and Mathematical Statistics Gerold Jäger 9:00-15:00 T Compute the following matrix

Transkript

1 Umeå University Exam in mathematics Department of Mathematics Linear algebra and Mathematical Statistics Gerold Jäger 9:00-15:00 T ( ) Compute the following matrix 7 8 (2 p) Consider a matrix transformation T 1 from R 2 to R 2, which consists of an orthogonal projection on the x-axis followed by a rotation by 45 in positive direction. (a) Find the standard matrix of this matrix transformation. (1 p) (b) Does a change of the order of the single transformations (orthogonal projection and rotation) change the overall matrix transformation? Explain your answer. (1 p) 2 Hint: sin (45 ) = cos(45 ) = Determine a R so that the matrix A = a 4. Compute, using the Gram-Schmidt process, an orthonormal basis for R 3, is not invertible. (3 p) given the basis S = {w 1 = ( 1, 3, 2), w 2 = (3, 4, 0), w 3 = ( 3, 3, 4)} for R 3. (3 p) 5. Solve the following linear system: 2x 1 + 3x 2 4x 3 = 3 x 1 x 2 + 3x 3 = 2 2x 1 + 5x 2 = 17 (2 p) 6. Let L 1 = {(3, 2, 2) + s (2, 3, 5) s R} and L 2 = {(5, 27, 15) + t (1, 4, 8) t R} be the vector equations of two lines in R 3. Determine whether these lines are equal, parallel, have only one common point, or if none of these cases hold. Explain your answer. (2 p) 7. Let A = (a) Compute a basis of the row space of A. (0.5 p) (b) Compute a basis of the column space of A. (0.5 p) (c) Compute a basis of the null space of A. (0.5 p) (d) Compute the rank and the nullity of A. (0.5 p) ( ) Let A =. 6 1 (a) Compute all eigenvalues with corresponding eigenvectors of A. (1.5 p) (b) Is A diagonalizable? If yes, compute a diagonal matrix D R 2,2 and an invertible matrix P R 2,2 so that D = P 1 AP. (1.5 p) 9. Prove that each linear system has zero, one or infinitely many solutions. (3 p) 10. Prove or disprove: The set of all polynomials p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 with a 0 = 1 is a subspace of the vector space of all polynomials with degree at most 2. (2 p) Information regarding this exam A Swedish version of the exam is available on the opposite site of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Only non-symbolic calculators are allowed. Good luck!

2 Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Linjär algebra och matematisk statistik Gerold Jäger 9:00-15:00 T ( ) Beräkna följande matris 7 8 (2 p) Betrakta en matristransformation T 1 från R 2 till R 2, som består av en ortogonal projektion på x-axeln följd av en rotation 45 i positiv riktning. (a) Hitta standardmatrisen till denna matristransformation. (1 p) (b) Förändrar ett byte av den ordning man utför de enskilda transformationerna (ortogonal projektion och rotation) den totala matristransformationen? Förklara ditt svar. (1 p) 2 Tips: sin(45 ) = cos(45 ) = 2 3. Bestäm a R så att följande matris inte är inverterbar: A = 4. Beräkna, med Gram-Schmidts process, en ortonormal bas i R 3 utgående a (3 p) från basen S = {w 1 = ( 1, 3, 2), w 2 = (3, 4, 0), w 3 = ( 3, 3, 4)} i R 3 (3 p) 5. Lös följande linjära system: 2x 1 + 3x 2 4x 3 = 3 x 1 x 2 + 3x 3 = 2 2x 1 + 5x 2 = 17 (2 p) 6. Låt L 1 = {(3, 2, 2) + s (2, 3, 5) s R} och L 2 = {(5, 27, 15) + t (1, 4, 8) t R} vara vektorformerna av två räta linjer i R 3. Avgör om dessa linjer är lika, parallella, har en gemensam punkt eller om inget av dessa fall gäller. (2 p) 7. Låt A = (a) Bestäm en bas för radrummet till A (0.5 p) (b) Bestäm en bas för kolonnrummet till A (0.5 p) (c) Bestäm en bas för nollrummet till A (0.5 p) (d) Beräkna rangen och nulliteten till A (0.5 p) ( ) Låt Låt A =. 6 1 (a) Beräkna alla egenvärden och motsvarande egenvektorer till A. (1.5 p) (b) Är A diagonaliserbar? Om ja, beräkna en diagonalmatris D R2,2 och en inverterbar matris P R 2,2 så att D = P 1 AP (1.5 p) 9. Visa att varje linjärt ekvationssystem har noll, en eller oändligt många lösningar. (3 p) 10. Visa eller motbevisa: Mängden av alla polynom p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 med a 0 = 1 är ett underrum till vektorrummet som består av alla polynom av grad högst två. (2 p) Information om tentamen En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan lämnas på valfritt språk. I varje lösning; skriv varje mellanliggande steg som leder till slutresultatet. Lösningar utan dessa mellanliggande steg får inga poäng även om de är korrekta. Endast icke-symboliska räknare är tillåtna. Lycka till!

