Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson

Transkript

1 Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan Tentamen består av åtta uppgifter som kan ge sammanlagt 30 poäng. För godkänt betyg avkrävs ca 15 poäng. Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel 1. Skriv 3/11 respektive 4/13 som en summa av stambråk. (4 p) 2. Ge tre tolkningar av vad en babylonier hade kunnat mena med kilskriften Förklara också varför babyloniernas sätt att teckna tal var tvetydigt. (4 p) 3. Lös på egyptiskt vis ekvationen x+ x 11 = 20. (3 p) 4. Inom vilken kultur spelade verket Nio kapitel om den matematiska räknekonsten en framträdande roll? Vem analyserade och kommenterade de olika metoderna som beskrivs i detta verk? (2 p) 5. Lös andragradsekvationen x 2 8x+12 = 0 på al-khwarizmis vis. OBS! Skriv först om ekvationen till en för al-khwarizmi godtagbar form. (4 p) 6. Beräkna med hjälp av Aryabhatas metod. Du får ta moderna beteckningar till hjälp. (3 p) 7. Nisse har för avsikt att lösa ekvationen ax = b med hjälp av metoden dubbel falsk position. Han gissar först att g 1 = 2 är en rot, men sätter han in detta värde på x i vänsterledet, så blir felet f 1 = 3. Sedan provar Nisse om g 2 = 3 kan vara en rot, men då blir felet f 2 = 3. Vilken ekvation försöker Nisse lösa? (Med andra ord: bestäm a och b.) (5 p) 8. Två gamla gummor startade vid soluppgången en lång vandring. Den ena gick från stad A till stad B och den andra från stad B till stad A. Solen gick upp samtidigt i båda städerna. Vid lunch (kl 12) möttes de. Den ena gumman anlände till stad B kl 16 medan den andra gumman kom fram till stad A kl 21. De gick båda med konstant hastighet och längs med samma väg mellan städerna, utan att göra några stopp. När gick solen upp den dagen? Ledning: Använd regula di duo. (5 p)

2 Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Lösningsförslag till tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan För att skriva 3/11 som en summa av stambråk, börjar vi med successiva halveringar utifrån ett talschema om två kolumner, där vi överst i den vänstra kolumnen har en etta, och överst i den högra kolumnen nämnaren 11 i bråket 3/11. Målet är att skriva täljaren 3 som en summa av tal i den högra kolumnen / När vi markerat den tredje raden, ser vi att det saknas 1/4 upp till 3 i höger kolumn. Vi kan uppnå denna rest genom att dividera båda talen på översta raden med 11 och sedan fortsätta halvera: / / Summan av de markerade talen i höger kolumn är nu 3, och summan av de motsvarande talen i vänster ger 3/11 skrivet som en summa av stambråk: 3 11 = Ett analogt förfarande för bråket 4/13 ger / / 52 4 / av vilket vi konstaterar att 4 13 = Notera att i och med att framställningen av ett bråktal som en summa av stambråk inte är entydig, så finns det fler möjliga korrekta svar på denna uppgift.

3 2. Tre möjliga tolkningar av babylonierns kilskrift är t.ex. (1) = 192 (2) = (3) = 3,2. Tvetydigheten beror dels på avsaknaden av en symbol (nolla) för att beteckna tom plats, dels på avsaknaden av en motsvarighet till vårt decimalkomma. 3. Vi gissar först på roten x = 11. Högerledet blir då 12. Men vi ville ha svaret 20. Förhållandet mellan det vi ville ha och det vi fick är alltså 20/12 = 5/3. Genom att multiplicera detta förhållande med vår gissning, fås den sökta roten x = = Verket Nio kapitel spelade stor roll inom den kinesiska kulturen. Det kommenterades och analyserades av Liú Huī på 200-talet e.kr. 5. För att ekvationen ska ha ett för al-khwarizmi godtagbart utseende, skriver vi om den till x = 8x, vilket innebär att vi har att lösa En kvadrat och tolv tal är lika med åtta rötter. Vi börjar genom att till en kvadrat med sidan x foga en rektangel med arean 12, så att en rektangel med sidorna x och 8 uppstår: 8 12 x 2 x För att finna den mindre av de två rötterna till denna ekvation, delar vi in rektangeln i två delar, och ritar en kvadrat över den högra halvan. Denna kvadrat kan ses som resultatet av en kvadratkomplettering av den gnomon, vars sidor i figuren nedan har ritats med en tjock röd linje. Den lilla gula kvadraten är själva kvadratkompletteringen. 4 4 x 2 4

4 I och med att de blå rektanglarna har samma area, måste gnomonens area vara 12. Den stora kvadraten har arean 4 2 = 16. Den gula kvadraten har därmed sidan = 2, Därmed gäller x+2 = 4 x = 4 2 = 2. Efter vad al-khwarizmi säger, får man den andra roten till ekvationen, genom att ersätta minustecknet ovan med ett plustecken: 6. Vi gör ansättningen = (100a+10b+c) 2 x = 4+2 = 6. = 10000a b 2 +c ab+200ac+20bc = 10000a ab+100b 2 +2c(100a+10b)+c 2. De fem termerna i sista ledet skall i tur och ordning (från vänster till höger) subtraheras från Till att börja med skall vi subtrahera 10000a 2 från Det största möjliga värdet på a som uppfyller att a 2 > 0 är a = 8, och med detta värde på a får vi a 2 = = Nästa steg blir till att välja b så stort som möjligt, utan att det resulterar i att differensen ab = b blir negativ. Med b = 1 får vi Därefter genomför vi subtraktionen b = = b 2 = = Från detta tal skall vi subtrahera 2c(100a + 10b) = 2c 810 = 1620c. Väljer vi c = 4 blir differensen fortfarande positiv, och c = = 16, som är lika med den sista termen vi har kvar att subtrahera, nämligen c 2. I och med att det hela gick jämnt ut, har vi med dessa räkningar funnit att = 100a+10b+c = = Vi har att f 1 = ag 1 b och f 2 = ag 2 b. Med de givna värdena på f 1, g 1, f 2 och g 2 leder detta till ekvationssystemet { 3 = 2a b 3 = 3a b. Enligt den första ekvationen är b = 2a+3, medan den andra ekvationen säger att b = 3a 3. Alltså är 2a+3 = 3a 3, d.v.s. a = 6, vilket i sin tur ger att b = 15. Således försöker Nisse lösa ekvationen 6x = 15.

5 8. Låt S beteckna tidpunkten då solen gick upp. Gumman som vandrar från stad A till B gör då detta på 16 S timmar, medan gumman som går i motsatt riktning, färdas samma sträcka på 21 S timmar. När de båda gummorna möts (klockan 12) har det gått 12 S timmar sedan solen gick upp. Enligt regula di duo är därmed Vi får (förutsatt att S 37/2), (16 S)(21 S) (16 S)+(21 S) (16 S)(21 S) (16 S)+(21 S) = 12 S. = 12 S (16 S)(21 S) = (12 S)(37 2S) S +S 2 = S +2S 2 S 2 24S +108 = 0 S = 12± = 12±6, och kan konstatera att klockan var S = 6 när solen gick upp.