SF1625 Envariabelanalys Tentamen Fredag 17 mars 2017

Transkript

1 SF625 Envariabelanalys Tentamen Fredag 7 mars 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen utgörs av de första tre uppgifterna. Till antalet erhållna poäng från del A adderas dina bonuspoäng, upp till som mest 2 poäng. Poängsumman på del A kan alltså bli högst 2 poäng, bonuspoäng medräknade. Bonuspoängen beräknas automatiskt och antalet bonuspoäng framgår av din resultatsida. De tre följande uppgifterna utgör del B och de sista tre uppgifterna del C, som främst är till för de högre betygen. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B C D E Fx Total poäng varav från del C 6 3 För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!

2 2 SF625 Envariabelanalys Tentamen (a) Beräkna integralen DEL A e 2x cos e x dx. (2 p) (b) Bestäm gränsvärdet (2 p) sin(2x)( x 2 ) lim. x x + x 2 2. Effekten P (Watt) i ett motstånd med resistansen R (Ohm) är en funktion av spänningen U (Volt). För denna funktion P = P (U) gäller att P (22) = 44/R. Använd derivatan för att uppskatta hur mycket effekten ändras om spänningen ökas från 22 till 23 volt. (4 p) 3. (a) Skriv upp en integral som ger arean mellan t-axeln och kurvan y = (arctan t) 2 på intervallet [, x]. (2 p) (b) Bestäm ökningstakten av arean i uppgift a) i punkten x =. (2 p)

3 SF625 Envariabelanalys Tentamen DEL B 4. Newtons avsvalningslag säger att ett varmt objekt svalnar i en takt som är proportionell mot temperaturskillnaden mot omgivningen. Låt y(t) vara temperaturen i ett vattenkärl, vid tiden t minuter. När vattnet kokar ställs kärlet utomhus i 2. Temperaturen y(t) uppfyller differentialekvationen på formen y (t) = k(y(t) + 2). Vi vet också att temperaturen är 4 efter minuter. (a) Lös differentialekvationen (ledning: Substituera u(t) = y(t) + 2). (3 p) (b) När är temperaturen 25? ( p) 5. Skissa funktionsgrafen till funktionen f(x) = x2 + x. Det ska framgå var funktionen x 2 3 är växande, respektive avtagande, och vilka lokala extrempunkter, nollställen, och asymptoter den har. (4 p) 6. Linjär approximation av funktionen f(x) = x /3 omkring punkten a = 8 ger feltermen E(x). För varje x finns ett tal s = s(x) sådant att E(x) = f (s) (x 8) 2, där 8 < s < x. 2 (a) Visa att E(x) < på intervallet 8 x 9. (2 p) 9 32 (b) Visa att 9 /3 25 <. (2 p) Var god vänd!

4 4 SF625 Envariabelanalys Tentamen DEL C 7. Vi betraktar funktionen f som ges av x f(x) = 2 sin x x x = (a) Visa att f är deriverbar i origo, och bestäm f (). (2 p) (b) Är f:s derivata kontinuerlig i origo? (2 p) 8. Resonemanget: Då /x är en primitiv funktion till /x 2 har vi att [ x dx = ] = 2. 2 x är galet. Förklara vad som är fel i resonemanget, och bestäm sedan korrekt värde av integralen ovan. (4 p) 9. Kardioidkurvan parametriseras genom x(t) = 2 cos t + 4 cos 2t y(t) = 2 sin t + sin 2t, 4 t [, 2π]. (a) Bestäm längden av kurvan. (2 p) (b) Bestäm minsta avståndet från kurvan till origo. (2 p)

5 . (a) Beräkna integralen SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A e 2x cos e x dx. (2 p) (b) Bestäm gränsvärdet (2 p) sin(2x)( x 2 ) lim. x x + x 2 Lösning. (a) Med substitutionen u = e x, där du = e x dx, blir de nya gränserna och e. Partiell integration ger nu att e 2x cos e x dx = e u cos u du = [u sin u] e e sin u du = e sin e sin + cos e cos. (b) Vi har att ( x 2 ) = ( x)( + x), och därför blir sin(2x)( x 2 ) = ( x) sin(2x). x + x 2 x Vi har att lim x ( x) =, och vi behöver bara bestämma sin(2x) lim, x x till vilket vi använder l Hôpitals formel. Vi får att sin(2x) lim x x = lim x 2 cos(2x) = 2.