3 Umeå University Second exam in mathematics Department of Mathematics Linear algebra and Mathematical Statistics Gerold Jäger 9:00-15: Compute the following matrix (2 p) Consider the points A = (1, 3, 2), B = (2, 4, 1), C = (5, 1, 2) in R 3. (a) Show that these three points lie in the same plane π. (1 p) (b) Compute the distance of the point D = (2, 1, 0) to π. (2 p) 3. Compute the determinant of the matrix A = Compute, using the Gram-Schmidt process, an orthonormal basis for R 3, (2 p) given the basis S = {w 1 = ( 1, 2, 2), w 2 = (1, 1, 1), w 3 = (1, 0, 2)} for R 3. (3 p) 5. For which a R has the following linear system zero, one or infinitely many solutions, respectively: ax 1 x 2 2x 3 + 3x 4 = 5 5x 1 4x 2 + 3x 4 = 4 2x 1 2x 2 + x 3 2x 4 = 2 2x 1 + 5x 2 3x 3 + 2x 4 = 3 6. Let u = (5, 2, 3) and a = (3, 4, 5). Compute the orthogonal projection of u on a, i.e., compute w 1 = proj a (u). (1 p) Let A = (a) Compute a basis of the row space of A. (0.5 p) (b) Compute a basis of the column space of A. (0.5 p) (c) Compute a basis of the null space of A. (0.5 p) (d) Compute the rank and the nullity of A. (0.5 p) Let A = (a) Compute all eigenvalues with corresponding eigenvectors of A. (1.5 p) (b) Is A diagonalizable? If yes, compute a diagonal matrix D R 3,3 and an invertible matrix P R 3,3 so that D = P 1 AP. (1.5 p) 9. Prove the following theorem: Let V be a vector space V and S = {v 1, v 2,..., v n } be a basis of V. Then every v V can be expressed in the form v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n in exactly one way. (3 p) 10. Prove or disprove: The set of all polynomials p(x) = a 0 + a 1 x 2 is a subspace of the (3 p) vector space of all polynomials with degree at most 2. (2 p) Information regarding this exam A Swedish version of the exam is available on the opposite site of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Only non-symbolic calculators are allowed. Good luck!

4 Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Linjär algebra och matematisk statistik Gerold Jäger 9:00-15: Beräkna följande matris (2 p) Betrakta punkterna A = (1, 3, 2), B = (2, 4, 1), C = (5, 1, 2) in R 3. (a) Visa att dessa punkter ligger i samma plan π. (1 p) (b) Beräkna avståndet från punkten D = (2, 1, 0) till π. (2 p) 3. Beräkna determinanten till matris A = Beräkna, med Gram-Schmidts process, en ortonormal bas i R 3 utgående (2 p) från basen S = {w 1 = ( 1, 2, 2), w 2 = (1, 1, 1), w 3 = (1, 0, 2)} i R 3 (3 p) 5. För vilka a har följande linjära system noll, en eller oändligt många lösningar: ax 1 x 2 2x 3 + 3x 4 = 5 5x 1 4x 2 + 3x 4 = 4 2x 1 2x 2 + x 3 2x 4 = 2 2x 1 + 5x 2 3x 3 + 2x 4 = 3 (3 p) 6. Låt u = (5, 2, 3) och a = (3, 4, 5). Beräkna den ortogonala projektionen av u på a, dvs. beräkna w 1 = proj a (u). (1 p) (a) Bestäm en bas för radrummet till A (0.5 p) 7. Låt A = (b) Bestäm en bas för kolonnrummet till A (0.5 p) (c) Bestäm en bas för nollrummet till A (0.5 p) (d) Beräkna rangen och nulliteten till A (0.5 p) 8. Låt Låt A = (a) Beräkna alla egenvärden och motsvarande egenvektorer till A. (1.5 p) (b) Är A diagonaliserbar? Om ja, beräkna en diagonalmatris D R3,3 och en inverterbar matris P R 3,3 så att D = P 1 AP (1.5 p) 9. Bevisa följande sats: Låt V vara ett vektorrum och S = {v 1, v 2,..., v n } vara en bas för V. Då kan varje v V uttryckas på formen v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n på exakt ett sätt. (3 p) 10. Visa eller motbevisa: Mängden av alla polynom p(x) = a 0 + a 1 x 2 är ett underrum till vektorrummet som består av alla polynom av grad högst två. (2 p) Information om tentamen En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan lämnas på valfritt språk. I varje lösning; skriv varje mellanliggande steg som leder till slutresultatet. Lösningar utan dessa mellanliggande steg får inga poäng även om de är korrekta. Endast icke-symboliska räknare är tillåtna. Lycka till!

