2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/
|
|
- Sofia Arvidsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Nästan vanliga tal 1. Beräkna Lösning. 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) ( ) = = Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/ gnr Lösning. Om man kan förkorta med a då gäller detsamma för bråken /1001 = /1001 samt 11/1001. Det sista bråket kan förkortas med 11. Således 1001/ = (1001/11)/( /11) = 91/ Bestäm produkten av alla rötter till ekvationen 3x x =0 Lösning. Ekvationen 3x x =0 har 4 reella rötter då ekvationen 3u u+2001=0 har 2 olika positiva rötter. Enligt Vietas sats är rötternas produkt lika med 2001/3= Beräkna integralen ( x 3x + 7x + 500,25) dx 2 Lösning. Man kan stryka bort de tre första termerna i integranden då udda potenser ger 0 om de integreras över ett symmetriskt intervall kring 0. Den sista termen ger arean av rektangel av längden 4 och höjden 500,25, vilket ger svaret Man vet att talen a,b,c är olika. Bestäm derivatan för funktionen f ( x a)( x b) ( x a)( x c) ( x c)( x b) f ( x) = + + ( c a)( c b) ( b a)( b c) ( a c)( a b) Lösning. Funktionen f(x) ser ut som ett andragradspolynom. Observera dock att f(a)= f(b)= f(c)=1. Ekvationen f(x)=1 har minst tre rötter, således måste termerna av första samt andra graden vara lika med noll. Det återstår bara fallet att funktionen f(x) är en konstant, och alltså gäller att f (x)=0. Knep och knåp 1. Ett skogsavverkningsföretag vill avverka en tallskog, men miljöaktivisterna börjar att protestera. Då försöker företagets VD lugna ner dem: 99% av träden i skogen är tallar. Vi kommer endast att såga ner tallar. När vi blir färdiga kommer 98% av alla kvarstående träd att vara tallar. Hur stor andel av skogen planerar företaget att avverka? Lösning. 1% av träden i skogen är inte tallar. Efter avverkningen kommer andelen av icke tallar vara 2%, dvs den andelen kommer att fördubblas utan att antalet icke tallar förändras. Detta betyder att antalet träd i skogen kommer att halveras, dvs företaget planerar att såga ner 50% av skogen. 2. Kung Rurik hade tre söner. Bland kungens ättlingar hade 999 personer exakt 2 söner och inga döttrar. De övriga ättlingarna hade inga barn alls. Hur många ättlingar hade Rurik sammanlagt?
2 Lösning. Alla ättlingarna förutom Ruriks söner var sönerna till de 999 fäderna. Således är deras antal lika med 2 999=1998. Tillsammans med Ruriks tre söner blir det 2001 ättlingar sammanlagt. 3. En familj kom till en bro under nattetid. Pappa kan komma över bron på 1 minut, mamma på 2 minuter, lillebror på 5 minuter, medan mormor endast på 10 minuter. De har bara en ficklampa. Bron är så liten att bara en eller två personer kan vistas på den samtidigt. Hur kan de alla komma över bron på 17 minuter sammanlagt? Villkor: a) Om två personer går samtidigt då går de med den minsta av de två hastigheterna. b) Man får inte gå över bron utan en ficklampa. c) Man kan inte belysa vägen från långt håll. d) Man får inte bära varandra. e) Man får inte kasta ficklampan. Lösning. Det behövs minst 3 övergångar fram och 2 tillbaka. Om mormor och lillebror går var för sig eller om någon av dem kommer tillbaka då krävs det minst =18 min. Mormor och lillebror kan inte vara det första eller det sista paret, annars skulle någon av dem komma tillbaka med ficklampan. Nu återstår det praktiskt taget en enda möjlighet: pappa och mamma går fram över bron först (på 2 min), sedan kommer mamma tillbaka (på 2 min), sedan går mormor och lillebror fram (på 10 min), och pappa återvänder (på 1 min). Till slut går pappa och mamma fram (på 2 min). Det blir sammanlagt precis 17 minuter. 