6 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Effekten P (Watt) i ett motstånd med resistansen R (Ohm) är en funktion av spänningen U (Volt). För denna funktion P = P (U) gäller att P (22) = 44/R. Använd derivatan för att uppskatta hur mycket effekten ändras om spänningen ökas från 22 till 23 volt. (4 p) Lösning. Med hjälp av linjär approximation (eller derivatans definition) har vi att P (23) P (22) P (22)(23 22) = 44 R Effekten ändras med ungefär 44/R Watt. = 44 R.

7 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen (a) Skriv upp en integral som ger arean mellan t-axeln och kurvan y = (arctan t) 2 på intervallet [, x]. (2 p) (b) Bestäm ökningstakten av arean i uppgift a) i punkten x =. (2 p) Lösning. (a) Funktionen (arctan t) 2 är positiv, och kontinuerlig. Vi har att arean ges av integralen x (arctan t) 2 dt. (b) Ökningstakten ges av derivatan, som vi kan beräkna med hjälp av analysens huvudsats. I punkten x är ökningstakten d x (arctan t) 2 dt = (arctan x) 2. dx I punkten x = blir ökningstakten av volymen därför π 2 /6.

8 4 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL B 4. Newtons avsvalningslag säger att ett varmt objekt svalnar i en takt som är proportionell mot temperaturskillnaden mot omgivningen. Låt y(t) vara temperaturen i ett vattenkärl, vid tiden t minuter. När vattnet kokar ställs kärlet utomhus i 2. Temperaturen y(t) uppfyller differentialekvationen på formen y (t) = k(y(t) + 2). Vi vet också att temperaturen är 4 efter minuter. (a) Lös differentialekvationen (ledning: Substituera u(t) = y(t) + 2). (3 p) (b) När är temperaturen 25? ( p) Lösning. Låt u(t) = y(t) + 2. Vi har då att du dt = dy dt = k u(t), vilket har lösning u(t) = Ce kt, för någon konstant C. Detta ger att y(t) = u(t) 2 = Ce kt 2. Begynnelsevillkoret y() = (eftersom vattnet var vid kokpunkten när det sattes ut). Detta ger C = 2. Vi har y(t) = 2e kt 2. Eftersom vi vet att y() = 4 kan vi bestämma talet k: y() = 4 2e k 2 = 4 k = ln 2. Vattnets temperatur i grader C vid tiden t minuter ges av y(t) = 2e (t ln 2)/ 2. Nu söker vi den tidpunkt då temperaturen är 25 C. Det vill säga 45 y(t) = 25 2e (t ln 2)/ ln 2 2 = 25 t = ln 2 vilket är ungefär 4 minuter. = ln 8 ln 3, ln 2

9 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Skissa funktionsgrafen till funktionen f(x) = x2 + x. Det ska framgå var funktionen x 2 3 är växande, respektive avtagande, och vilka lokala extrempunkter, nollställen, och asymptoter den har. (4 p) Lösning. Funktionen f(x) är definierad för alla x ± 3. Nollställerna till funktionen hittar vi vid lösning av x 2 + x =. Detta ger x = ( 5 ) och x = ( 5 + ). 2 2 Funktionens derivata f (x) är (2x + )(x 2 3) + (x 2 + x )( )(x 2 3) 2 (2x) = (x 2 3) 2 (x2 + 4x + 3). Polynomet x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + ), och det följer att funktionen f har lokala maxima i x = 3 och x =. Funktionsvärdet i dessa punkt är f( 3) = 9 4 = 5 och f( ) = 2 =. Vi har vidare att 3 2 lim (f(x)) = lim (f(x)) =. x x Nu håller vi reda på tecknet av derivatan, och kan skissera kurvan. Från vänster. Funktionsvärdet ligger under, strängt avtagande till lokalt minimim i x = 3, strängt växande för att bli obegränsad när x närmar sig vertikal asymptoten i x = 3. Funktionen är sedan str ngt växande, skär x-axeln, och har ett lokalt maximum i x =. Blir sedan strängt avtagande, skär x-axeln, och blir negativt obegränsat när den närmar sig vertikal asymptoten i x = 3. Är sedan strängt avtagande och närmar sig värdet y = ovanifrån.