5 Umeå University Exam in mathematics Department of Mathematics Linear algebra and Mathematical Statistics Gerold Jäger 16:00-22:00 ( ) 1 ( ) Compute: 4 2 (2 p) Consider a matrix transformation T from R 3 to R 3, which consists of an orthogonal projection on the xy-plane followed by a contraction with factor 1/2. (a) Find the standard matrix of this matrix transformation. (1 p) (b) Is the matrix transformation one-to-one? Explain your answer! (1 p) 3. Consider the matrix A = and the vector b = (a) Compute the determinant of A. (1 p) (b) Determine the rank of A. (1 p) (c) Compute the inverse of A. (1 p) (d) Solve the linear system Ax = b, where x R 3. (1 p) 4. Compute, using the Gram-Schmidt process, an orthonormal basis for R 3, given the basis S = {w 1 = (1, 2, 0), w 2 = (0, 2, 1), w 3 = (2, 0, 1)} for R 3. (2 p) 5. Consider the following linear system: x 1 x 2 + 2x 3 = 1 x 2 5x 3 = a 5x 1 4x 2 ax 3 = 0 For which values of a R has the linear system zero, one or infinitely many solutions? (2 p) 6. Consider the points A = (4, 1, 1), B = (3, 2, 1), C = (2, 1, 1) in R 3. (a) Show that these three points do not lie on one line. (1 p) (b) Compute the distance of the point D = (4, 1, 2) to the plane containing A, B, C. (1 p) 7. Let u = ( 2, 5, 3), v = (1, 3, 1) and w = (4, 1, 2). Compute the volume of the parallelepiped ( determined ) by these three vectors. (2 p) Let A = (a) Compute all eigenvalues with corresponding eigenvectors of A. (2 p) (b) Is A diagonalizable? If no, explain why. If yes, compute a diagonal matrix D R 2,2 and an invertible matrix P R 2,2 so that D = P 1 AP. (1 p) (c) Is A orthogonally diagonalizable? If no, explain why. If yes, compute a diagonal matrix D R 2,2 and an orthogonal matrix P R 2,2 so that D = P T AP. (1 p) 9. Prove: The solution set of a homogenous linear system Ax = 0 m for A R m,n is a subspace of R n. 10. Prove or disprove: p 1 (x) = 2x 2 4x + 3, p 2 (x) = 3x 2 + x + 2, p 3 (x) = x 2 2x + 3 (2 p) build a basis of the vector space P 2 of all polynomials with degree at most 2. (2 p) Information regarding this exam A Swedish version of the exam is available on the opposite site of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Calculators are allowed. Good luck!

6 Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Linjär algebra och matematisk statistik Gerold Jäger 16:00-22:00 ( ) 1 ( ) Beräkna: 4 2 (2 p) Betrakta en matristransformation T från R 3 till R 3, som består av en ortogonal projektion på xy-planet följd av en kontraktion med factor 1/2. (a) Hitta standardmatrisen till denna matristransformation. (1 p) (b) Är matris transformationen bijektiv (one-to-one)? Förklara ditt svar! (1 p) Betrakta matrisen A = och vektoren b = (a) Beräkna determinanten till A. (1 p) (b) Bestäm rangen till A. (1 p) (c) Beräkna inversen till A. (1 p) (d) Lös det linjära systemet Ax = b, där x R 3. (1 p) 4. Beräkna, med Gram-Schmidts metod, en ortonormal bas i R 3 utgående från basen S = {w 1 = (1, 2, 0), w 2 = (0, 2, 1), w 3 = (2, 0, 1)} i R 3. (2 p) 5. Betrakta följande linjära system: x 1 x 2 + 2x 3 = 1 x 2 5x 3 = a 5x 1 4x 2 ax 3 = 0 Föt vilka värdena på a R har det linjära systemet noll, en eller oändligt många lösningar? (2 p) 6. Låt A = (4, 1, 1), B = (3, 2, 1) och C = (2, 1, 1) vara punkter i R 3. (a) Vis att dessa tre punkter inte ligger på en rät linje. (1 p) (b) Beräkna avståndet från punkten D = (2, 1, 0) till planet som innehåller A, B och C. (1 p) 7. Låt u = ( 2, 5, 3), v = (1, 3, 1) och w = (4, 1, 2). Beräkna volymen av den parallellepiped ( som bestäms ) av dessa tre vektorer. (2 p) Låt A = (a) Beräkna alla egenvärden och motsvarande egenvektorer till A. (2 p) (b) Är A diagonaliserbar? Om nej, motivera. Om ja, beräkna en diagonalmatris D R 2,2 och en inverterbar matris P R 2,2 så att D = P 1 AP. (1 p) (c) Är A ortogonalt diagonaliserbar? Om nej, motivera. Om ja, beräkna en diagonalmatris D R 2,2 och en ortogonal matris P R 2,2 så att D = P T AP. (1 p) 9. Visa: Lösningsmängden till homogent linjärt system Ax = 0 m med A R m,n, är ett underrum av R n. 10. Visa eller motbevisa: p 1 (x) = 2x 2 4x + 3, p 2 (x) = 3x 2 + x + 2, p 3 (x) = x 2 2x + 3 (2 p) bildar en bas för vektorrummet P 2 som består av alla polynom av grad högst två. (2 p) Information om tentamen En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan lämnas på valfritt språk. I varje lösning; skriv varje mellanliggande steg som leder till slutresultatet. Lösningar utan dessa mellanliggande steg får inga poäng även om de är korrekta. Endast icke-symboliska räknare är tillåtna. Lycka till!