4. Den första siffran i ett 10-siffrigt tal är lika med antalet ettor i talets decimalutveckling, den andra siffran är lika med antalet tvåor, den tredje med antalet treor, o.s.v., den nionde siffran är lika med antalet nior, och den tionde siffran med antalet nollor. Bestäm det 10-siffriga talet. Lösning. Låt oss beteckna med a 0,a 1,a 2,,a 9 antalet förekomster i talet T av siffran 0,1,2,, 9. Låt oss också beteckna antalet nollor med n, och antalet ettor med e, dvs a 0 =n och a 1 =e. Talet T består av 10 siffror sammanlagt: a 0 nollor, a 1 ettor osv, således gäller a 0 +a 1 +a a 9 =10 (E1) Å andra sidan låt oss samla siffrorna av T i grupperna enligt antalet förekomster i T. Antag att siffran j förekommer exakt 3 gånger. Då står trean i T på j:te plats. Således gäller att antalet olika siffror som förekommer exakt tre gånger är lika med antalet treor i T. Men antalet treor är a 3. Således upptar dem siffrorna som förekommer tre gånger exakt 3a 3 platser i T. Samma gäller för de siffror som förekommer 1 gång, 2 gånger osv. Detta medför ekvationen a 1 +2a a 9 =10 (E2) Om vi endast betraktar positiva termer i E2: s vänsterled då är den minsta termen åtminstone 1, den näst minsta åtminstone 2 osv. Således har vi högst 4 positiva termer, eftersom annars överstiger summan i vänsterledet =10. Med exakt 4 positiva termer gäller E2 om och endast om a 1 =a 2 =a 3 =a 4 =1. I detta fall innehåller T minst 4 ettor, dvs a 1 >1. Motsägelse! Således har vi högst 3 positiva termer i (E2). Då har vi minst 6 nollor i T, dvs a 0 =n 6. Eftersom det finns siffran n i T är a n >0. Å andra sidan gäller na n <10 samt n>5. Således är
3 a n =1. Vi har redan minst en etta i T. Om också a 1 =1, då har vi minst 2 ettor, dvs a 1 >1 Motsägelse! Således a 1 =e>1. Då finns siffran e i T, således a e >0. Då har vi redan tre positiva termer i (E2): a 1, ea e samt na n. Fler kan det inte finnas. Således är a 0 =n=6, a 6 =1, a e =1 samt a 1 =e=2. Vi får alltså T= a) Man vill hänga en tavla på en vägg. Ett snöre är fastgjort vid tavlans två övre hörn. Hur kan man linda snöret på två spikar så att tavlan hänger stabilt, men skulle ramla ner om man tog bort antingen den ena eller den andra av de två spikarna? (Både snöret och spikarna ska vara ovanför tavlan). b) Samma fråga med tre spikar (tavlan skulle ramla ner om man tog bort vilken som helst av de tre spikarna). Lösning. Låt oss beskriva lösningen på följande sätt: vi genomlöper snöret från det vänstra hörnet till det högra, och när snöret går ovanför den i:te spiken till höger skriver vi H i, och när snöret går till vänster skriver vi V i. a) Exempelvis duger H 1 V 2 V 1 H 2. Om man tar bort den första spiken, då försvinner både H 1 och V 1 och då tar V 2 och H 2 ut varandra. Samma sak gäller om man tar bort den andra spiken. b) Exempelvis duger H 1 V 2 V 1 H 2 H 3 V 2 H 1 H 2 V 1 V 3. Indelning i kvadrater och rektanglar 1. Dela upp en kvadrat i a) 9; b) 7; c) 6; d) 8 mindre kvadrater (ej obligatoriskt lika stora). Svar. 2. Dela upp en kvadrat i a) 10; b) 15; c) 17 mindre kvadrater. Svar. 3. Visa att det är omöjligt att dela upp en kvadrat i a) 2; b) 3; c)* 5 mindre kvadrater. Lösningar. a,b) I varje hörn av kvadraten måste en delkvadrat ligga och en delkvadrat kan inte täcka två hörn samtidigt. Således behövs det minst 4 delkvadrater. c) Om det finns en glipa mellan två delkvadrater som täcker två hörn vid samma kvadratssida, då skulle det behövas ytterligare delkvadrater för att täcka glipan. Två glipor vid olika sidor kan inte täckas av samma delkvadrat. Det finns bara en delkvadrat förutom de 4 hörndelkvadraterna. Alltså finns det minst tre sidor utan glipor, dvs hörndelkvadraterna ligger där tätt intill varandra. Låt den ursprunliga kvadraten ha storleken 1 och låt hörnkvadraterna ha storlekar a,b,c,d. Antag att en glipa saknas mellan a och b, mellan b och