10 6 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Linjär approximation av funktionen f(x) = x /3 omkring punkten a = 8 ger feltermen E(x). För varje x finns ett tal s = s(x) sådant att E(x) = f (s) (x 8) 2, där 8 < s < x. 2 (a) Visa att E(x) < på intervallet 8 x 9. (2 p) 9 32 (b) Visa att 9 /3 25 <. (2 p) Lösning. (a) Då 8 < s är f (s) = 2 9 s < 2 5/ Detta ger att E 2 (x) < 9 32 (x 8)2 9 32, när 8 x 9. (b) Vi utvecklar Taylor polynomet till f(x) = x /3 omkring x = 8. Vi har att f (x) = 3 x 2/3. Detta ger att den linjära approximationen omkring x = 8 är P (x) = f(8) + f (8)(x 8) = 2 + (x 8), 2 och speciellt att P (9) = 25. Differansen mellan f(9) och approximationen P 2 (9) mäts av resttermen E(9). Från a) har vi att 9 / = E(9) < 9 32.

11 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL C 7. Vi betraktar funktionen f som ges av x f(x) = 2 sin x x x = (a) Visa att f är deriverbar i origo, och bestäm f (). (2 p) (b) Är f:s derivata kontinuerlig i origo? (2 p) Lösning. (a) Vi använder derivatans definition, och har att f f( + h) f() h 2 sin () = lim = lim h. h h h h Då sin(/h) för alla h, följer det att gränsvärdet lim h h sin(/h) =. Detta visar att f är deriverbar i origo, och att derivatan är. (b) För att undersöka om derivatan är kontinuerlig i origo behöver vi först konstatera att för x gäller att f (x) = 2x sin x cos x. För att derivatan ska vara kontinuerlig i origo krävs att lim f (x) = f (). x Men lim f (x) = lim(2x sin x x x cos x ) som saknas (den första termen går visserligen mot men den andra termen antar alla värden mellan och på varje intervall runt origo). Derivatan är alltså inte kontinuerlig i origo.

12 8 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Resonemanget: Då /x är en primitiv funktion till /x 2 har vi att [ x dx = ] = 2. 2 x är galet. Förklara vad som är fel i resonemanget, och bestäm sedan korrekt värde av integralen ovan. (4 p) Lösning. Felet i resonemanget är att /x inte alls är en primitiv funktion till /x 2 i något intervall som innehåller origo eftersom /x varken är definierad eller deriverbar där. Integrationsintervallet innehåller origo. För att göra en korrekt analys av integralen behöver vi observera att den är generaliserad i origo eftersom integranden är obegränsad när x. Vi behöver dela upp integralen i två och skriva x dx = 2 x dx + 2 x dx 2 och bara om båda integralerna i högerledet är konvergenta är vår integral konvergent. Men vi har att c dx = lim dx = lim x2 c x2 c [ /x]c = och på samma sätt visas att den andra integralen i högerledet också är divergent. Slutsatsen är att integralen dx är divergent. x2

13 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Kardioidkurvan parametriseras genom x(t) = 2 cos t + 4 cos 2t y(t) = 2 sin t + sin 2t, 4 t [, 2π]. (a) Bestäm längden av kurvan. (2 p) (b) Bestäm minsta avståndet från kurvan till origo. (2 p) Lösning. (a) Längden L av av en parameterkurva ges av 2π L = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt. I vårt fall är x (t) 2 + y (t) 2 = (sin t sin 2t + cos t cos 2t) = 2 ( + cos t) = cos2 t 2, så längden av vår kardioidkurva blir 2π cos t 2π 2 2 dt = cos t π 2 dt = 2 cos t dt = 4. 2 (b) För att minimera avståndet till origo ska vi minimera d(x, y) = x 2 + y 2 för punkter (x, y) på kurvan. Dvs vi söker minimum av funktionen ( f(t) = 2 cos t + ) 2 ( cos 2t sin t + ) 2 sin 2t, t [, 2π]. 4 Efter uträkning och förenklingar med trigonometriska formler ser vi att vi kan skriva f som f(t) = cos t, 4 som uppenbart har ett minimum som antas när t = π. Minsta avståndet är /6 = /4.