7 Umeå University Re-exam in mathematics Department of Mathematics Linear algebra and Mathematical Statistics Gerold Jäger 09:00-15:00 T Compute: (2 p) Consider a matrix transformation T from R 3 to R 3, which consists of an orthogonal projection on the xz-plane followed by reflection about the xy-plane. (a) Find the standard matrix of this matrix transformation T : R 3 R 3. (1 p) (b) Find the image of the point P = (1, 1, 2) under this matrix transformation, i.e., find T (P ). (1 p) (c) If possible, find a point Q R 3 such that T (Q) = P. If this is not possible, explain why. (1 p) 3. Consider the matrix A = (a) Compute the row rank of A. (1 p) (b) Compute the column rank of A. (1 p) (c) Determine a basis of the row space of A. (1 p) (d) Determine a basis of the column space of A. (1 p) 4. Compute, using the Gram-Schmidt process, an orthonormal basis, given the basis S = {w 1 = (1, 1, 0, 0), w 2 = (0, 0, 1, 1), w 3 = (0, 1, 1, 0)}. (2 p) 5. For which value of a R are the vectors v 1 = (2, 2a, 3, 1), v 2 = (1, 2, 3, 2), v 3 = (3, a 4, 18, 11) linearly dependent? Explain your answer. (2 p) Compute the inverse of the matrix (2 p) Let P = (1, 4, 2), Q = (2, 2, 3) and R = (2, 1, 5) be points in R 3. Compute the area of the triangle defined by these three points. (2 p) Let A = (a) Compute all eigenvalues with corresponding eigenvectors of A. (2 p) (b) Is A orthogonally diagonalizable? If no, explain why. If yes, compute a diagonal matrix D R 3,3 and an orthogonal matrix P R 3,3 so that D = P T AP. (1 p) 9. (a) Formulate the triangle inequaliy for vectors. (1 p) (b) Prove the triangle inequality for vectors. (1 p) 10. Prove or disprove: The set of polynomials of the form a 0 + a 1 x + a 2 x 2 with a 0 = a 2 is a subspace of the vector space P 2 of all polynomials with degree at most two. (2 p) Information regarding this exam A Swedish version of the exam is available on the opposite site of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Calculators are allowed. Good luck!

8 Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Linjär algebra och matematisk statistik Gerold Jäger 09:00-15:00 T Beräkna: (2 p) Betrakta matristransformationen T från R 3 till R 3, som består av en ortogonal projektion på xy-planet följd av en spegling i xy-planet. (a) Hitta standardmatrisen till denna matristransformation T : R 3 R 3. (1 p) (b) Hitta bilden av punkten P = (1, 1, 2) för matristransformationen, dvs hitta T (P ). (1 p) (c) Om det är möjligt, hitta punkten Q R 3 så att T (Q) = P. Om det inte är möjligt, motivera varför. (1 p) 3. Betrakta matrisen A = (a) Beräkna radrangen till A. (1 p) (b) Beräkna kolonnrangen till A. (1 p) (c) Bestäm en bas för radrummet till A. (1 p) (d) Bestäm en bas för kolonnrummet till A. (1 p) 4. Beräkna, med Gram-Schmidts metod, en ortonormal bas utgående från basen S = {w 1 = (1, 1, 0, 0), w 2 = (0, 0, 1, 1), w 3 = (0, 1, 1, 0)}. (2 p) 5. För vilka värden på a R är vektorerna v 1 = (2, 2a, 3, 1), v 2 = (1, 2, 3, 2), och v 3 = (3, a 4, 18, 11) linjärt beroende? Förklara ditt svar. (2 p) Beräkna inversen till matrisen (2 p) Låt P = (1, 4, 2), Q = (2, 2, 3) och R = (2, 1, 5) vara punkter i R 3. Beräkna arean av den triangel som bildas av dessa tre punkter. (2 p) Låt A = (a) Beräkna alla egenvärden och motsvarande egenvektorer till A. (2 p) (b) Är A ortogonalt diagonaliserbar? Om ja, beräkna en diagonalmatris D R 3,3 och en ortogonal matris P R 3,3 så att D = P T AP. (1 p) 9. (a) Formulera trianglolikheten för vektorer. (1 p) (b) Bevisa trianglolikheten för vektorer. (1 p) 10. Visa eller motbevisa: Mängden av alla polynom p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 med a 0 = a 2 är ett underrum till vektorrummet som består av alla polynom av grad högst två. (2 p) Information om tentamen En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan lämnas på valfritt språk. I varje lösning; skriv varje mellanliggande steg som leder till slutresultatet. Lösningar utan dessa mellanliggande steg får inga poäng även om de är korrekta. Endast icke-symboliska räknare är tillåtna. Lycka till!

