Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
|
|
- Anna Maja Arvidsson
- för 10 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse problem i flervariabelanalysen, då sådana ofta reduceras till ett ekvationssystem. Linjära ekvationsystem tillhör förkunskaperna från linjär algebran. Metoden för att lösa icke-linjära ekvationssystem är i princip densamma (successiv elimination). Dock blir de konkreta räkningarna ofta mer komplicerade. 1/1 system (dvs vanliga ekvationer) En linjär ekvation är en ekvation av slaget 3x + 8 = 0. Tom grundskolebarn hittar lätt lösningen x = 8/3, så låt oss rask gå vidare till den enklaste icke-linjära ekvationen. Exempel 1.1. Betrakta andragradsekvationen 2x 2 + 6x + 4 = 0. Något äldre grundskolebarn löser även denna: x 2 + 3x + 2 = 0 (x + 3/2) 2 9/4 + 2 = 0 (x + 3/2) 2 = 1/4 = (1/2) 2 x + 3/2 = ±1/2 x = ( 3 ± 1)/2 och finner de två lösningarna x = 2 och x = 1. Vad gjorde vi? Först snyggade vi till ekvationen genom att dela med koefficienten 2 framför x 2. Sedan kvadratkompletterades, dvs andra kvadreringsregeln (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 användes baklänges. (Kontroll: (x + 3/2) 2 9/4 = x 2 +3x+9/4 9/4 = x 2 +3x.) Givetvis avslutar vi med att KONTROLLERA svaret: t ex x = 2 ger att 2x 2 + 6x + 4 = = 0. Och x = 1 ger... Mer avancerade icke-linjära ekvationer går inte alltid att snyggt lösa exakt med penna och papper. Ibland kan följande trick vara användbart. Exempel 1.2. Betrakta den icke-linjära ekvationen xe x x 2 + 2e x = 0. Efter lite stirrande på ekvationen ser man något speciellt: den kan skrivas (e x 1)(x + 2) = 0. Eftersom VL är 0 om och endast om en av faktorerna är 0, kan vi falluppdela. Fall 1: e x 1 = 0, dvs x = ln(1) = 0. Fall 2: x + 2 = 0, dvs x = 2. Ekvationen har således de två lösningarna x = 0 och x = 2. Låt oss komma ihåg detta ANVÄNDBARA TRICK för icke-linjära ekvationer. Närhelst en ekvation f(x) = 0 kan skrivas f 1 (x)f 2 (x) = 0, där faktorerna f 1, f 2 är enklare uttryck än f själv, bör detta göras. (Notera att detta bara är användbart då HL är 0.) Detta därför att lösningarna till f(x) = 0 då utgörs av lösningarna till f 1 (x) = 0 samt lösningarna till f 2 (x) = 0. 2/2 system 2/2 system löses genom eliminering av en av variablerna och reducering till 1/1 system. Vi repeterar det linjära fallet (dvs då ekvationerna är på formen summa av variabler gånger konstanter= konstant ):
2 2 Exempel 2.3. Betrakta ekvationssystemet 3x 2y = 7, 2x + 3y = 9. Välj en variabel och en ekvation, t ex x i andra ekvationen. Lös ut denna: x = (9 3y)/2. Sätt in i den andra ekvationen för att eliminera x: 3(9 3y)/2 2y = 7. Strategin: vi löser nu detta 1/1 system, erhåller lösningar y, vilka i sin tur ger motsvarande x = (9 3y)/2. Räkningarna: 27 9y 4y = = 13y y = 1 x = (9 3y)/2 = 6/2 = 3. Lösningen är alltså (x, y) = (3, 1). Vi KONTROLLERAR: 3x 2y = 9 2 = 7 och 2x + 3y = = 9. Låt oss nu genomföra samma typ av reducering för icke-linjära system. Först ett enkelt system: Exempel 2.4. Betrakta ekvationssystemet xy = 1, y x = 2. Välj en variabel att lösa ut ur en ekvation. Det rekommenderas att välja den som går lättast att lösa ut, t ex y i den andra ekvationen i detta