a) Ange alla eventuella punkter där f är diskontinuerlig. b) Ange alla eventuella punkter där f är kontinuerlig men inte deriverbar.

Transkript

1 Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer MA712A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk analys Tentamensdag: kl Hjälpmedel: Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 14 poäng från uppgifterna 1 9, varav minst 3 poäng från uppgifterna 7 9. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 1 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 1 9 minst 50% (12 poäng) från uppgift 10 13, för betyg 5 minst 75% (18 poäng). Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter om inte annat anges Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Med ordet bestäm menas att ange det önskade med ett explicit uttryck, på så enkel form som möjligt. Symbolerna e och π står för basen för den naturliga logaritmen respektive förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter. Dessa symboler kan användas i uttryck när värde efterfrågas. Detsamma gäller beteckningar för elementära funktioner, när funktionsvärdena är svåra att beräkna numeriskt. (Ex: Arean är e 7 + π tan(2) areaenheter ). Del I. (D1.1) 1. (D1.2) 2. Uppgift 1 9 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 14 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 7 9. Uppgift 1 6 kan en och en ersättas av duggapoäng. Funktionen f(x) = arctan e x är en strängt växande funktion, definierad på hela tallinjen (, ) och därför inverterbar. Bestäm inversen f 1 (x). Ange också definitionsområdet för f 1. Funktionen f definieras genom 1 x, då x 0, f(x) = x(2 x), då x > 0. a) Ange alla eventuella punkter där f är diskontinuerlig. b) Ange alla eventuella punkter där f är kontinuerlig men inte deriverbar. Det räcker att ange vilka punkterna är, beräkningar och motivering kan utelämnas. Både utelämnade och felaktiga punkter ger poängavdrag. 2

2 (D2.1) 3. (D2.2) 4. Funktionen f definieras på intervallet (e 1 2, ) som f(x) = x 2 ln x, och är då en strängt växande funktion, och därmed inverterbar. Låt g vara den inversa funktionen till f och bestäm g (0). (Det är inte nödvändigt att bestämma en formel för g(x).) Bestäm vilken punkt på kurvan y = x + 1, (x 1) som ligger närmast punkten (x, y) = (1, 0). (Tips: Betrakta kvadraten på avståndet som en funktion av x.) (D3.1) 5. Beräkna värdet av integralen 1 x e 1 x2 dx. (D3.2) 6. En tredimensionell kropp kan beskrivas som att ett område i xy-planet, definierat genom olikheterna π 2 x π, 0 y sin(x π 2 ) roteras kring y-axeln. Bestäm kroppens volym. 7. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen för x > 0. dx + 2y x = cos x x 8. Betrakta differentialekvationen där k är en generell konstant. dx = kxy, a) Bestäm den allmänna lösningen (som kommer att bero på k.) b) Bestäm för vilket värde på k som det finns en partikulärlösning y = f(x) så att f(0) = 3 och f(1) = 3e 1/2. Ange också f(x). 9. Bestäm en funktion y(t) som uppfyller y (t) 6y (t) + 8y(t) = 85 sin t, y(0) = 1, y (0) = 0. 3

3 Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 24. Även presentationen bedöms. 10. Låt f(x) = x 2 ln x, definierad på R \ {0} = (, 0) (0, ). a) Bestäm alla stationära punkter till f (punkter x där f (x) = 0). b) Ange på vilka intervall f är växande respektive avtagande. c) Ange alla lokala extrempunkter (minima och maxima) som f har. d) Skissa grafen y = f(x) i ett lämpligt valt område i xy-planet. 11. Bestäm integralen x x 2 1 dx. 12. Betrakta tangentlinjen till kurvan y = e x i en punkt P på kurvan. Tillsammans med koordinataxlarna avgränsar tangenten en triangel. Bestäm för vilken punkt P i första kvadranten (x > 0, y > 0) som triangelns area blir maximal (om det finns en maximal triangelarea). 13. Vi vill bestämma ett tal b och en funktion f(x) med egenskaperna att y = f(x) löser differentialekvationen dx = b(1 + y2 ), att f är kontinuerlig på intervallet (0, 1), att lim x 0+ f(x) = och att lim x 1 f(x) = +. Bestäm, om möjligt, en sådan funktion f(x), samt talet b. Lycka till! /SK&JS 4