9 UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Gerold Jäger Exam in mathematics Linear algebra :00 15:00 1. Compute: ( ) Consider the following linear system: T x 1 = 1 3x 1 x 2 = 2 x 1 + x 2 = 3 (5 p) (a) Show that the linear system has no solution. (1 p) (b) Find all least squares solutions of the linear system. (4 p) 3. Consider a matrix transformation from R 2 to R 2, which consists of a reflection about the x-axis followed by a rotation by 60 in positive direction (a) Find the standard matrix of this matrix transformation. (3 p) (b) Does a change of the order of the single transformations (reflection and rotation) change the overall matrix transformation? Explain your answer. (2 p) 3 Hint: sin(60 ) = 2, cos(60 ) = For which a R is the matrix invertible? Explain your answer. (5 p) 1 2 a 5. Let L 1 = {(3, 5, 2) + s (2, 6, 4) s R} and L 2 = {( 3, 13, 10) + t ( 3, 9, 6) t R} be the vector equations of two lines in R 3. Determine whether these lines are equal, parallel, have only one common point, or if none of these cases hold. Explain your answer. (5 p) 6. Let A = (a) Determine a basis of the row space of A. (1 p) (b) Determine a basis of the column space of A. (1 p) (c) Determine a basis of the null space of A. (2 p) (d) Compute the rank and nullity of A. (1 p) 7. Find a matrix A = (a ij ) 1 i,j 3 R 3,3 with nullity 1 and a 1,1 = 1, a 2,1 = 2, a 3,1 = 3. (4 p) Let A = (a) Compute all eigenvalues with corresponding eigenvectors of A. (3 p) (b) Is A orthogonally diagonalizable? If no, explain why. If yes, compute a diagonal matrix D R 3,3 and an orthogonal matrix P R 3,3 such that D = P T AP. (2 p) 9. Consider the vector space P 2 of all polynomials with degree at most 2. Show or disprove: (a) p 1 (x) = x 2 + 3x + 4, p 2 (x) = 3x is a basis of P 2. (2 p) (b) q 1 (x) = x 2 + 5x + 2, q 2 (x) = 3x 2 + 2x + 3, q 3 (x) = 2x + 5 is a basis of P 2. (3 p) 10. Prove that in an inner product space an orthogonal set of non-zero vectors is linearly independent. (4 p) Information regarding this exam: A Swedish version of the exam is available on the opposite side of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Calculators are allowed. Good luck!

10 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Gerold Jäger Tentamen i matematik Linjär algebra :00 15:00 1. Beräkna: ( ) Betrakta följande linjära system: T (5 p) 1 2 x 1 = 1 3x 1 x 2 = 2 x 1 + x 2 = 3 (a) Förklara varför det linjära systemet saknar lösning. (1 p) (b) Hitta alla minstakvadratlösningar till det linjära systemet. (4 p) 3. Betrakta en matristransformation från R 2 till R 2, som består av en spegling i x-axeln följd av en rotation 60 i positiv riktning. (a) Hitta standardmatrisen till denna matristransformation. (3 p) (b) Förändrar ett byte av den ordning i vilken man utför de enskilda transformationerna (spegling och rotation) den totala matristransformationen? Förklara ditt svar. (2 p) 3 Tips: sin(60 ) = 2, cos(60 ) = För vilka värden på a R är matris inverterbar? Förklara ditt svar. (5 p) 1 2 a 5. Låt L 1 = {(3, 5, 2) + s (2, 6, 4) s R} och L 2 = {( 3, 13, 10) + t ( 3, 9, 6) t R} vara vektorformerna av två räta linjer i R 3. Avgör om dessa linjer är lika, parallella, har en gemensam punkt eller om inget av dessa fall gäller. Förklara ditt svar. (5 p) Låt A = (a) Bestäm en bas för radrummet till A. (1 p) (b) Bestäm en bas för kolonnrummet till A. (1 p) (c) Bestäm en bas för nollrummet till A. (2 p) (d) Beräkna rangen och nulliteten, (d.v.s. dimensionen av nollrummet), till A. (1 p) 7. Hitta en matris A = (a ij ) 1 i,j 3 R 3,3 med nulliteten 1, (se 6d ovan), och a 1,1 = 1, a 2,1 = 2, a 3,1 = 3. (4 p) Låt A = (a) Beräkna alla egenvärden och motsvarande egenvektorer till A. (3 p) (b) Är A ortogonalt diagonaliserbar? Om nej, motivera. Om ja, beräkna diagonalmatris D R 3,3 och en ortogonal matris P R 3,3 så att D = P T AP. (2 p) 9. Betrakta vektorrummet P 2 som består av alla polynom av grad högst 2. Visa eller motbevisa: (a) p 1 (x) = x 2 + 3x + 4, p 2 (x) = 3x bilder en bas för P 2 bildar en bas för P 2. (2 p) (b) q 1 (x) = x 2 + 5x + 2, q 2 (x) = 3x 2 + 2x + 3, q 3 (x) = 2x + 5 bildar en bas för P 2. (3 p) 10. Visa att i ett inre produktrum gäller att en mängd av icke-noll vektorer är linjärt oberoende. (4 p) Information om tentamen: En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan skrivas på svenska eller engelska. I varje uppgift, skriv varje mellanled som leder fram till ditt svar. Lösningar utan dessa mellanled kommer ej att ges några poäng, även om de är korrekta. Miniräknare är tillåtna. Lycka till!

