x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Transkript

1 . Beräkna följande gränsvärden: a. lim b. lim c. lim. d. lim Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. f() = b. f() = då < < då < c. f() = då < < då < 3. Undersök om det finns någon punkt = a sådan att f(a) = då a. f() = + 2. b. f() = Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a b. sin sin + cos. c. (2 + )3 ( ) 4. d. 2. e. ln sin(2 + ). f. ( 2 )e. 5. Beräkna höger och vänsterderivatorna i = till följande funktioner: a. f() = sin 2 2 b. f() = cos. c. f() = sin. 6. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan y = ( + ) 3 3 i punkten a. (,). b. (2,3). c. (3,). 7. Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. cos 2. b. ln tan 2. c.. d. sin. 8. En normal till kurvan y = ln är parallell med linjen 2 2y = 3. Bestäm normalens ekvation.

2 9. Tangenten i punkten P till kurvan y = 2 42 skär y aeln i punkten A. Visa att punkten A ligger lika långt från P som från origo.. Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a b c. (3 sin 2 2 cos 3) 4. d. e sin 2. e. ln + 2 sin Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan a. y = ( ) 9 (2 3) 8 i punkten (2, ). b. y = ( )8 i punkten (2,). (2 3) 9 2. Hur stor kan lutningen hos tangenten till kurvan y = ln( ) vara maimalt? 3. Tangenten i en punkt på kurvan y = 2 e 2 är parallell med linjen 2y =. Bestäm tangentens ekvation. 4. Beräkna följande gränsvärden: a. lim. b. lim ( ). c. lim sin Finns det något värde på konstanten A så att funktionen f() = 2 + då 4 blir kontinuerlig i punkten =? A då = 6. Beräkna derivatan dy d (a c) och d2 y d 2 (d e) uttryckt i och y då funktionen y = y() definieras av: a. 3 y + y 3 =. b. cos y + y sin =. c. y y = 3 +. d. 3 y 3 + y =. e. y + y3 3 =. 7. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan a. ( 2 + y 2 ) 2y 2 = i punkten (,). b. sin y + y cos = 2 y i punkten (,).

3 8. Antag att funktionen y = f() är deriverbar och har en invers y = f (). Sant eller fel: a. Punkten (,2) ligger på kurvan y = f() punkten (2,) ligger på kurvan y = f (). b. f () = 3 (f ) (2) = 3. c. Linjen y 2 = 3( ) är tangenten till kurvan y = f() i punkten (,2) linjen y = 3 ( 2) är tangenten till kurvan y = f () i punkten (2,). 9. Beräkna eakt (svaren får inte innehålla cyklometriska eller trigonometriska funktioner): a. arctan 3. b. arcsin 2 + arccos 2. c. arccos tan π 3 sin π 3. d. sin arcsin 2 3. e. cos arccos 2. f. arcsin 2 + arcsin 3 2. g. tan arcsin 4 5. h. sin arccos 7 9. i. arcsin sin 3π 5. j. arccos cos π 5. k. cos arcsin 3. l. tan arccos Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. arctan( + 2). b. arctan 2. c. arccot. d. arcsin 2. e. arccos. 2 f. arctan g. arctan 2 + ln( ). h. 2 arcsin i. arctan + arctan. j. ln arctan 2. k. 2 arccos l. arcsin + 2. m. arctan 2. n. arctan( + 2) arctan o. arccos p. arcsin 2 + 2, < <. 2. Bestäm i förekommande fall inversfunktionen f () till den funktion f () som anges nedan. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till f resp. f. a. f() = b. f() = c. f() = ln( + ) ln( ). d. f() = ln( + ) + ln( ).

4 22. Bestäm största och minsta värdena till funktionen f() = på intervallet a. 2. b. 5. c Bestäm största och minsta värdena till följande funktioner: a arcsin,. b. + 2 ln( ), 5. c d , Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen a. f() = + 3. b. f() = + arcsin. 25. Bestäm största och minsta värdena till följande funktioner: a. f() = b. f() = ln( + ) 2 arctan. c. f() = 2 + arctan d. f() = om om Bestäm lokala etrempunkter till följande funktioner: a. f() = + ln( ). b. f() = ln( ). c. f() = + 3. d. f() = + arctan( 2). 27. Visa följande olikheter: a. 2 ln 2, för alla. b. ln( + 2) 3, för alla. + 2 c. e, för alla. 28. Bestäm i förekommande fall det största och det minsta värdet till följande funktioner: a. f() = arctan 2. + b. f() = arctan 2. + c. f() = arctan Hur stor kan lutningen hos tangenten till kurvan y = 2 + 2( ) arctan ( + ) ln( 2 + ) maimalt vara? 3. Skissera graferna till funktionerna:

5 a. f() = arctan( + 2 ) arctan b. f() = 2 arctan arcsin Visa att funktionen f är inverterbar a. f() = 3 arctan 2. b. f() = Hur stor kan produkten ab av två tal a och b maimalt vara om a 4 + 2b 2 = 48? 33. Bestäm de intervall där funktionen f är monoton: a. f() = ln( + 4 ) 2 ln( + 2 ). b. f() = ln Visa följande olikheter: a. sin + cos + 2, för alla. b. ln( + 2) + ln( + 3) 5, för alla. c. sin cos + 2, för alla. 35. Har ekvationen = någon reell lösning? 36. (a). Bestäm en linjär approimation av funktionen f() = e i närheten av punkten a =. Använd resultatet och beräkna ett approimativt värde av e,. Uppskatta felet mellan det verkliga värdet e, och det approimativa värdet. (b). Samma uppgift som i (a) men nu är f() = /3, a = 8 och du skall approimativt beräkna 9 /3 och uppskatta felet vid approimationen. 37. Beräkna följande gränsvärden: a. lim arctan 2 arctan 3 arctan 2 + arctan 3 c. lim sin sin 2 e. lim ln( + 2) ln( + 3) b. lim arctan 2 arctan 3 arctan 2 + arctan 3 d. lim 6 2 sin sin 2 f. lim ln( + 2) ln( + 3) 38. Bestäm konstanterna a och b så att lim a 2 + b cos = Betrakta kurvan 2y = + 2 ln + ln( + ). Låt f() beteckna vinkel mellan tangenten till kurvan i punkten (,y) och aeln. Beräkna lim f(). 4. (a). Bestäm en linjär approimation av funktionen f() = ln( + 3) i närheten av punkten a =. Använd resultatet och beräkna ett approimativt värde av ln,3. Uppskatta felet mellan det verkliga värdet ln,3 och det approimativa värdet.