exempel. Vi får y = x + 2, som vi använder för att eliminera y i den första ekvationen: x(x + 2) = 1. Detta är en andragradsekvation, så lösningen till detta 1/1 system finnes med hjälp av kvadratkomplettering: x 2 + 2x = 1 (x + 1) 2 1 = 1 x + 1 = ± 2 x = 1 ± 2. Den sökta lösningen till 2/2 systemet fås genom att använda y = x + 2 för att hitta motsvarande y-värde för vart och ett av x-lösningarna. Vi får de två lösningarna (x, y) = ( 1 2, 1 2) och (x, y) = ( 1 + 2, 1 + 2). Beroende på hur man går tillväga för att lösa systemet, kan man ibland råka ut för falska lösningar, dvs att vissa av de erhållna punkterna inte löser det ursprungliga icke-linjära systemet. Därför är det dubbelt viktigt att KONTROLLERA svaret. Dels för att upptäcka räknefel, och dels för att upptäcka (och kasta bort) falska lösningar. I vårt exempel: xy = ( 1 2)(1 2) = 2 1 (konjugatregeln!) och y x = (1 2) ( 1 2) = 2, så vi har två äkta lösningar.
3 3 Ett typiskt exempel på en ekvation där falska lösningar kan uppkomma är 2x 2 4 = x. Lösningsgång: 2x 2 4 = x 2 x 2 = 4 x = ±2. Här är endast x = 2 en äkta lösning, för kontroll av x = 2 ger att 2x 2 4 = 4 = +2 2 = x. (OBS: a betecknar alltid den POSITIVA ROTEN till x 2 = a.) Problemet här ligger i att 2x 2 4 = x medför 2x 2 4 = x 2, men inte omvänt. (Ekvationerna är inte ekvivalenta.) Nu ett lite svårare icke-linjärt 2/2 system: Exempel 2.5. Betrakta ekvationssystemet x 3 + 2x 2 y xy 2y 2 = 0, xy + y 3 = 9x 3. Varken x eller y är enkel att lösa ut ur andra ekvationen; för detta behövs tredjegradsekvationer av formen t 3 + at + b = 0 lösas. Samma gäller x i första ekvationen. y å andra sidan kan lösas ut ur första ekvationen genom att lösa en andragradsekvation, men räkningarna blir svåra med komplicerade kvadratrötter. Låt oss istället använda FAKTORISERINGS- TRICKET, för stirrar man på första ekvationen så ser man att den kan skrivas (x 2 y)(x + 2y) = 0. Vi delar upp i två fall: Fall 1: y = x 2. Vi använder denna ekvation för att eliminera y i den andra ekvationen, och får x 3 + x 6 = 9x 3, eller ekvivalent att x 3 ( 8 + x 3 ) = 0. Ytterligare uppdelning i delfall: Fall 1.1: x = 0, vilket ger y = x 2 = 0. Fall 1.2: 8 + x 3 = 0, vilket ger x = 2. (Notera att tredjegradsekvationen x 3 = a alltid har exakt en reell lösning, till skillnad från andragradsekvationen x 2 = a.) Motsvarande y-värde blir y = x 2 = 4. Fall 2: x = 2y. Vi använder denna ekvation för att eliminera x i den andra ekvationen, och får 2y 2 + y 3 = 72y 3, eller ekvivlant att y 2 ( y) = 0. Ytterligare uppdelning i delfall: Fall 2.1: y = 0, vilket ger x = 2y = 0. Fall 2.2: y = 0, vilket ger y = 2/73. Motsvarande x-värde blir x = 2y = 4/73. Sammanfattningvis har vi funnit de tre lösningarna (x, y) = (0, 0), (x, y) = (2, 4) och (x, y) = ( 4/73, 2/73). Vi avslutar med att kontrollera att dessa tre faktiskt är lösningar till det ursprungliga ekvationssystemet! 3/3 system 3/3 system löses genom att eliminera en av variablerna och reducera 3/3 systemet till ett 2/2 system, som sedan i sin tur löses enligt ovan genom reducering till 1/1 system, dvs en ekvation i en variabel. Exempel 3.6. Betrakta ekvationssystemet yz 2z + x = 2, xz 3z + y = 4, xy 4x y + 3z = 4.