11 UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Gerold Jäger Exam in mathematics Linear algebra :00 15:00 1. Let ( ) ( ) ( ) A =, B =, C = Compute each of the following terms, if it is defined. If is not defined, explain shortly why. (a) A 2. (2 p) (b) C 3. (1 p) (c) A C T. (1 p) (d) B C T. (1 p) 2. Consider the following linear system: 3x 1 + 2x 2 = 1 5x 1 + 4x 2 = 5 x 1 + x 2 = 2 (a) Show that the linear system has no solution. (2 p) (b) Find all least squares solutions of the linear system. (3 p) 3. Consider a matrix transformation T from R 3 to R 3, which consists of an orthogonal projection on the yz-plane followed by a dilation with a factor 2. (a) Find the standard matrix of this matrix transformation T : R 3 R 3. (2 p) (b) Is this matrix transformation invertible? Explain your answer. (1 p) (c) Find the image of the point P = (2, 1, 3) under this matrix transformation, i.e., find T (P ). (2 p) 4. For which a R is the matrix a invertible? Explain your answer. (5 p) 5. Compute, using the Gram-Schmidt process, an orthonormal basis, given the basis w 1 = (1, 1, 0), w 2 = (2, 0, 2), w 3 = (3, 3, 3). (5 p) 6. Let A = (a) Determine a basis of the row space of A. (1 p) (b) Determine a basis of the column space of A. (1 p) (c) Determine a basis of the null space of A. (2 p) (d) Compute the rank and nullity of A. (1 p) 7. Find a matrix A = (a ij ) 1 i,j 3 R 3,3 with nullity 2 and a 1,3 = 3, a 2,2 = 2, a 3,1 = 1. (4 p) ( ) Let A =. 5 1 (a) Compute all eigenvalues with corresponding eigenvectors of A. (2 p) (b) Is A diagonalizable? If no, explain why. If yes, compute a diagonal matrix D R 2,2 and an invertible matrix P R 2,2 so that D = P 1 AP. (2 p) (c) Is A orthogonally diagonalizable? If no, explain why. If yes, compute a diagonal matrix D R 2,2 and an orthogonal matrix P R 2,2 so that D = P T AP. (1 p) 9. Prove or disprove: The set of polynomials of the form a 0 + a 1 x + a 2 x 2 with a 2 = 2a 1 is a subspace of the vector space P 2 of all polynomials with degree at most two. (5 p) 10. Prove that each linear system has zero, one or infinitely many solutions. (4 p) Information regarding this exam: A Swedish version of the exam is available on the opposite side of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Calculators are allowed. Good luck!

12 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Gerold Jäger Tentamen i matematik Linjär algebra :00 15:00 1. Låt ( ) ( ) ( ) A =, B =, C = Beräkna följande uttryck, om de är definierad. Om något uttryck inte är definierat, förklara kort varför. (a) A 2. (2 p) (b) C 3. (1 p) (c) A C T. (1 p) (d) B C T. (1 p) 2. Betrakta följande linjära system: 3x 1 + 2x 2 = 1 5x 1 + 4x 2 = 5 x 1 + x 2 = 2 (a) Förklara varför det linjära systemet saknar lösning. (2 p) (b) Hitta alla minstakvadratlösningar till det linjära systemet. (3 p) 3. Betrakta en matristransformation T från R 3 till R 3, som består av en ortogonal projektion på yz-plane Följd av en dilation (d.v.s. skalförstoring) en faktor 2. (a) Hitta standardmatrisen till denna matristransformation T : R 3 R 3. (2 p) (b) Är denna matristransformation inverterbar? Förklar ditt svar. (1 p) (c) Hitta bilden av punkten P = (2, 1, 3) för matristransformationen, d.v.s. hitta T (P ). (2 p) 4. För vilka värden på a R är matris a inverterbar? Förklara ditt svar. (5 p) 5. Beräkna, med Gram-Schmidts metod, en ortonormal bas utgående från basen w 1 = (1, 1, 0), w 2 = (2, 0, 2), w 3 = (3, 3, 3). (5 p) 6. Låt A = (a) Bestäm en bas för radrummet till A. (1 p) (b) Bestäm en bas för kolonnrummet till A. (1 p) (c) Bestäm en bas för nollrummet till A. (2 p) (d) Beräkna rangen och nulliteten (d.v.s. dimensionen av nollrummet), till A. (1 p) 7. Hitta en matris A = (a ij ) 1 i,j 3 R 3,3 med nulliteten 2 (se 6d ovan), och a 1,3 = 3, a 2,2 = 2, a 3,1 = 1. (4 p) ( ) Låt A =. 5 1 (a) Beräkna alla egenvärden och motsvarande egenvektorer till A. (2 p) (b) Är A diagonaliserbar? Om nej, motivera. Om ja, beräkna en diagonalmatris D R 2,2 och en inverterbar matris P R 2,2 så att D = P 1 AP. (2 p) (c) Är A ortogonalt diagonaliserbar? Om nej, motivera. Om ja, beräkna en diagonalmatris D R 2,2 och en ortogonal matris P R 2,2 så att D = P T AP. (1 p) 9. Visa eller motbevisa: Mängden av alla polynom p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 med a 2 = 2a 1 är ett underrum till vektorrummet som består av alla polynom av grad högst två. (5 p) 10. Visa att varje linjärt ekvationssystem har noll, en eller oändligt många lösningar. (4 p) Information om tentamen: En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan skrivas på svenska eller engelska. I varje uppgift, skriv varje mellanled som leder fram till ditt svar. Lösningar utan dessa mellanled kommer ej att ges några poäng, även om de är korrekta. Miniräknare är tillåtna. Lycka till!

