Tentamen i Matematik 3: M0031M.

Transkript

1 Tentamen i Matematik 3: M0031M. Datum: Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna skall fullständiga lösningar lämnas. Resonemang och uträkningar ska vara tydligt presenterade. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.

2 ENGLISH VERSION: Problem 1: Find all solutions of the equation z = 0, where z are complex numbers and display your solutions on a circle in the complex plane. Problem 2: Let T denote a transformation such that T : P 2 P 4, where P 2 is the vector space of 2nd-degree polynomial functions and P 4 the vector space of 4th-degree polynomial functions, such that T : p(t) t 2 p(t), i) Show that T is a linear transformation. ii) Find the matrix representation for T realtive to the bases B and C, where B = {1, 2t, 2 + 4t 2 } for P 2 C = {1, t, t 2, t 3, t 4 } for P 4 iii) Is T : p(t) p(t) + p(t) 2, with p(t) P 2, a linear transformation? Explain. Problem 3: Consider the following vectors in R 4 : y = (3, 1, 1, 13), v 1 = (1, 2, 1, 2), v 2 = ( 4, 1, 0, 3). i) Find the shortest distance from y to the subspace W of R 4 spanned by v 1 and v 2. ii) Find the orthogonal projection of y onto the orthogonal complement, W, of W.

3 Problem 4: Find an orthonormal basis for the column space of the matrix A and give the rank of this matrix: A = Problem 5: a) Consider the following differential equation: x 2 dy dx = y2 + 2xy. i) Find the general solution of the given differential equation for all x R using the substitution y(x) = x v(x). ii) Solve the initial-value problem for the given differential equation, with y(1) = 2. b) Consider the differential equation dy dx = x + 3y 4 3x y 2. Assume the following change of variables, z = x 1 v(z) = y 1, where z is the new independent variable and v the new dependent variable. Show that the differential equation in terms of the new variables v and z is a separable 1st-order differential equation. Problem 6: Solve only one of the following three problems: 1) Show that e ix = cosx + i sin x, for all x R

4 by considering the function and its derivative. Here i := 1. f(x) = (cosx + i sin x)e ix 2) Let A be an n n matrix. Prove that A is invertible if and only if λ = 0 is not an Eigenvalue for A. 3) Consider a general n-dimensional vector space V with basis B and a general m-dimensional vector space W with basis C. Let T be a linear transformation, T := V W, Derive the matrix representation of T relative to B and C. SWEDISH VERSION: Problem 1: Bestäm alla lösningar till ekvationen z = 0 där z är komplexa tal, och markera dina lösningar på en cirkel i det komplexa talplanet. fullständigt. Problem 2: Låt T beteckna en avbildning, så att T : P 2 P 4, där P 2 är vektorrummet med polynom av grad 2 och P 4 är vektorrummet med polynom av grad 4, så att T : p(t) t 2 p(t), i) Visa att T är en linjär avbildning.

5 ii) Bestäm matrisrepresentationen av T relativt baserna B och C, där B = {1, 2t, 2 + 4t 2 } för P 2 C = {1, t, t 2, t 3, t 4 } för P 4 iii) Är T : p(t) p(t) + p(t)2, då p(t) P 2, en linjär avbildning? Förklara. Problem 3: Givet följande vektorer i R 4 : y = (3, 1, 1, 13), v 1 = (1, 2, 1, 2), v 2 = ( 4, 1, 0, 3). i) Bestäm det kortaste avståndet från y till underrummet W till R 4 som spänns upp av v 1 och v 2. ii) Bestäm den ortogonala projektionen av y på det ortogonala komplementet, W, till W. Problem 4: Bestäm en ortonormerad bas för kolonnrummet till matrisen A and ange matrisens rang: Problem 5: a) Givet följande differentialekvation: A = x 2 dy dx = y2 + 2xy. i) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen för alla x R genom att använda substitutionen y(x) = xv(x). ii) Lös initialvärdesproblemet för den givna differentialekvationen då y(1) = 2.

6 b) Givet differentialekvationen Använd följande variabelbyten, dy dx = x + 3y 4 3x y 2. z = x 1 v(z) = y 1, där z är den nya oberoende variabeln och v är den nya beroende varabeln. Visa att differentialekvationen uttryckt i de nya variablerna v och z är en separabel första ordningens differentialekvation. Problem 6: Lös endast ett av de följande tre problemen: 1) Visa att e ix = cosx + i sin x, for all x R genom att betrakta funktionen och dess derivata. Här är i := 1. f(x) = (cosx + i sin x)e ix 2) Låt A vara en n n matris. Visa att A är inverterbar om och endast om λ = 0 inte är ett egenvärde till A. 3) Givet ett allmänt n-dimensionellt vektorrum V med bas B och ett allmänt m-dimensionellt vektorrum W med bas C. Låt T vara en linjär avbildning T := V W, Härled matrisrepresentationen av T relativt B och C.