4 4 T ex variabeln x är lätt att lösa ut ur första ekvationen: x = 2 yz + 2z. Använd denna ekvation för att eliminera x i de två andra ekvationerna: (2 yz + 2z)z 3z + y = 4, (2 yz + 2z)(y 4) y + 3z = 4. För att lösa detta 2/2 genom reducering till 1/1 system är det enklast att lösa ut y ur första eller z ur andra ekvationen. (De två andra valen av variabler och ekvationer kräver lösning av andragradsekvationer, vilket vi gärna vill undvika innan vi kommer till 1/1 systemet.) Läsaren rekommenderas att genomföra denna räkning. Vi ska här lösa systemet på annat sätt för att återigen illustrera nyttan av FAKTORISERINGSTRICKET. Genom att stanna upp lite i räkningarna och stirra lite på ekvationerna ser man att de två ekvationerna tursamt summeras till (2 yz + 2z)(y 4 + z) = 0. Falluppdelning följer. Fall 1: 2 yz+2z = 0. Lös ut y: y = 2+2/z. Eliminering av y i t ex första ekvationen i 2/2 systemet ger 3z /z = 4. Denna maskerade andragradsekvation löser vi: 3z 2 2z + 2 = 0 z 2 + 2z/3 2/3 = 0 (z 1/3) 2 = 2/3 + 1/9 = 7/9 z = (1 ± 7)/3. Detta ger sedan y = 2 + 2/z = 2 + 6/(1 ± 7) = 2 (1 7) = 1 ± 7 genom förlängning med konjugat, och x = 2 yz + 2z = 0. Fall 2: z = 4 y. Eliminering av z i t ex första ekvationen i 2/2 systemet ger (2 4y+y y)(4 y) 12+3y+y = 4, dvs (10 6y+y 2 )(4 y) 16+4y = 0. Här ser det svårt ut och vi fruktar en tredjegradsekvation. Men stannar vi upp lite och stirrar på ekvationen så ser vi den gemensamma faktorn 4 y, och vi faktoriserar ekvationen till (6 6y + y 2 )(4 y) = 0. Ytterligare uppdelning i fall: Fall 2.1: y = 4. Detta ger z = 4 y = 0 och x = 2 yz + 2z = 2. Fall 2.2: y 2 6y + 6. Här kvadratkompletterar vi: (y 3) 2 = = 3 y = 3 ± 3. Detta ger z = 4 y = 1 3 och x = 2 yz + 2z = 2 + z(2 y) = 2 + (1 3)( 1 3) = 2 + (3 1) = 4. Sammanfattningsvis har vi hittat de fem lösningarna (x, y, z) = (0, 1 + 7, (1 + 7)/3), (x, y, z) = (0, 1 7, (1 7)/3), (x, y, z) = (2, 4, 0), (x, y, z) = (4, 3 + 3, 1 3) och (x, y, z) = (4, 3 3, 1 + 3). Efter dessa omfattande räkningar är det synnerligen motiverat och lätt gjort att kontrollera räkningarna. I själva verket gjorde jag ett slarvfel när jag skrev ned detta som gav x = 0, inte x = 4 för de två sista lösningarna. Låt oss kontrollera att (4, 3 + 3, 1 3) verkligen är en lösning: yz 2z + x = (y 2)z + x = (1 + 3)(1 3) + 4 = = 2, xz 3z + y = (x 3)z + y = 1(1 3) + (3 + 3) = 4, xy 4x y + 3z = (x 1)y 4x + 3z = 3(3 + 3) (1 3) = 4.