13 UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Gerold Jäger Exam in mathematics Linear algebra, part II :00 15:00 { x1 + 3x 1. Consider the following linear system: 2 + 2x 3 = 1 2x 1 + 6x 2 + 4x 3 = 1 (a) Show that the linear system has no solution. (1 p) (b) Find all least squares solutions of the linear system. (3 p) 2. Consider a matrix transformation from R 2 to R 2, which consists of a rotation by 45 in positive direction followed by a reflection about the y-axis (a) Find the standard matrix of this matrix transformation. (2 p) (b) Is the standard matrix of a) orthogonal? Explain your answer. (1 p) (c) Does a change of the order of the single transformations (rotation and reflection) change the overall matrix transformation? Explain your answer. (1 p) 2 Hint: sin(45 ) = cos(45 ) = Which of the following assertions are true? Explain your answers. (a) p 1 (x) = 2x + 3, p 2 (x) = x 2 + 1, is a basis of the vector space P 2 of all polynomials with degree at most 2. (1 p) (b) p 1 (x) = 2x + 3, p 2 (x) = 3x + 5, is a basis of the vector space P 1 of all polynomials with degree at most 1. (1 p) ( ) ( ) ( ) (c) A 1 =, A =, A = is a basis of R 3 5 2,2. (1 p) (d) v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 3, 1), v 3 = (4, 2, 1) is a basis of R 3. (1 p) 4. Let A = (a) Compute all eigenvalues with corresponding eigenvectors of A. (2 p) (b) Is A diagonalizable? If no, explain why. If yes, compute a diagonal matrix D R 2,2 and an invertible matrix P R 2,2 so that D = P 1 AP. (1 p) (c) Is A orthogonally diagonalizable? If no, explain why. If yes, compute a diagonal matrix D R 2,2 and an orthogonal matrix P R 2,2 so that D = P T AP. (1 p) 5. Let A = (a) Compute a basis of the row space of A. (1 p) (b) Compute a basis of the column space of A. (1 p) (c) Compute a basis of the null space of A. (1 p) (d) Compute the rank and the nullity of A. (1 p) 6. Let A R n,n. Prove that the orthogonality of A is equivalent to the assertion that the row vectors of A form an orthonormal basis of R n. (4 p) Information regarding this exam: A Swedish version of the exam is available on the opposite side of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Calculators are allowed. Good luck!

14 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Gerold Jäger Tentamen i matematik Linjär algebra, del II :00 15:00 { x1 + 3x 1. Betrakta följande linjära system: 2 + 2x 3 = 1 2x 1 + 6x 2 + 4x 3 = 1 (a) Förklara varför det linjära systemet saknar lösning. (1 p) (b) Hitta alla minstakvadratlösningar till det linjära systemet. (3 p) 2. Betrakta en matristransformation från R 2 till R 2, som består av en rotation by 45 in positive direction följd av en spegling i y-axeln (a) Hitta standardmatrisen till denna matristransformation. (2 p) (b) Är standardmatrisen av a) ortogonal? Förklara ditt svar. (1 p) (c) Förändrar ett byte av den ordning i vilken man utför de enskilda transformationerna (rotation and spegling) den totala matristransformationen? Förklara ditt svar. (1 p) 2 Tips: sin(45 ) = cos(45 ) = Vilken av följande påståenden är sanna? Förklara ditt svar. (a) p 1 (x) = 2x + 3, p 2 (x) = x 2 + 1, är en bas för vektorrummet P 2 av grad högst 2. (1 p) (b) p 1 (x) = 2x + 3, p 2 (x) = 3x + 5, är en bas för vektorrummet P 1 of all av polynom av grad högst 1. (1 p) ( ) ( ) ( ) (c) A 1 =, A =, A = är en bas för R 3 5 2,2. (1 p) (d) v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 3, 1), v 3 = (4, 2, 1) är en bas för R 3. (1 p) 4. Låt A = (a) Beräkna alla egenvärden och motsvarande egenvektorer till A. (2 p) (b) (c) Är A diagonaliserbar? Om nej, motivera. Om ja, beräkna en diagonalmatris D R 2,2 och en inverterbar matris P R 2,2 så att D = P 1 AP. (1 p) Är A ortogonalt diagonaliserbar? Om nej, motivera. Om ja, beräkna en diagonalmatris D R 2,2 och en ortogonal matris P R 2,2 så att D = P T AP. (1 p) 5. Låt A = (a) Bestäm en bas för radrummet till A. (1 p) (b) Bestäm en bas för kolonnrummet till A. (1 p) (c) Bestäm en bas för nollrummet till A. (1 p) (d) Beräkna rangen och nulliteten till A. (1 p) 6. Låt A R n,n. Bevisa att A är ortogonal är ekvivalent med att radvektorerna i A bilder an ortonormal bas i R n. (4 p) Information om tentamen: En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan skrivas på svenska eller engelska. I varje uppgift, skriv varje mellanled som leder fram till ditt svar. Lösningar utan dessa mellanled kommer ej att ges några poäng, även om de är korrekta. Miniräknare är tillåtna. Lycka till!