4 c samt mellan c och d. Då gäller att a+b=b+c=c+d=1, vilket medför att a=c, b=d. Om a>0,5 då är a+c>1. Detta skulle betyda att a och c överlappade varandra kring medelpunkten av kvadraten. Således är a 0,5, och av samma anledning är b 0,5. Detta medför att a=b=c=d=0,5, dvs kvadraten är uppdelad endast i 4 delkvadrater. 4. Visa att det går att dela upp en kvadrat i a) 1000; b) godtycklig antal dock större än 5 mindre kvadrater. Lösning. a) Dela kvadraten i 10 10=100 lika stora delkvadrater. Dela sedan varje delkvadrat i 10 mindre delkvadrater som i 2a). b) Observera att om vi delar upp en delkvadrat i 4 lika stora mindre delkvadrater då ökar antalet delkvadrater med 3. Kalla denna operation för fyrdelning. Nu gör vi så här. Först skriver vi om n på formen n=3k+r, där k är ett heltal och resten r är lika med 0, 1 eller 2. Om r=0 då tar vi indelningen i 6 kvadrater och upprepar fyrdelningen k 2 gånger. Om r=1 då tar vi den ursprungliga kvadraten och upprepar fyrdelningen k gånger. Om r=2 tar vi indelningen i 8 kvadrater och upprepar fyrdelningen k 2 gånger. 5. a) En rektangel är uppdelad i två mindre rektanglar som är likformiga med den ursprungliga rektangeln. Bestäm förhållandet mellan sidorna i den ursprungliga rektangeln. b) En rektangel är uppdelad i en kvadrat och en mindre rektangel som är likformig med den ursprungliga rektangeln. Bestäm förhållandet mellan sidorna i den ursprungliga rektangeln. Lösning. a) Båda delrektanglarna måste ligga på tvären, annars blir de inte likformiga med den ursprungliga rektangeln. Låt delrektanglarna ha sidorna a och b där sidan b är gemensam. Då har den ursprungliga rektangeln sidorna 2a och b och vi får ekvationen 2a/b=b/a. Svaret blir då b = 2 a. b) Delrektangeln måste ligga på tvären, annars blir den ej likformig med den ursprungliga rektangeln. Låt delrektangeln ha sidorna a och b där sidan b är gemensam med kvadraten. Då har den ursprungliga rektangeln sidorna a+b och b och vi får ekvationen (a+b)/b=b/a. Låt b/a=x, då kan vi skriva om ekvationen 1/x + 1 = x, x 2 x 1=0. Svaret blir då b 1+ 5 = (gyllene snittet). a 2 6. a) Hur kan man dela upp en kvadrat i fem rektanglar så att två av dem aldrig har en gemensam sida? b) Antag dessutom att alla de ovanstående rektanglarna har samma area. Visa att en av rektanglarna är en kvadrat. Lösningar. a)
5 b) Den centrala delrektangeln har sidorna b 1 a 3 resp. b 2 a 4. Antag att b 1 b 2, säg, b 1 >b 2. Eftersom b 1 a 2 =b 2 a 3 gäller a 2 <a 3. Eftersom a 2 +b 2 =a 3 +b 3 gäller b 2 >b 3. Detta medför på samma sätt att b 3 >b 4, vilket i sin tur ger oss b 4 >b 1. Men då får vi kedjan b 1 >b 2 >b 3 >b 4 >b 1 vilket är en motsägelse. På samma sätt är b 1 <b 2 omöjligt. Således b 1 =b 2. På samma sätt härleder vi att a 3 =a 4. Då är sidorna i den centrala rektangeln lika stora, dvs den är en kvadrat. 7. Rektanglarna på bilderna a) och b) nedan är uppdelad i kvadrater. Man vet att sidan i den minsta av kvadraterna är lika med 1. Bestäm sidorna av de övriga kvadraterna. Lösning. a) Beteckna sidorna av delkvadrater som i figuren 7a. Vi härleder sambandet genom att addera delkvadraternas storlekar på båda sidorna av någon sträcka. Då får vi i tur och ordning: b=a, c=a+b 1=2a 1, d=c 1=2a 2, e=d 1=2a 3. Sambandet e=a+1 ger oss då ekvationen 2a 3=a+1. Ur detta får vi a=4, b=4, c=7, d=6, e=5. b) Beteckna sidorna av delkvadrater som i figuren 7b. På samma sätt som i punkten a) får vi b=a 1, c=a 2, d=2a 3, e=a+1. Då är e+1=c+f får vi f=e+1 c=4. Vidare gäller g=a+5, h=a+9. Sambandet c+d=f+h ger oss ekvationen 3a 5=a+13. Ur detta får vi a=9, b=8, c=7, d=15, e=10, f=4, g=14, h=18. Observera att alla kvadrater är olika! 8. Är det möjligt att dela upp en kvadrat i 3 likformiga men ej lika rektanglar? Lösning. Ja, det är möjligt. Betrakta indelningen av enhetskvadraten på bilden. 1 1 y x Delrektanglarna är likformiga sinsemellan om = =. Då är y=x(1 x) och likheten 1 x x y 1 1 x(1 x) = är då ekvivalent med tredjegradsekvationen x 3 2x 2 +3x 1=0. Eftersom 1 x x vänsterledet är negativt i punkten x=0 och positivt i punkten x=1 så finns det en rot mellan 0 och 1. Den roten ger oss de sökta storlekarna på delrektanglarna.
