Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Transkript

1 Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna skall fullständiga lösningar lämnas. Resonemang och uträkningar ska vara tydligt presenterade. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng. Tentamen kan hämtas på receptionen i B-huset. Betygsgränser är 14p-19p, 20p-24p, och 25p-30p.

2 ENGLISH VERSION: Problem 1: Consider three planes in R 3 given, respectively, by the following three equations: where k is a real constant. kx + y + 2z = 1, 2x + y + kz = k, kx + z = 0, a) Find the value(s) of the constant k, if any, such that the above given three planes intersect in the same point; b) Find the value(s) of the constant k such that the above given three planes intersect in a line. c) Present the line of interection of all three planes, corresponding to your value(s) of k obtained in part b), in parametrized from. Problem 2: Let T 1 : R 2 R 2 be the linear transformation which projects every vector u R 2 orthogonal onto the line y = x. Furthermore, let T 2 : R 2 R 2 be the linear transformation which reflects every vector u R 2 about the Y -axis. a) Find the standard matrix for both T 1 and for T 2 and, if possible, find the inverse transformations for both these transformations. b) Find the standard matrix for and for Is T 3 or T 4 invertible? Explain. T 3 (u) = T 2 T 1 (u) T 4 (u) = T 1 T 2 (u).

3 Problem 3: Evaluate the following integrals, or show that the integrals diverge: 3 a) e 2x dx sin(3x) dx b) x 2 Problem 4: Find the areas bounded by a) The curve x = y 2 and x = 2 y 2. 0 b) The curve y = e x, the line x = 0, and the tangent line to y = e x at the point x = 1. Problem 5: a) Consider the region R bounded by the curves y = x and y = x 2. Find the volume of the resulting solid when the the region R is rotated about the Y -axis. b) Find the length of the curve y 2 = x 3 between the points (1, 1) and (4, 8). Problem 6: Solve only one of the following three problems: 1) Prove that any linear system of algebraic equations, Ax = b, where A and b R m are given (A is a m n coefficient matrix), may admit either no solutions, exactly one solution, or infinitely many solutions x R n. 2) Find the length of one arch of the cycloid i.e. x = θ sin θ y = 1 cos θ, θ [0, 2π]. 3) Evluate the following integral, using integration by parts, where u(x) is a continuous function which is at least three times differentiable: cos(u) µu (u0 ) 3 dx

4 SWEDISH VERSION: Uppgift 1: Betrakta tre plan i R 3 som ges av följande tre ekvationer: där k är en reell konstant. kx + y + 2z = 1, 2x + y + kz = k, kx + z = 0, a) Om det finns sådana värden på k, hitta alla konstanter k, sådana/sådant att ovanstående tre plan skär varandra i en punkt; b) Hitta alla konstanter k så att ovanstående plan skär varandra längs en linje. c) Presentera linjen som är snittet av alla tre plan motsvarande alla värden på k som erhölls i b), på parameterform. Uppgift 2: Låt T 1 : R 2 R 2 vara en linjär avbildning som projicerar varje vektor u R 2 ortogonalt (vinkelrätt) på linjen y = x. Dessutom, låt T 2 : R 2 R 2 vara den linjära avbildning som speglar varje vektor u R 2 i Y -axeln. a) Bestäm standard matrisen för både T 1 och för T 2 och, om möjligt, bestäm inversa avbildningarna för båda dessa avbildningar. b) Bestäm standard matrisen för och för T 3 (u) = T 2 T 1 (u) T 4 (u) = T 1 T 2 (u). är T 3 eller T 4 inverterbara? Förklara.

5 Uppgift 3: Beräkna följande integraler, eller visa att integralerna divergerar: 3 a) e 2x dx sin(3x) dx b) x 2 Uppgift 4: Beräkna areorna begränsade av: a) Kurvorna x = y 2 och x = 2 y 2. 0 b) Kurvan y = e x, linjen x = 0, och tangentlinjen till y = e x i punkten x = 1. Uppgift 5: a) Betrakta området R begränsad av kurvorna y = x och y = x 2. Beräkna volymen av den resulterande kroppen när området R roteras runt Y -axeln. b) Beräkna längden av kurvan y 2 = x 3 mellan punkterna (1, 1) och (4, 8). Uppgift 6: Lös endast ett av följande tre problem: 1) Bevisa att varje linjärt ekvationssystem, Ax = b, där A och b R m är givna (A är en m n koefficientmatris), kan tillåta endera inga lösningar, exakt, en lösning, eller oändligt många lösningar x R n. 2) Bestäm längden av en båge av cykloiden x = θ sin θ y = 1 cos θ, θ [0, 2π]. 3) Beräkna följande integral, genom att använda partiell integration där u(x) är en kontinuerlig funktion som är åtminstone tre gånger deriverbar: cos(u) µu (u0 ) 3 dx