15 UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Gerold Jäger Second exam in mathematics Linear algebra, part II :00 15:00 1. Compute, using the Gram-Schmidt process, an orthonormal basis, given the basis w 1 = ( 3, 3, 0), w 2 = (1, 0, 1), w 3 = (2, 2, 2). (4 p) 2. Consider a matrix transformation T from R 3 to R 3, which consists of a reflection about the xz-plane followed by a dilation with factor 2. (a) Find the standard matrix of this matrix transformation T : R 3 R 3. (2 p) (b) Find the image of the point P = (2, 1, 3) under this matrix transformation, i.e., find T (P ). (1 p) (c) If possible, find a point Q R 3 such that T (Q) = P. If this is not possible, explain why. (1 p) 3. Let v 1 = ( 2, 3, 1), v 2 = (1, 3, 0), v 3 = (3, 3, 2), w 1 = (3, 2, 1), w 2 = (0, 1, 1), w 3 = (2, 1, 3), and u = (2, 4, 1). (a) Show that B = {v 1, v 2, v 3 } is a basis of R 3. (1 p) (b) Compute the transition matrix from the basis B to B, where B = {w 1, w 2, w 3 }. (1.5 p) (c) Compute the coordinate vector [u] B. (1.5 p) 4. Let A = (a) Compute all eigenvalues with corresponding eigenvectors of A. (2 p) (b) Is A diagonalizable? If no, explain why. If yes, compute a diagonal matrix D R 2,2 and an invertible matrix P R 2,2 so that D = P 1 AP. (1 p) (c) Is A orthogonally diagonalizable? If no, explain why. If yes, compute a diagonal matrix D R 2,2 and an orthogonal matrix P R 2,2 so that D = P T AP. (1 p) 5. Find a matrix A = (a ij ) 1 i,j 3 R 3,3 with nullity 2 and a 1,3 = 4, a 2,2 = 1, a 3,2 = 2. (4 p) 6. Prove or disprove: The set of polynomials of the form a 0 + a 1 x + a 2 x 2 with a 2 = 3a 0 and a 1 = 2a 0 is a subspace of the vector space P 2 of all polynomials with degree at most two. (4 p) Information regarding this exam: A Swedish version of the exam is available on the opposite side of this sheet. Solutions may be written in Swedish or English. In each assignment write each intermediate step leading to the final result. Solutions without these intermediate steps will not get any points, even if they are correct. Calculators are allowed. Good luck!

16 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Gerold Jäger Andra tentamen i matematik Linjär algebra, del II :00 15:00 1. Beräkna, med Gram-Schmidts metod, en ortonormal bas utgående från basen w 1 = ( 3, 3, 0), w 2 = (1, 0, 1), w 3 = (2, 2, 2). (4 p) 2. Betrakta matristransformationen T från R 3 till R 3, som består av en spegling i xz-planet följd av en förstoring med en faktor 2.. (a) Hitta standardmatrisen till matristransformationen T : R 3 R 3. (2 p) (b) Hitta bilden av punkten P = (2, 1, 3) för matristransformationen, dvs hitta T (P ). (1 p) (c) Om det är möjligt, hitta punkten Q R 3 så att T (Q) = P. Om det inte är möjligt, förklara varför. (1 p) 3. Låt v 1 = ( 2, 3, 1), v 2 = (1, 3, 0), v 3 = (3, 3, 2), w 1 = (3, 2, 1), w 2 = (0, 1, 1), w 3 = (2, 1, 3), och u = (2, 4, 1). (a) Visa att B = {v 1, v 2, v 3 } är en bas för R 3. (1 p) (b) Beräkna transitionsmatrisen från basen B till B där B = {w 1, w 2, w 3 }. (1.5 p) (c) Beräkna koordinatvektor [u] B. (1.5 p) 4. Låt A = (a) Beräkna alla egenvärden och motsvarande egenvektorer till A. (2 p) (b) (c) Är A diagonaliserbar? Om nej, motivera. Om ja, beräkna en diagonalmatris D R 2,2 och en inverterbar matris P R 2,2 så att D = P 1 AP. (1 p) Är A ortogonalt diagonaliserbar? Om nej, motivera. Om ja, beräkna en diagonalmatris D R 2,2 och en ortogonal matris P R 2,2 så att D = P T AP. (1 p) 5. Hitta en matris A = (a ij ) 1 i,j 3 R 3,3 med nulliteten 2, och a 1,3 = 4, a 2,2 = 1, a 3,2 = 2. (4 p) 6. Visa eller motbevisa: Mängden av alla polynom p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 med a 2 = 3a 0 och a 1 = 2a 0 är ett underrum till vektorrummet som består av alla polynom av grad högst två. (4 p) Information om tentamen: En engelsk version av tentamen är tillgänglig på andra sidan av detta blad. Lösningar kan skrivas på svenska eller engelska. I varje uppgift, skriv varje mellanled som leder fram till ditt svar. Lösningar utan dessa mellanled kommer ej att ges några poäng, även om de är korrekta. Miniräknare är tillåtna. Lycka till!