14 . (a) Compute the integral SF625 Calculus in one variable Solutions to the exam PART A e 2x cos e x dx. (2 p) (b) Compute the limit (2 p) sin(2x)( x 2 ) lim. x x + x 2 Solution. (a) With the substitution u = e x we have du = e x dx, and the new interval of integration is from to e. This gives e 2x cos e x dx = e u cos u du = [u sin u] e (b) We have that ( x 2 ) = ( x)( + x), so e sin u du = e sin e sin + cos e cos. sin(2x)( x 2 ) = ( x) sin(2x) x + x 2 x As lim x ( x) =, we need only to determine The l Hôpital rule gives sin(2x) lim x x lim x sin(2x). x = lim x 2 cos(2x) = 2.

15 2 SF625 Calculus in one variable Solutions to the exam The power P (Watt) in a resistor of resistance R (Ohm) is a function of the voltage U (Volt). This function P = P (U) satisfies P (22) = 44/R. Use the derivative to approximate the amount of change in power when the voltage is increased from 22 to 23 volt? (4 p) Solution. Using linear approximation (or the definition of the derivative) we get P (23) P (22) P (22)(23 22) = 44 R The power is changed by approximately 44/R Watt. = 44 R.

16 SF625 Calculus in one variable Solutions to the exam (a) Write down an integral that gives the area between the t-axis and the curve y = (arctan t) 2 on the interval [, x]. (2 p) (b) Determine the rate of change of the area in problem a) at the point x =. (2 p) Solution. (a) The area is given by x (arctan t) 2 dt (b) The rate of change is given by the derivative that can be computed using the Fundamental Theorem of Calculus. At the point x we get the rate of change d x (arctan t) 2 dt = (arctan x) 2. dx At x = the rate of change is therefore π 2 /6.

17 4 SF625 Calculus in one variable Solutions to the exam PART B 4. Newton s law of cooling says that an object cools at a rate proportional to the difference in temperature to the surrounding medium. Let y(t) denote the temperature in a water bowl at the time t minutes. When the water boils the bowl is put outside where the temperature is 2. The temperature y(t) satisfies the differential equation y (t) = k(y(t) + 2). We also know that the temperature is 4 after minutes. (a) Solve the differential equation (hint: Substitute u(t) = y(t) + 2). (3 p) (b) When is the temperature 25? ( p) Solution. Let u(t) = y(t) + 2. Then we have that du dt = dy dt = k u(t), whose solutions are of the form u(t) = Ce kt, some constant C. This implies that y(t) = u(t) 2 = Ce kt 2. The initial condition y() = (since the water was boiling when it was put out in the cold air). This gives C = 2, and we have that y(t) = Ce kt 2. As we have that y() = 4, we get that y() = 4 2e k 2 = 4 k = ln 2. The temperature of the water, in centigrades C at time t minutes is hence given by y(t) = 2e (t ln 2)/ 2. (b) Now we seek the time when the temperature of the water is 25 C, that is 45 y(t) = 25 2e (t ln 2)/ ln 2 2 = 25 t = ln 2 which is about 4 minutes. ln 8 ln 3 = ln 2

18 SF625 Calculus in one variable Solutions to the exam Sketch the function graph of f(x) = x2 + x. Your solution should show where x 2 3 the function is increasing, and decreasing, and which local extreme values, zeros, and asymptotics it has. (4 p) Solution. The function f(x) is defined for all x ± 3. The zeros of the function are given as the solutions of x 2 + x =. These two solutions are x = 2 ( 5 ) and x = 2 ( 5 + ). The derivative of f(x) is (2x + )(x 2 3) (x 2 + x )(x 2 3) 2 2x = (x 2 3) 2 (x 2 + 4x + 3). The polynomial x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + ), and it follows that the function f has local extreme values at x = 3 and x =. The value of f at these points is f( 3) = 9 4 = and f( ) = 2 =. We have, furthermore, that 3 2 lim (f(x)) = lim (f(x)) =. x x A study of the sign of the derivative of f now shows the following. If we move from and to the right. The value of the function is below one, strictly decreasing untill the local extreme value at x = 3. Thereafter strictly increasing, and unbounded when apporaching the vertical asymptotic at x = 3. Then the function continues being strictly increasing, crosses the x-axis and has a local maximum at x =. Then it continues being strictly decreasing, crossed the x-axis, and becomes negatively unbounded when approaching the vertical asymptotic at x = 3. Follows being strictly decreasing, approaching the value y = from above.

