Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Transkript

1 Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk analys Tentamensdag: kl Hjälpmedel: Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 14 poäng från uppgifterna 1 9, varav minst 3 poäng från uppgifterna 7 9. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 1 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 1 9 minst 50% (1 poäng) från uppgift 10 13, för betyg 5 minst 75% (18 poäng). Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter om inte annat anges Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Med ordet bestäm menas att ange det önskade med ett explicit uttryck, på så enkel form som möjligt. Symbolerna e och π står för basen för den naturliga logaritmen respektive förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter. Dessa symboler kan användas i uttryck när värde efterfrågas. Detsamma gäller beteckningar för elementära funktioner, när funktionsvärdena är svåra att beräkna numeriskt. (Ex: Arean är e 7 + π tan() areaenheter ). Del I. (D1.1) 1. Uppgift 1 9 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 14 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 7 9. Uppgift 1 6 kan en och en ersättas av duggapoäng. Funktionen f(x) = arctan e x är en strängt växande funktion, definierad på hela tallinjen (, ) och därför inverterbar. Bestäm inversen f 1 (x). Ange också definitionsområdet för f 1. Lösningsförslag: Eftersom e x avtar mot noll då x så har vi att lim arctan x ex = lim arctan t = 0, + t 0 och eftersom e x växer mot + då x +, att lim arctan x + ex = lim arctan t = π t +. Eftefrsom f är strängt växande är dess värdemängd alltså (0, π/), vilket då är definitionsmängden för dess invers f 1.

2 Vi har att y = f 1 (x) är ekvivalent med att x = f(y), och vidare att x = f(y) x = arctan e y tan x = e y y = ln(tan x). Inversen till funktionen f är alltså funktionen f 1 där f 1 (x) = ln(tan x), definierad på intervallet (0, π/). (D1.). Funktionen f definieras genom 1 x, då x 0, f(x) = x( x), då x > 0. a) Ange alla eventuella punkter där f är diskontinuerlig. b) Ange alla eventuella punkter där f är kontinuerlig men inte deriverbar. Det räcker att ange vilka punkterna är, beräkningar och motivering kan utelämnas. Både utelämnade och felaktiga punkter ger poängavdrag. Lösningsförslag: Funktionen f är kontinuerlig och deriverbar på respektive intervall (, 0), (0, ) och (, ). Punkterna 0 och behöver undersökas. Vi noterar att medan lim lim så f är diskontinuerlig i 0. Däremot är f(x) = lim (1 x) = 1, f(x) = lim x( x) = 0, + + och lim x lim x f(x) = lim x( x) = 0, f(x) = lim x(x ) = 0, + samtidigt som f() = ( ) = 0, så f är kontinuerlig i. Om f är deriverbar i en punkt och f har både vänster- och högergränsvärde, så måste de stämma överens. Men medan lim f (x) = lim x lim f (x) = lim x + d d x( x) = lim ( x) =, x(x ) = lim (x ) =, så f kan inte vara deriverbar i. (Kan också kollas genom derivatans deinition genom att se att f(x) f() inte har dubbelsidigt gränsvärde då x.) Alltså, x a) f är diskontinuerlig i 0, b) f är kontinuerlig, men inte deriverbar, i. 3

3 (D.1) 3. Funktionen f definieras på intervallet (e 1, ) som f(x) = x ln x, och är då en strängt växande funktion, och därmed inverterbar. Låt g vara den inversa funktionen till f och bestäm g (0). (Det är inte nödvändigt att bestämma en formel för g(x).) Lösningsförslag: Vi har f(x) = x ln x på intervallet (e 1, ), och g som invers funktion till f. Det betyder för derivatan till g att Vi har g (y) = 1, där y = f(x). f (x) f (x) = x ln x + x 1 x = x ( ln x + 1), och vidare att f(x) = 0 då x = 1, eftersom f(1) = 1 ln 1 = 0. Alltså är g (0) = 1 f (1) = 1 1 ( ln 1 + 1) = 1. (D.) 4. Bestäm vilken punkt på kurvan y = x + 1, (x 1) som ligger närmast punkten (x, y) = (1, 0). (Tips: Betrakta kvadraten på avståndet som en funktion av x.) Lösningsförslag: Vi låter f(x) vara kvadraten på avståndet mellan punkten (1, 0) och punkten (x, x + 1), för x 1. Då är f(x) = (x 1) + ( x + 1 0) = x x x + 1 = x x +. För att hitta minimum av f(x) studerar vi derivatan f (x) = x 1. Vi noterar att f (1/) = 0, medan f (x) < 0 då x < 1/ och att f (x) > 0 då x > 1/. Alltså har f(x) ett lokalt minimum då x = 1/, och detta minimum är samtidigt det minsta möjliga värdet. Den punkt på kurvan y = x + 1 som ligger närmast punkten (x, y) = (1, 0) är alltså (x, y) = (1/, 3/). (D3.1) 5. Beräkna värdet av integralen 1 x e 1 x. Lösningsförslag: Låt f(x) = x e 1 x. Vi har att f( x) = x e 1 ( x) = x e 1 x = f(x) 4

