denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell

Transkript

1 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underänd, där 5 är högsta betyg. För godänt betyg rävs minst 4 poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter an ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna -6 an man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga. Marera detta genom att sriva ett D istället för ett ryss i uppgiftsrutan på omslaget. Ni får inte lämna in något svar på tentan för en uppgift ni vill utnyttja duggaresultat för. Ni an inte utnyttja duggaresultat för enstaa deluppgifter; antingen utnyttjar ni duggaresultaten för hela uppgiften eller eller lämnar in lösning. Ni an alltså inte ombinera duggaresultat och lösning för en uppgift, om en lösning lämnas in på en uppgift ommer duggaresultatet för den uppgiften inte att beatas. För betyg 4 rävs utöver godänt resultat från -7 minst 5% (9 poäng) från uppgift 8-, för betyg 5 minst 75% (4 poäng). För uppgifterna -7 (godäntdelen) gäller att ni an välja mellan att bara ge svar eller ge fullständig lösning, om inte annat anges, till exempel att det anges att motivering rävs. Vid enbart inlämnat svar ger bara orret svar poäng, om svaret lämnas med lösning men är felatigt finns det en möjlighet att en tillräcligt orret bifogad lösning ger poäng. För uppgift 8- sa fullständiga, tydliga och rensrivna lösningar redovisas. Ge inte lösningar till flera uppgifter på samma ar. Lösningar till flera deluppgifter till en och samma uppgift får doc ges på samma ar Följande uppgifter bedöms för betyg godänt (). denna del en poäng.. (Dugga.) (a) Beräna u (u u v) om u = och v = Om inget annat anges, ger deluppgifterna i 7 (b) Bestäm en evation på parameterform för planet som går genom punten med vetorerna u = och v = 4 7. (p) och som är parallell (p). (Dugga.) (a) Bestäm alla lösningar till evationssystemet x + y + z = y + z = x + 4y + 4z = (b) För vila värden på det reella talet är evationssystemet som representeras av totalmatrisen lösbart?. (Dugga.) (a) Matrisen är given. Beräna A A T A T A (b) Bestäm en bas för olonnrummet för matrisen (p) 4 (p) (p) (p)

2 4. (Dugga.) (a) Bestäm standardmatrisen för den linjära avbildningen T som ges av ( ) x x T = x + y y x + y (b) Finn egenvärdena för matrisen 5. (Dugga.) 5 4 (p). (p) (a) Bestäm om det finns värden på parametern för vila vetorerna u =, u = och u = (p) är ortogonala. (b) Ett underrum V i R har en bas bestående av vetorerna för V. 6. (Dugga.) och. Bestäm en ON-bas (a) Finn en bas för rummet av alla matriser av typen där alla element utanför diagonalen är noll. (p) (b) Finn basbytesmatrisen P C B där B = R. 7. (a) Avgör om T (A) = Motivera svaret väl. a a + a { där A =, } a a a a och C = {, } (p) är två baser för (p) är en linjär avbildning från M till R. (b) Bestäm en bas för nollrummet för avbildningen T : M M som ges av a a a T ( ) =. (p) a a a (p)

3 Följande uppgifter bedöms för betyg 4 och (a) Bestäm för vila värden på som matrisen inte är inverterbar. Ni behöver inte beräna inversen, bara bestämma när mattrisen är inverterbar (p) (b) Bestäm en bas för värderummet för den linjära avbildningen T : M P (rummet av alla polynom a b av gradtal högst ) som ges av T ( ) = a + b + c + dx. (p) c d 9. Diagonalisera matrisen Svaret får ges som en multipliation av matriser, men alla matriser som ingår i den multipliationen måste vara beränade.. Planet P i R har normalvetor n = (6p). Bestäm två ortogonala vetorer som spänner upp P. (6p) Lyca till! Jan-Olav R, Stefan K

4 English version The course is graded, 4, 5 or failed, where 5 is the highest grade. To pass ( or higher) a minimum of 4 points is needed from the first part (-7). Each of those seven problems gives at most points. For each of problems -6 one may choose, instead of solving the problem, to use the grading from the class exams (duggor). Mar this choice by writing DUGGA instead of giving an answer. For higher grades you have to pass the first part and collect at least 9 points (5%) from the second part for grade 4 and 4 points (75%) for grade 5. For the fist, passing, section you can, unless something else is stated, choose between giving a full solution or only giving the answer. For the problems giving higher grades (nr 8-), answers are to be given with complete, clear and cleanly written solutions (tae a new paper for each solution). The following problems are contributing to the grade passed (). If nothing else is stated, a problem in this part gives point.. (Dugga.) (a) Calculate u (u u v) if u = och v = 7 (b) Find an equation in parametric form for the plane that contains the point. (Dugga.) the vectors u = and v = (a) Find all solutions to the equation system 4 7. (p) and is parallel to. (p) x + y + z = y + z = x + 4y + 4z = (b) For which values of the real number is the equation system with the represented by the total matrix 4 solveable? (p) (p) 4

5 . (Dugga.) (a) The matrix is given. Calculate A A T A T A (b) Find a basis for the column space for the matrix (p) (p) 4. (Dugga.) (a) Find the standard matrix for the linear transformation R given by (b) Find the eigenvalues for the matrix 5. (Dugga.) T ( x y ) 5 4 = x x + y x + y (p). (p) (a) Determine wether there are values of the parameter for which the vectors u =, u = och u = (p) are orthogonal. (b) A subspace V in R has a basis consisting of the vectors V. and. Find an ON-basis for (p) 5

6 6. (Dugga.) (a) Find a basis for the space of all matrices of the type where all elements outside the diagonal are zero. (p) { } { } (b) Find the change-of-basis matrix P C B where B =, and C =, are two bases for R. (p) a a a 7. (a) Determine wether T (A) = where A = is a linear transformation from a + a a a M till R. Motivate your answer well. (p) a a (b) Find a basis for the ernel of the linear transformation T : M M given by T ( ) = a a a. (p) a 6

7 The following problems are considered for the grades 4 and (a) Determine for which values of the matrix is not invertible. You don t need to calculate the inverse, just determine when the given matrix is invertible. (p) (b) Determine a basis for the range of the linear transformation T : M P (the space of all polynomials a b with degree at most ) given by T ( ) = a + b + c + dx. (p) c d 9. Find the diagonalization of the matrix You are allowed to give the answer as a multiplication of matrices, but all matrices included in the multiplication must be calculated.. The plane P in R has the normal vector n = (6p). Find two orthogonal vectors that span P. (6p) Good luc! Jan-Olav R, Stefan K 7