5 5 När det gäller lösning av ekvationssystem kan man gå tillväga på olika sätt, och de olika sätten kan leda till olika svåra räkningar. Vi illustrerar detta med en alternativ lösning av 3/3 systemet ovan. Exempel 3.7. I exemplet ovan noterade vi under lösningen att summan av de två sista ekvationerna blir enkel: xz + xy 4x = 0, som faktoriseras till x(z + y 4) = 0. Vi kan låta denna ekvation ersätta den sista ekvationen i 3/3 systemet. (Jämför med radoperationer vid lösning av linjära ekvationssystem.) Vi får direkt 2 fall att undersöka. Fall 1: x = 0. De två första ekvationerna blir yz 2z = 2, 3z + y = 4. Fall 2: y = 4 z. De två första ekvationerna blir (2 z)z + x = 2, xz 3z + 4 z = 4. Vart och ett av dessa 2/2 system löses nu. Räkningarna lämnas som övning. Kontrollera lösningarna med tidigare räkning! En viktig studieteknik, om inte tom den viktigaste, är att efter genomförd räkning reflektera över arbetet och tänka igenom vad som gjordes för att dra lärdom av det. (Annars blir det gjorda räknearbetet synnerligen meningslöst!) Så låt oss sammanfatta metoden för att lösa ekvationssytem. Då mönstret tydligast syns för 3/3 system (eller större), låt oss betrakta ett allmänt icke-linjärt 3/3 system f 1 (x, y, z) = 0, f 2 (x, y, z) = 0, f 3 (x, y, z) = 0. Vi löser ut en variabel ur en ekvation (välj den som är lättast), t ex skriv sista ekvationen som z = f 0 (x, y). Insatt i första och andra ekvationen erhåller vi ett 2/2 system g 1 (x, y) = 0, g 2 (x, y) = 0, där g 1 (x, y) = f 1 (x, y, f 0 (x, y)) och g 2 (x, y) = f 2 (x, y, f 0 (x, y)). Vi upprepar nu samma förfarande för detta 2/2 system. Skriv t ex andra ekvationen som y = g 0 (x), och eliminera med denna y ur första ekvationen. Vi får ekvationen h(x) = 0, där h(x) = g 1 (x, g 0 (x)) = 0. Denna löses och vi får rötter x 1, x 2..., x N. För varje rot x j beräknar vi sedan y j = g 0 (x j ) och till sist z j = f 0 (x j, y j ). Detta ger lösningarna (x j, y j, z j ), j = 1,..., N, till 3/3 systemet. Det som gör det svårare med icke-linjära system än med linjära sådana, är att dels kan ekvationen h(x) = 0 vara svår att lösa, och dels kan det vara svårt att lösa ut variablerna z = f 0 (x, y) och y = g 0 (x). Vi har i exemplen ovan illustrerat nyttan av FAKTORISE- RINGSTRICKET för att förenkla räkningarna för icke-linjära system. Ytterligare ett trick som kan förenkla såg vi prov på i sista exemplet, nämligen att göra radoperationer: till en rad kan en multipel av en annan rad adderas. Principen är densamma som för linjära ekvationssystem.
Ekvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Avsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Avsnitt 3, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen
Kvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5
Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.
Sidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Ekvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Gamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
Avsnitt 4, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 4:1 4:1 Avsnitt 4, introduktion. Potensregler. Följande grundläggande potensregler är startpunkten för detta avsnitt: Ex 1: 2 3 2-2 = 2 3-2 =2 1 = 2. Ex 2: 8 4 = (2 3
reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga
. Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Övning log, algebra, potenser med mera
Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla
Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 4.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 4 handlar om en viss typ av ekvationer där man skall vara försiktig med de lösningar som
Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Algebra, exponentialekvationer och logaritmer
Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen
Linjära ekvationssystem
Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.
Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 4.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 4 handlar om en viss typ av ekvationer där man skall vara försiktig med de lösningar som
Matematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
u(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från
ANDREAS REJBRAND NV1A Matematik Linjära ekvationssystem
ANDREAS REJBRAND NVA 004-04-05 Matematik http://www.rejbrand.se Linjära ekvationssystem Innehållsförteckning LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM... INNEHÅLLSFÖRTECKNING... DEFINITION OCH LÖSNINGSMETODER... 3 Algebraiska
Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Pelle 2016-01-18 Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser kursfakta hemsida frågelåda Fakta om Linjär
Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är
PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Manipulationer av algebraiska uttryck
Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z) Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)..