4 för alla x, eller med andra ord, f är en jämn funktion, så a f(x) = a f(x). a 0 Vi har därför [ u = 1 x du = x x e 1 x 1 = ] = = e 1 x x 1 eu du e u du = [e u ] u=1 u=0 = e 1. (D3.) 6. En tredimensionell kropp kan beskrivas som att ett område i xy-planet, definierat genom olikheterna π x π, 0 y sin(x π ) roteras kring y-axeln. Bestäm kroppens volym. Lösningsförslag: Kroppens volym kan beskrivas genom skalmetoden som π π/ πr h dr, där h = sin(r π/). Vi utvecklar integralen. π π/ πr sin(r π/) dr = [π r ( cos(r π/))] r=π r=π/ π π/ = π (π ( cos(π/)) π ) ( cos 0) + π = π + π [sin(r π/)] r=π r=π/ = π + π (sin(π/) sin 0) = π + π. π ( cos(r π/)) dr π π/ cos(r π/) dr 7. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen för x > 0. + y x = cos x x 5

5 Lösningsförslag: För att lösa differentialekvationen genom integration multiplicerar vi med en integrerande faktor e G (x), där G (x) = x G(x) = ln x och har då e G(x) = x. Vi har då, för x > 0, + y x = cos x x x + x y = x cos x d (x y) = x cos x x y = x cos x x y = x sin x sin x x y = x sin x + cos x + C y = sin x x för x > 0. Vi kan ta + cos x x + C x 8. Betrakta differentialekvationen där k är en generell konstant. = kxy, a) Bestäm den allmänna lösningen (som kommer att bero på k.) b) Bestäm för vilket värde på k som det finns en partikulärlösning y = f(x) så att f(0) = 3 och f(1) = 3e 1/. Ange också f(x). Lösningsförslag: Differentialekvationen = kxy, är både linjär och separabel. Vi kan t ex lösa den för genom att separera variablerna. Om y 0 så har vi att = kxy y = kx ln y = k x + C y = ±e k x +C = ce kx där c = ±e C är ett tal skilt från noll. Vi har dessutom ett fall då y är konstant noll, vilket faller in under samma formel, med c = 0. a) Den allmänna lösningen till konstant. kx = kxy är alltså y = ce, där c är en allmän 6

6 b) Låt f(x) = ce kx. Vi har då f(0) = c och f(1) = ce k. Villkoren f(0) = 3 och f(1) = 3e 1/ blir då ekvivalenta med c = 3 och k = 1. = 3xy och uppfyller dess- Alltså y = f(x) = 3e x löser differentialekvationen utom villkoren f(0) = 3 och f(1) = 3e Bestäm en funktion y(t) som uppfyller y (t) 6y (t) + 8y(t) = 85 sin t, y(0) = 1, y (0) = 0. Lösningsförslag: Varje lösning till den linjära differentialekvationen y (t) 6y (t) + 8y(t) = 85 sin t, (*) är på formen y = y p + y 0, där y = y p är någon partikulärlösning, och y h löser den homogena hjälpekvationen Ansätter vi y p (t) = a cos t + b sin t har vi y h(t) 6 y h (t) + 8y h (t) = 0. y p(t) 6y p (t) + 8y p (t) = a cos t b sin t 6( a sin t + b cos t) + 8(a cos t + b sin t) = (7a 6b) cos t + (6a + 7b) sin t. Vi har 7a 6b = 0, 6a + 7b = 85, 85a = 6 85, 85b = 7 85, a = 6, b = 7. y p (t) = 6 cos t+7 sin t är alltså en partikulärlösning till y (t) 6y (t)+8y(t) = 85 sin t. För att bestämma lösningarna till homogena ekvationen konstaterar vi att är den allmänna lösningen till y h = C 1 e r 1t + C e r t y h(t) 6y h(t) + 8y h (t) = 0. om r 1 och r är två olika rötter till den karakteristiska ekvationen r 6r + 8 = 0. Vi har genom kvadratkomplettering att r 6r + 8 = (r 3) 1 = (r 3 1)(r 3 + 1) = (r 4)(r ), så rötterna till den karakteristiska ekvationen är 4 och. 7

7 Den allmänna lösningen till (*) är alltså y(t) = 6 cos t + 7 sin t + C 1 e 4t + C e t. Vi har då y (t) = 6 sin t + 7 cos t + 4C 1 e 4t + C e t, så y(0) = 6 + C 1 + C och y (0) = 7 + 4C 1 + C. Vi bestämmer C 1 och C så att begynnelsevillkoren är uppfyllda: 6 + C 1 + C = 1, 7 + 4C 1 + C = 0, Den sökta lösningen är alltså C 1 + C = 5, 4C 1 + C = 7, y(t) = 6 cos t + 7 sin t + 3 e4t 13 et. C 1 = 3, C = 13, C 1 = 3, C = 13. 8

8 Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms. 10. Låt f(x) = x ln x, definierad på R \ {0} = (, 0) (0, ). a) Bestäm alla stationära punkter till f (punkter x där f (x) = 0). b) Ange på vilka intervall f är växande respektive avtagande. c) Ange alla lokala extrempunkter (minima och maxima) som f har. d) Skissa grafen y = f(x) i ett lämpligt valt område i xy-planet. 11. Bestäm integralen 1 x + 1 x Betrakta tangentlinjen till kurvan y = e x i en punkt P på kurvan. Tillsammans med koordinataxlarna avgränsar tangenten en triangel. Bestäm för vilken punkt P i första kvadranten (x > 0, y > 0) som triangelns area blir maximal (om det finns en maximal triangelarea). 13. Vi vill bestämma ett tal b och en funktion f(x) med egenskaperna att y = f(x) löser differentialekvationen = b(1 + y ), att f är kontinuerlig på intervallet (0, 1), att lim + f(x) = och att lim x 1 f(x) = +. Bestäm, om möjligt, en sådan funktion f(x), samt talet b. v0.1 5 augusti 011/SK&JS 9