppgift nr 58 Grundformeln A t A 0 e k t ger först konstanten k vid denna tillväxt. Antag att t 0 år Då är t 5 år 1992 (2000 är t13) e k 5 Dividera båda sidor med och e-logga sedan kvoten i vänsterledet e -0, e k 5 k -0, Formeln igen med t 13 A e -0, Svar: Antalet är inv. Uppgift nr 59 lg y 10 Svar: y lg 831 ( 2,920) Uppgift nr 60 Svar: 6 1/18 är talet, som multiplicerat med sig själv 17 gånger, ger svaret 6. Uppgift nr 61 Svar: 6x - 10 [Först blir det (6x - 10). Parentesen har ett osynligt plustecken framför sig. Den kan tas bort.] Uppgift nr 62 Svar: (a - b)(a - b) Uppgift nr 63 Svar: lg81 [Multipliceras en logaritm för ett tal med en faktor, fås logaritmen för talet upphöjt i faktorn dvs a lgb lg(b a )] Uppgift nr 64 lg x 10-2x lg 111 2x -lg 111 2x 2 -lg Svar: x - lg ( -1,023) Uppgift nr 65 Svar: 3 lga + lgb lg(a B) ger lg40 + lg25 lg(40 25) lg Uppgift nr 66 Antag att förändringsfaktorn från ett år till nästa varit x x ,67 Div. båda leden med 8000 så att x 9 blir ensamt i VL x , x 9 1,83846 x 1, /9 x 1,0700 Denna förändringsfaktor innebär cirka 7,0 % ökning. Svar: Räntesatsen har varit ungefär 7,0 %. Uppgift nr 67 lg 797 (10 lg 370 ) 5 x 10 lg x lg x lg 370 lg x lg lg 370 Svar. x lg lg 370 lg lg 370 ( 0,226) Uppgift nr 68 Svar: 1 (En definition för att potenslagarna alltid skall fungera.) Uppgift nr 69 Svar: x 226 1/4 x 3,877 [Vi söker talet, som gånger sig själv 3 gånger, ger svaret 226. När exponenten är ett jämnt tal, vilket den är här (4), är även motsatta negativa tal en lösning.] Uppgift nr 70 Svar: x 14 [Variabel utan exponent har 1 (en osynlig etta ) som exponent x ] Uppgift nr 71 lg 59 (10 lg 94 ) x 10 lg x lg x lg 94 lg 59 x lg 94 lg 94 lg 59 lg 94 Svar: x lg 59 lg 94 ( 0,897) Sid 5

10 Uppgift nr 72 lg 327 (10 lg 873 ) -6 z 10 lg z lg z lg 873 lg z lg 873 -lg z lg lg 873 Svar. z - lg lg 873 -lg lg 873 ( -0,142) Sid 6