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Typuppgifter på TATA69
Typuppgifter på TATA69 Hittar du något fel kan du maila mig på joali916@student.liu.se. Använd dropboxlänken för att vara säker på att du har senaste versionen av detta dokument: https://www.dropbox.com/s/8bopyyzupwzd5p/tata69%0tentahj%c3%a4lp.pdf
1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0
1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n = b, med givna tal a 1,..., a n och b. Ett linjärt ekvationssystem
Andragradsekvationer möter elever under sitt första år på gymnasiet.
Christoph Kirfel Komplettera kvadraten och kuben med bilder Elever som för första gången ställs inför att lösa andragradsekvationer kan få hjälp att förstå kvadratkomplettering med hjälp av väl uttänkta
Algebra, kvadreringsregler och konjugatregeln
Algebra, kvadreringsregler och Uppgift nr 1 Multiplicera in i parentesen x(9 + 2y) Uppgift nr 2 Multiplicera in i parentesen 3x(7 + 5y) Uppgift nr 3 x² + 3x Uppgift nr 4 xy + yz Uppgift nr 5 5yz + 2xy
Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Algebra och rationella uttryck
Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr Förenkla x0 y 6 z 5 25 y 2 Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 ab b 5a - a² 9a där a 0. där b 0. Uppgift nr 4 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + 2x 3 ) Uppgift nr
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Här studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:.
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 3.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 3 handlar om problemet att avgöra hur en given funktions värden växlar tecken. Här studera
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Komplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Talmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Matematik 1. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och
Uppgiftshäfte Matteproppen
Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................
x 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld?
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Örjan Dillner TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN1 Datum: 7 september
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 41 Linjär Algebra, Föreläsning
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 26 Integralkalkyl - Föreläsning
Lösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Högre ordnings ekvationer och system av 1:a ordningen
Institutionen för matematik, KTH 05020 Tillägg för 5B209/HT05/E.P. Högre ordnings ekvationer och system av :a ordningen Vi har hittills lärt oss lösa linjära ekvationer med konstanta koefficienter och
Exempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2
. Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6
Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att
Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre
4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så
Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
2x ex dx. 0 = ln3 e
Institutionen för Matematik Lösningsförslag till tentamen i SF627, Matematik för ekonomer, del 2, 6 hp. 26..7. Räkna inte denna uppgift om du är godkänd på lappskrivning 3 Visa att funktionen f (x) = x
Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)
1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)
Faktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en väsentlig del av algebran.
Per-Eskil Persson Visst kan man faktorisera x 4 +1 Att faktorisera polynom är inte alltid helt enkelt men inte dess mindre en väsentlig del av den algebra som elever möter i slutet av högstadiet och senare
8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 8906 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till
Avsnitt 2, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 2:1 2:1 Bråkstreck Avsnitt 2, introduktion. Gemensamt bråkstreck. Två fall: Ingen gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel 1 Gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Partiella differentialekvationer av första ordningen
Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,
Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :
1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel
Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson
Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan 8.00 11.00 Tentamen består
TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 2016-05-31, kl 08-11 SF1547+SF1543 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Uppgift 1 Man vill lösa ekvationssystemet
Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Snabba tips på hur du kan plugga till XYZ och KVA
Introduktion en här boken skapades för att hjälpa dig att maximera din poäng på XYZ och KV. Jag räknade genom alla tidigare XYZ och KV och resultatet är 1000 övningsuppgifter som starkt påminner om och
Upphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Diagnostiskt test för Lp03
Diagnostiskt test för Lp --6, kl. 9.5 Inga miniräknare/formelsamlingar. Redovisa dina resonemang/räkningar.. Skriv namn, vilket år du senast läste matematik, vilken kurs det var, vilket betyg du fick..
varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
MA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära