Matematiska uppgifter

Transkript

1 Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet a) Vilket av talen A = 984( ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = är störst? A / = 984( ) B = Visa att ( x) p x p för p 0 x Antag att a b är reella tal med a+b = a 3 +b 3 = 3. Beräkna värdet av a + b Det sexsiffriga talet abcde f är jämnt delbart med 00. Gäller detta också talet f abcde som man får genom att placera sista siffran först? I en triangel ABC är vinkeln C rät. Punkterna D E delar hypotenusan AB i tre lika långa delar. CD CE har längderna sin x resp cos x för en viss vinkel x med 0 x π/. Hur lång är hypotenusan i triangeln? Lös ekvationssystemet x(y + z)=5 y(x + z)=8 z(x + y)= Visa att det finns oändligt många heltalslösningar till ekvationen x 3 y = Låt a, b, c d vara positiva tal vars summa är S. Visa att ab + bc + cd S /4.

2 Årgång 67, 984 Elementa Låt a 0, a, a,... vara den s k fibonacciföljden där a 0 = a = a n = a n + a n för n. Beräkna summan av serien + a + a + a a Funktionen f har kontinuerlig derivata för x 0. Visa att om x f (x)+ f (x) x för x 0 så saknar ekvationen f (x) = x/4 positiva rötter. Andra häftet Två identiska kar är fyllda med alkohollösningar. I det ena karet finns p liter alkohol på varje liter vatten i det andra q liter alkohol på varje liter vatten. Om innehållet i de båda karen blandas i ett stort kar hur stort blir då förhållandet mellan mängden alkohol mängden vatten? 335. För vilka värden på konstanten a har ekvationerna x + ax + = 0 x x a = 0 någon gemensam rot? 335. Lös ekvationssystemet x + 5 y = x + 3 y = För vilka värden på konstanten a har ekvationen 3 x + a = x + 3 a tre olika reella rötter? Beräkna summan , där det sista talet innehåller n st treor Visa att om x 0 r, olikheten gäller. ( x)( + xr ) xr + r Visa att n m + n m n m n m gäller för alla positiva heltal n m.

3 Elementa Årgång 67, Hur stor är sannolikheten att en punkt som slumpmässigt placeras innanför en kvadrat inte har längre avstånd än kvadratens sidolängd till något av kvadratens hörn? Vilket är det minsta värde man kan få då man dividerar ett tresiffrigt tal (i basen tio) med summan av talets tre siffror? Antag att x x x n y y y n. Låt vidare talen z, z,..., z n vara en omordning av talen y, y,..., y n. Visa att (x j y j ) (x j z j ). Tredje häftet I en utslagsturnering i tennis deltar 3 olika duktiga spelare. Antag att en starkare spelare alltid vinner över en svagare. Hur stor är då sannolikheten att de två bästa möts i finalen, om matchprogrammet görs upp genom lottning? 336. Låt a, b c vara reella tal mellan 0. Är det då sant att ( c) ( a)( b) leder till ( c ) ( a )( b )? 336. En aritmetisk talföljd består av de udda heltalen fr o m 5. Beräkna summan av serien /s n där s n är summan av de n första elementen i talföljden. n= z är ett komplext tal med z. Visa att realdelen r av det komplexa talet z/( z) uppfyller r > / Bestäm alla lösningar till ekvationssystemet x + z = 35 x + u = 7 y + z = 5 xu = yz En remsa av papper har formen av en rektangel med sidorna cm 0 cm. Är det möjligt att med hjälp av två raka klipp med en sax dela remsan i delar, som kan hopfogas till en kvadrat? Man kastar ett symmetriskt mynt, tills man har fått krona följd av klave eller klave följd av krona. Bestäm sannolikheten att det behövs precis k kast. 3

4 Årgång 67, 984 Elementa Lös ekvationen (x )(x 3)(x 4)(x 5) = / ge svaret i så enkel form som möjligt Går det att finna tre sådana tal a, a a 3 att för alla reella tal x? Visa att a cos x + a cosx + a 3 cos3x > 0 (x y)(x z)x a + (y x)(y z)y a + (z x)(z y)z a 0 gäller för alla reella tal a, om x, y z är reella positiva tal. Fjärde häftet Tore är 30 år äldre än Sven. Om åtta år är Tore dubbelt så gammal som Sven. Hur gammal är Sven nu? 337. Förenkla uttrycket a lg(lg a)/lg a så långt som möjligt Låt A, B, C D vara fyra punkter i rummet. Visa att AC + BD + AD + BC AB + CD (med PQ menas avståndet mellan de två punkterna P Q) Låt x, x,..., x n vara ett statistiskt material med stickprovsmedelvärdet x n = x j stickprovsvariansen sn n = (x j x n )/(n ). Visa att om vi utökar materialet med ytterligare ett värde, x n+, så blir x n+ = (nx n + x n+ )/(n + ) sn+ = n n s n + ( ). xn+ x n n Visa att ett av de fyra värdena av ( + i ) / + ( i ) / är lika med I nedanstående divisionsuppställning betecknar olika bokstäver olika siffror. Hur ser divisionen ut med de korrekta siffrorna? 4

5 Elementa Årgång 67, 984 A G H A E A B C D A E F C F D C D C D 0 ( q + r ) q+r Visa att om q > 0 r > 0 så gäller att q q r r Lös ekvationssystemet x yz = 3 y zx = 4 z x y = En fyrhörning med sidlängderna a, b, c d är inskriven i en cirkel. Visa att dess area ges av där p = a + b + c + d. S = (p a)(p b)(p c)(p d), Låt a, b, c d vara positiva tal. Visa att a 3 + b 3 + c 3 a + b + c + b3 + c 3 + d 3 b + c + d + c3 + d 3 + a 3 c + d + a + + d 3 + a 3 + b 3 d + a + b a + b + c + d. 5