6 9. En kvadrat är uppdelad i 100 mindre kvadrater. Alla kvadrater förutom en är enhetskvadrater. Bestäm storleken av den ursprungliga kvadraten. Lösning. Antag att man skär kvadraten lodrätt med en sträcka som ej innehåller någon sida av delkvadraterna och ej skär den särskilda delkvadraten. Då måste sträckan delas i enhetsintervall av sina skärningspunkter med alla vågräta sidor. Således är kvadratens storlek ett heltal. Om man skär kvadraten lodrätt med en sträcka som ej innehåller någon sida av delkvadraterna och skär den särkilda delkvadraten, då får vi på samma sätt att storleken av den särskilda delkvadraten också är ett heltal. Vi har alltså två heltal: n är storleken av den ursprungliga kvadraten och m är storleken av den särskilda kvadraten. Differensen av deras areor n 2 m 2 blir 100. Vi skriver om detta som ekvationen (n m)(n+m)=100. Talen n m och n+m är av samma paritet och n+m>n m. Då finns det bara ett sätt att faktoruppdela 100=2 50. Ur ekvationssystemet n m=2, n+m=50 fås lösningen m=24, n=26, vilket är svaret. 10. * Dela upp en kvadrat i mindre kvadrater så att inga tre av dem är lika. Lösning. Först tar vi en kvadrat av storleken 65 och delar upp den i två kvadrater av storlekar 32 resp. 33 och två rektanglar av storlekar Sedan delar vi upp var och en av de två rektanglarna i olika kvadrater enligt schemat från lösningen 7b.
Kvalificeringstävling den 26 september 2017
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 6 september 017 1. Bestäm alla reella tal x, y, z som uppfyller ekvationerna x + = y y + = z z + = x Lösning 1. Addera
Läs merLinnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson
Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan 8.00 11.00 Tentamen består
Läs merFinaltävling i Lund den 19 november 2016
SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
Läs merDel A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består
Läs merFlervariabelanalys och Matlab Kapitel 3
Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Matematiska Vetenskaper 28 september 2012 3 Multipelintegraler 3.1 ubbelintegraler I detta kapitel skall vi studera olika sätt på vilket man kan
Läs mer8-6 Andragradsekvationer. Namn:..
8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,
Läs merSidor i boken 8-9, 90-93
Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Läs merSKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Första häftet 3220. Bestäm alla reella tal x för vilka 3 x x + 2. 322. Pelles och Palles sammanlagda ålder är 66 år. Pelle är dubbelt så gammal som Palle var när Pelle var hälften så gammal som
Läs merVälkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5
Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars 2016 Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Tävlingen ska genomföras under perioden 17 mars 1 april. Uppgifterna får inte användas
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 8906 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merMatematiska uppgifter
Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna
Läs merA: måndag B: onsdag C: torsdag D: lördag E: söndag Grekland 2. Vilket av följande uttryck har högst värde?
Kängurutävlingen 208 Student Trepoängsproblem. Bilden visar ett månadsblad i Filips engelska almanacka. Oturligt nog välte Filip ut sitt bläckhorn över bladet och det mesta blev oläsligt. På vilken veckodag
Läs merÖvningar - Andragradsekvationer
Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merKänguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3)
Känguru 2014 Student sida 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala poängantal.
Läs merLösning till fråga 5 kappa-06
Lösning till fråga 5 kappa-06 Figurer till uppgift a) ligger samlade efter uppgiften. Inledning Betrakta först N punkter som tillhör den slutna enhetskvadraten inlagd i ett koordinatsystem enligt figur
Läs merTrepoängsproblem. Kängurutävlingen 2014 Junior. 1 Bilden visar tre kurvor med längderna a, b respektive c. Vilket av följande påståenden är korrekt?
Trepoängsproblem 1 Bilden visar tre kurvor med längderna a, b respektive c. Vilket av följande påståenden är korrekt? A: a < b < c B: a < c < b C: b < a < c D: b < c < a E: c < b < a 2 Sidolängderna i
Läs merKvalificeringstävling den 28 september 2010
SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 28 september 2010 Förslag till lösningar Problem 1 En rektangel består av nio smårektanglar med areor (i m 2 ) enligt figur
Läs merKänguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6
Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6 NAMN KLASS/GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merKänguru 2019 Student gymnasiet
sida 0 / 7 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Kod (läraren fyller): Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Ett rätt svar ger 3, 4 eller 5 poäng. I varje uppgift är exakt
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser
Läs merMatematiska uppgifter
Årgång 55, 1972 Första häftet 2863. Lös ekvationssystemet { 2sin x cos x = 1 (Svar: π + 2nπ, n Z) 2864. Visa att (1,000001) 1000000 > 2. sin x 2cos x = 2 2865. Visa att ekvationen x 4 x 2 + 2x + 3 = 0
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merKapitel 8 Ledtrådar. = 111 p, för något Låt det sista talet man behöver addera vara x. Det ger: positivt heltal p.
Kapitel 8 Ledtrådar 800 Testa för mindre tal där du lättare kan kontrollera resultatet, försök sedan föra över resonemanget på problem med betydligt större tal Du inser att efter det första omloppet är
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 69, 1986 Årgång 69, 1986 Första häftet 3420. Två ljus av samma längd är gjorda av olika material så att brinntiden är olika. Det ena brinner upp på tre timmar och det andra på fyra timmar.
Läs merRepetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merVektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)
1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merA B C D E. 2 Det står KANGAROO på mitt paraply. Du kan se det på bilden. A B C D E
N G A RA Kängurutävlingen 2015 Benjamin Trepoängsuppgifter 1 Vilken figur är skuggad till hälften? Slovakien 2 Det står KANGAROO på mitt paraply. Du kan se det på bilden. Vilken av följande bilder är inte
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merKvalificeringstävling den 29 september 2009
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 29 september 2009 Förslag till lösningar Problem Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 7 positiva heltal som endast
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merSidor i boken Figur 1:
Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan
Läs merSubtraktion. Räkneregler
Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 65, 982 Årgång 65, 982 Första häftet 3260. På var och en av rutorna på ett schackbräde (med 8 rutor) ligger en papperslapp. Kan man flytta papperslapparna så att samtliga kommer att ligga
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merKapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm
Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v
Läs meri=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n
Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså
Läs merMatematikcirkel Katedralskolan 4 december 2013 Gott och Blandat
Liten tävling Matematikcirkel Katedralskolan 4 december 2013 Gott och Blandat Uttryck talet 2013 genom att bara använda fyror. Försök att använda så få fyror som möjligt. Tillåtna operationer är de fyra
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merTrepoängsproblem. Kängurutävlingen 2011 Cadet. 1 Vilket av följande uttryck har störst värde? 1 A: B: C: D: E: 2011
Trepoängsproblem 1 Vilket av följande uttryck har störst värde? 1 A: 2011 1 B: 1 2011 C: 1 2011 D: 1 + 2011 E: 2011 2 Övergångsställen är markerade med vita och svarta streck som är 50 cm breda. Markeringen
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2014
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2014 1. Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna,
Läs merFacit åk 6 Prima Formula
Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 1 Omkrets och area Sidan 7 1 A och C 2 D och E 3 a G, H och J b I och J c J Sidan 8 4 a 1 b 1 c 1 d 4 5 A = 0 B = 2 C = 4 D = 2 6 a 8 0 8 b 1 0 1 c 3 8 3 d 1 3 8 F7 A B
Läs merMVE365, Geometriproblem
Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..