19 6 SF625 Calculus in one variable Solutions to the exam Linear approximation of the function f(x) = x /3 around the point a = 8 gives the error term E(x). For each x there exists a number s = s(x) such that E(x) = f (s) (x 8) 2, 2 where 8 < s < x. (a) Show that E(x) < on the interval 8 x 9. (2 p) 9 32 (b) Show that 9 /3 25 <. (2 p) Solution. (a) As 8 < s we have that f (s) = 2 9 s < 2 5/ Then we have that E(x) < 9 32 x 8) 2 ( 9 32, as 8 x 9. (b) We compute the degree one Taylor polynomial P (x) of f(x) = x /3 around x = 8. We have that f (x) = 3 x 2/3. Hence P (x) = f(8) + f (8)(x 8) = 2 + (x 8), 2 and in particular we have that P (9) = 25. The difference between f(9) and the approximation P (9) is measured by the error term E(9). From a) above we have that 2 9 / = E(9) < 9 32.

20 SF625 Calculus in one variable Solutions to the exam PART C 7. We study the function f given by x f(x) = 2 sin x x x = (a) Show that f is differentiable at the origin, and determine f (). (2 p) (b) Is f:s derivative continuous at the origin? (2 p) Solution. (a) We use the definition of the derivative and have that f f( + h) f() h 2 sin () = lim = lim h. h h h h As sin(/h) for any h, it follows that the limit lim h h sin(/h) =. This shows that f is differentiable at the origin and that the derivative is at the origin. (b) To understand continuity of f around origo, we first not that for x we have that f (x) = 2x sin x cos x. In order for the derivative to be continuous at the origin we must have But, lim f (x) = f (). x lim f (x) = lim(2x sin x x x cos x ) does not exist (the first term has zero as the limit, the second term osculates between and ). The derivative is therefore not continuous at the origin.

21 8 SF625 Calculus in one variable Solutions to the exam The reasoning As /x is a primitive function of /x 2 we have that [ x dx = ] = 2. 2 x is wrong. Explain what is wrong in the reasoning, and determine then the correct value of the integral above. (4 p) Solution. The errorness claim is /x is an anti-derivative to /x 2 in any interval containing the origin, since /x is neither defined nor differentiable there. And our interval of integration contains the origin. The integral is an improper integral since the integrand is unbounded when x. We need to write x dx = 2 x dx + 2 x dx 2 and only if both integrals on the write hand side are convergent our integral is convergent. But c dx = lim dx = lim x2 c x2 c [ /x]c = and in the same way it is shown that the other integral on the write hand side is divergent. The conclusion is that the integral dx is divergent. x2

22 SF625 Calculus in one variable Solutions to the exam The cardioid curve is parametrized by x(t) = 2 cos t + 4 cos 2t y(t) = 2 sin t + sin 2t, 4 t [, 2π]. (a) Compute the length of the curve. (2 p) (b) Determine the smallest distance to the origin from the curve. (2 p) Solution. (a) The length L of a parametric curve is given by 2π L = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt In our case x (t) 2 + y (t) 2 = (sin t sin 2t + cos t cos 2t) = 2 ( + cos t) = t cos2 2 and so the length of the curve is 2π cos t 2π 2 2 dt = cos t π 2 dt = 2 cos t dt = 4. 2 The length is 4 length units. (b) In order to minimize the distance to the origin we need to minimize x 2 + y 2 for points (x, y) on the curve. We seek the minimum value of ( f(t) = 2 cos t + ) 2 ( cos 2t sin t + ) 2 sin 2t, t [, 2π]. 4 Using trigonometric identities we can write f as f(t) = cos t, 4 and clearly this is minimized when t = π. The minimum distance is /6 = /4.