Hjälpmedel: Inga, inte ens miniräknare Göteborgs Universitet Datum: 2018 kl Telefonvakt: Jonatan Kallus Telefon: ankn 5325

Transkript

1 MATEMATIK Hjälpmedel: Inga, inte ens miniräknare Göteborgs Universitet Datum: 08 kl Tentamen Telefonvakt: Jonatan Kallus Telefon: ankn 535 MMG00 Envariabelsanalys Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper Skriv del och del i separata omslag Fyll i omslagen ordentligt Betygsgränser: G: 4- poäng, VG: -5 poäng (-3 poäng inklusive eventuella duggapoäng) Lösningar läggs ut på kursens webbsida första vardagen efter tentamensdagen Resultat meddelas via Ladok ca tre veckor efter tentamenstillfället Varje uppgift omfattar 3 poäng utom uppgift 4 som omfattar 4 poäng Till samtliga uppgifter skall fullständiga lösningar inlämnas Endast svar ger inga poäng Motivera och förklara så väl du kan Del Bestäm om gränsvärdet finns och i så fall beräkna gränsvärdet: tan ( ) Let s just look at each piece separately and think about what s happening As, 0 Since the tangent is a continuous function, tan(/) tan(0) = 0 Now, we re dividing this by That s the same as multiplying by We should know by now that = 0 (p) So, we ve got tan(/) 0 multiplied with Thus, the it is ZERO 0, hence the whole thing tends to zero We do the standard completing the square technique: (p) = ( )( ) = ( ) = The denominator has dominant terms 3/ However, the numerator has a quadratic power Therefore, the numerator is tending to infinity too fast for the denominator to keep up Hence, the quotient is just getting bigger and bigger and bigger If you d like this made more precise, you can see that Hence / = when

2 The it therefore does NOT eist e 0 sin() We know that the derivative of e is e We also know that e 0 = So, by definition of derivative, e +h e = e, and in the special case that = 0 we have Changing the variable name, we see that So, we can write Here we used the standard it (p) e h = e 0 = e 0 sin() = 0 e = 0 e sin() = sin() = = 0 0 sin() = Of course, you could always use Taylor series or l hoptial s rule, those work fine too! Bestäm om gränsvärdet finns och i så fall beräkna gränsvärdet: (p) ( + ) / 0 a Yes, the it eists It is one of those e things Let us change variables We define t = a Since a is presumably just a number, when 0, t 0 So, the it is One of the standard its is that ( + t) ta t 0 ( + t 0 t)/t = e By the continuity of the eponential function, we then have ( + t) t a = e a t 0 Hitta alla lösningar i C till ekvationen: + = (p) We just use the quadratic formula Re-writing the equation as the quadratic formula says the solutions are ± 4 4() + +, = ± 4/ = ± i

3 3 Låt f() = earctan() + (a) Beräkna f () (p) It s all about the chain rule, and the product or quotient rule (they re equivalent :-) So, we use these to compute the derivative is: f () = e arctan() + ( + ) e arctan() ( + ) This simplifies to f () = earctan() ( ) ( + ) (b) Hitta alla etrempunkter av f() i intervallet [, ] (p) We look for the treasure points First, we see that because e whatever is never zero, the only way for f () to vanish is if ( ) = 0 which requires = So, that s a treasure point Since we re on a bounded interval, the endpoints and are also treasure points We just need to compare what s happening To be kind, it is enough to get full credit if you write: the smallest value amongst e arctan( ), e arctan(/) /4 +, e arctan() is the minimum on this interval The largest value amongst these is the maimum Of course, it is possible to think a bit more and recognize that arctan( ) < arctan(/), and arctan( ) < arctan() Therefore the minimum value is earctan( ) The easiest thing to do, in my opinion, is to look at the sign of the derivative When > then < 0 Moreover, we can compute that f () < 0 when >, and f () > 0 when < So, to the right of /, the function is decreasing, the graph is going down To the left of /, the function is increasing, hence the graph is lower and going up towards (/, f(/)) Hence, we can see that / is where the maimum point occurs, so the maimum value is earctan(/) /4+ 4 (Obs! 4Poäng!) (a) Bevisa att derivatan av sin() är cos() (p) (The proof is contained in the proof document on the course website!) (b) Använd bara derivatans definition för att visa att derivatan av ln() är (p) We need to compute ln( + h) ln() We use the rules for logarithms to see that ( ) + h ln( + h) ln() = ln = ln( + h/) So, we are computing ln( + h/)(/h) h 0 This looks an awful lot like one of those e its Let s look instead at ( h 0 eln(+h/)(/h) = + h /h h 0 )

4 Indeed, this is one of those e its! Making the substitution t = h, then when h 0 we also have t 0 So, we compute Then, we have shown that ( + t 0 t)/(t) = e / which by continuity of ln shows that h 0 eln(+h/)(/h) = e / ln( + h/)(/h) = h 0 Del 5 (a) Beräkna (b) Beräkna e + d ln()d e + d = Partiellbråksuppdelning: y(y+) = y y+ e e e + e d = [y = e, dy = e d] = e y + y dy = ( p) ( p) e e ( y )dy = [ln(y) ln(y+)]e e = ln(e /(e +)) ln(e/(e+)) = ln(e(e+)/(e +)) y + ln()d = [f() = ln(); g() = ] = [ ln()] d = ln() 0 d = ln() 6 Ytan begränsad av kurvorna y = e, y =, = och = roterar kring -aeln Beräkna rotationskroppens volym (3 p) Vi kan se rotationskroppen som skilnad mellan ett man får om man roterar undergraf av e och ett man får om man roterar undergraf av, begränsad av = och = i båda fall Det första får vi som π (e ) d = [y = ] = π/ 4 ey dy = π/(e 4 e ) och det andra som π d = π[ 3 3 ] = π 3 (8 ) = π 7 3 Så svaret är π( e4 e 7 3 ) 7 (a) Lös differentialekvationen y = y + ( p) (b) Lös begynnelsevärdesproblemet y = y +, y(0) = ( p) a) Skriv om ekvationen som y + y = Detta är en första grads linjär ekvation Så d = C och vi kan ta G() = 3 3 Multiplicering med e G() = e 3 3 ger: (e 3 3 y) = e 3 3 = (e 3 3 ) Alltså, e 3 3 y = e 3 + C, och y = + Ce 3 3 b) Från a) vi ser att y = + Ce 3 3 Då y(0) = = + Ce 3 03 = + C, vi ser att C = Svaret är y = + e 3 3

5 8 (a) Skriv Maclaurins formel till e med restterm i Lagrange form (för godtycklig n)( p) (b) Upskatta restterm i (a) för = och godtycklig n (man kan anta att e < 3) (c) Hitta första siffran efter decimaltecken till e, med hjälp av (a) och (b) a) e = + /! + /! + + n /n! + R n, där R n = e θ n+ /(n + )! b) För = vi har e θ n+ /(n + )! e/(n + )! 3/(n + )! ( p) ( p) c) Ur b) för n = 4, R n 3/0 = /40 < 005, så e = + + / + /6 + /4 + R n = 5 + 5/4 + R n = 5 + 5/5 + (5/4 5/5) + R n = 7 + 5(/(5 4)) + R n Som vi har sett R n < 05 och 5(/(5 4)) = /0 00 Alltså 7 < e < 8, ie första siffren efter decimaltecken är 7 Lycka till! Julie och Maria