Läs merMatteklubben Vårterminen 2015, lektion 6
Matteklubben Vårterminen 2015, lektion 6 Regler till Matematisk Yatzy Matematisk Yatzy är en tävling där man tävlar i att lösa matematikproblem. Målet i tävlingen är att få så mycket poäng som möjligt
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Niels Chr. Overgaard & Johan Fredriksson 3 september 205 Problem 0. Skriv följande summor mha summationstecken. ( Dvs på formen q k=p a k där k är en räknare som löper med heltalssteg mellan
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merPROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER
PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER ADDERA RÄTT 1. Bestäm vilka siffror bokstäverna A, B, C, och D bör bytas ut mot i additionen nedan för att additionen ska vara riktig. A 6 3 7 B 2 + 5 8 C D 0 4 2 2. Gör ett eget
Läs merBråk. Introduktion. Omvandlingar
Bråk Introduktion Figuren till höger föreställer en tårta som är delad i sex lika stora bitar Varje tårtbit utgör därmed en sjättedel av hela tårtan I nästa figur är två av sjättedelarna markerade Det
Läs merKänguru 2013 Junior sida 1 / 9 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasium
Känguru 2013 Junior sida 1 / 9 NAMN KLASS / GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merKänguru 2016 Student gymnasieserien
sid 1 / 10 NAMN GRUPP Poäng: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala poängantal! Så om du t.ex. svarar
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 63, 198 Årgång 63, 198 Första häftet 318. Visa att x8 + 4x 6 + 7x 4 + 6x 2 + 3 x 6 + 3x 4 + 4x 2 3 för alla reella tal x. + 2 2 3181. Figuren nedan är gjord av en kvadrat och dess omskrivna
Läs merFlervariabelanlys och Matlab Kapitel 3
Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Carl-Henrik Fant Matematiska Vetenskaper 17 september 2009 1 3 Multipelntegraler 3.1 ubbelintegraler Exempel. Vi skall beräkna dubbelintegralen (y
Läs merRepetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner
Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt
Läs merKap Dubbelintegraler.
Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merRöd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA
Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra
Läs merLåt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.
UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merSvar och arbeta vidare med Benjamin 2008
Svar och arbeta vidare med Det finns många intressanta idéer i årets Känguru och problemen kan säkert ge idéer för undervisning under många lektioner. Här ger vi några förslag att arbeta vidare med. Problemen
Läs merKänguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet
Känguru 2012 Student sid 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara den frågan. Felaktigt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs mer2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.
Kängurutävlingen 018 Cadet svar och kommentarer Facit Cadet 1: C 19 0 + 18 = 8 = 19 : E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merHögstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag
Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Vi börjar med att notera att delbarhet med 6 betyder att N är delbart med 2 och 3. Om N är delbart
Läs merTENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:
TENTAMEN Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I Moment: TEN1 Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: 2015-03-10 Tid: 13:15-17:15 Hjälpmedel:
Läs merTeori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:
Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd
Läs mer= A: 0 B: 1 C: 2013 D: 2014 E: 4028
Trepoängsproblem 1. 2014 2014 2014 2014 = A: 0 B: 1 C: 2013 D: 2014 E: 4028 2. Kängurutävlingen hålls den tredje torsdagen i mars varje år. Vilket datum är det senaste som tävlingen kan hållas? A: 14 mars
Läs mer0, 1, 2, 3,...,9, 10, 11,... I, II, III, IV, V, VI,...
Olika typer av tal Efter att tränat upp säkerheten på algebraiska räkningar med reella tal skall vi se hur vi utgående från de naturliga talen kan konstruera de hela talen, de rationella talen och de reella
Läs merAvdelning 1, trepoängsproblem
Avdelning 1, trepoängsproblem 1. I ett akvarium finns det 00 fiskar varav 1 % är blå medan övriga är gula. Hur många gula fiskar måste avlägsnas från akvariet för att de blå fiskarna ska utgöra % av alla
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merAvsnitt 2, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 2:1 2:1 Bråkstreck Avsnitt 2, introduktion. Gemensamt bråkstreck. Två fall: Ingen gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel 1 Gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel
Läs merRepetitionsuppgifter. Geometri
Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna
Läs merKängurutävlingen Matematikens hopp
Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt
Läs mer