4 Högskolan i Skövde (SK, JS) English version Exam in mathematics Course: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Date: Aids: No aids allowed except for attached cheat sheet. No calculator. The examination is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result (grade 3) at least 14 points are needed from problems 1 9 (Part I), among these at least 3 points from problems 7 9. Each of these 9 problems may yield 3 points. From each of problems 1 6 you may choose to use the results from the pre-tests (dugga) instead of giving a solution to the exam problems. (The results from the pre-tests are found appended.) In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 50% (12 points) in part II (problems 10 13). For grade 5 at least 75% (18 points) in part II is required. Give full solutions to all problems. (Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. The term find means that an explicit expression shall be given, as simply as possible. The symbolerna e and π stands for the base of the natural logarithm and the ratio between the circumference and the diameter of the circle, respectively. These symbols may be used in an expression when a value is expected, as may names of elementary functions, if values are hard to calculate. (E.g. The area is e 7 + π tan 2 area units ). Part I. (D1.1) 1. (D1.2) 2. Problems 1 9 are assessed for passed grade. Each problem can give up to 3 points. To pass the course (grade 3 5) at least 14 points are required, whereof at least 3 points from problems 7 9. Problems 1 6 may one by one be substituted for by pre-test grades. The function f(x) = arctan e x is a strictly increasing function, defined on the whole real number line (, ) ande therefore invertible. Find the inverse function f 1 (x). Also state the domain of f 1. The function f is defined as 1 x, då x 0, f(x) = x(2 x), då x > 0. a) Find all points where f is discontinuous. b) Find all points where f is continuous, but not differentiable. It is sufficient to state the points, calculations and deduction may be left out. Both missed and incorrect given points will give point deduction. 5

5 (D2.1) 3. (D2.2) 4. The function f is defined in the interval (e 1 2, ) as f(x) = x 2 ln x. It is a strictly increasing function in its domain, and therefore invertible. Let g be the inverse function to f and find g (0). (It s not necessary to find an explicit formula for g(x).) Find the point on the curve y = x + 1, (x 1) which is closest to the point (x, y) = (1, 0). (Hint: Stu the square of the distance as a function of x.) (D3.1) 5. Calculate the value of 1 x e 1 x2 dx. (D3.2) 6. A threedimensional solid S is described by rotating around the y axis the region in the xy-plane defined by the inequalities Find the volume of S. π 2 x π, 0 y sin(x π 2 ) 7. Find the general solution of the differential equation for x > 0. dx + 2y x = cos x x 8. Stu the differential equation where k is a general constant. dx = kxy, a) find the general solution (which will depend on k.) b) Find for which value of k there is a particular solution y = f(x) such that f(0) = 3 and f(1) = 3e 1/2. Also state the function f(x). 9. Find a function y(t) which satisfies the second order initial value problem y (t) 6y (t) + 8y(t) = 85 sin t, y(0) = 1, y (0) = 0. 6

6 Part II. The following problems are assessed för grades 4 and 5. Each problem can give a maximum of 6 points, in total 24. The presentation is also assessed. 10. Let f(x) = x 2 ln x, defined in R \ {0} = (, 0) (0, ). a) Find all stationary points of f (points x where f (x) = 0). b) Find in the intervals in which f is increasing or decreasing, respectively. c) Find all local extrema (minima and maxima) of f. d) Sketch the graph y = f(x) in a suitable area of the xy-plane. 11. Find the value of the definite integral x x 2 1 dx. 12. The tangent line of the curve y = e x in a point P will intersect each of the coordinate axes. This tangent line and the coordinate axes will together enclose a triangle. Find the point P i the first quadrant (x > 0, y > 0) for which the area of the triangle is maximal (if there is a maximal area). 13. We want to find a number b and a function f(x) with the properties that y = f(x) satisfies the differential equation that f is continuous in the interval (0, 1); that lim x 0+ f(x) = ; and that lim x 1 f(x) = +. dx = b(1 + y2 ); If possible, find such a function f(x), and the number b. Good luck! /SK&JS 7