6 (b). Samma uppgift som i (a) men nu är f() = 3 + 6, a = och du skall approimativt beräkna 9,6 och uppskatta felet vid approimationen. 4. Beräkna följande gränsvärden: a. lim ( + 2) / b. lim ( + e ) / c. lim sin 2 ln d. sin 2 e. lim +cot 3 ln( + 6) f. ( + 6)cot 3 g. lim arctan 2 h. lim (arctan 5 arctan 2) 42. Bestäm konstanten a så att gränsvärdet lim ( 2 )e + a ( ) ln( ) och beräkna gränsvärdet. är ändlig 43. Läs om vertikala (=lodräta) och horisontella (= vågräta) asymptoter på s Bestäm alla vertikala såväl som horisontella asymptoter till kurvorna: a. y = b. y = 3 arctan 4 2 arctan c. y = (2 + ) arctan Bestäm Taylorpolynomet av andra graden av a. f() = i punkten a =. + 2 b. f() = i punkten a =. + 2 c. f() = i punkten a =. d. f() = i punkten a =. e. f() = sin( ) i punkten a =. f. f() = 2 ln( + ) i punkten a =. g f() = ln( + ) i punkten a =. 45. Bestäm Taylorpolynomet av andra graden av f() = kring punkten a = 4. Använd polynomet för att beräkna ett approimativt värde av 5. Uppskatta felet i approimationen. 46. Bestäm Taylorpolynomet av tredje graden av f() = sin kring punkten a =. Använd polynomet för att beräkna ett approimativt värde av sin.. Uppskatta felet i approimationen. 47. Bestäm Taylorutvecklingen av ordning 3 kring punkten a = till följande funktioner. Restermen ges på ordoform. a. f() = ln. b. f() = ln Bestäm MacLaurinutvecklingen (= Taylorutvecklingen kring punkten a = )

7 av ordning 3 till följande funktioner. Restermen ges på ordoform. a. f() = sin 3. b. f() = ln( + 2). c. f() = ln( + 2) sin 3. d. f() = e 3. e. f() = + 2. f. f() = e Bestäm Taylorpolynomet av andra graden av f() = e kring punkten a =. Använd polynomet för att beräkna ett approimativt värde av e.. Uppskatta felet i approimationen. 5. Bestäm Taylorpolynomet av fjarde graden av f() = cos kring punkten a =. Använd polynomet för att beräkna ett approimativt värde av cos.. Uppskatta felet i approimationen. 5. Låt f() = cos( 2 ). Beräkna derivatan f (8) (). 52. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen a. y y 2y =. b. y 6y + 9y =. c. y 6y + 3y =. 53. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen a. y y 2y = 2 +. b. y y = 2 +. c. y y 2y = 4e 3. d. y y 2y = 2 cos Bestäm den lösning till a. y y 2y = 2 + som uppfyller y() = 2, y () = 3. b. y y 2y = 4e 3 som uppfyller y() = 3, y () =. c. y y 2y = 2 cos 2 som uppfyller y() = 3, y () =. 55. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen a. y =. b. y + y 2y =. c. y 2y + 5y =. d. y + 4y + 4y =. 56. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen a. y + y 2y = 4e. b. y + y 2y = 2 cos 2 e. c. y + y 2y = 4 sin cos. d. y + y 2y = 2(cos 2 sin 2 ). e. y + y 2y = 2 + sin. f. y + y = 2 cos. 57. Bestäm den lösning till a. y + y 2y = 4e. som uppfyller y() = 3, y () = 2. b. y + y = 2 cos som uppfyller y(π) = 2, y () =.

8 58. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen a. y 3y + 2y =. b. y 2y =. c. y 4y + 4y =. d. y 4y + 3y =. 59. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen a. y 3y + 2y = 4. b. y 2y = 4. c. y 3y + 2y = 2e 3. d. y 3y + 2y = 2e 2. e. y + 4y = 24 sin 4. f. y + 4y = 24 sin 2. g. y 4y + 3y = 4 cos. h. y 3y + 2y = 4e 3. i. y 3y + 2y = e 3 sin. j. y 3y + 2y = 4 + cos. 6. Bestäm den lösning till a. y 3y + 2y = 4 som uppfyller y() =, y () = 2. b. y + 4y = 24 sin 4 som uppfyller y() =, y () =. 6. Beräkna följande integraler: 2 a. + c. 4 d b. 3 + ( + ) 3 d d. 5 2 d 62. Beräkna arean av det ändliga området som begränsas av a. kurvan y = och aeln. b. kurvan y = 3 och aeln. c. kurvan y = ( )( 3) och aeln. d. kurvorna y = och y = Beräkna följande integraler: π/4 a. ( + tan 2 d b. e 2 e + d π/4 c. (cos 2 sin 2 ) d d. cos arctan d 64. Beräkna följande integraler: a. + d b d d

9 c d d d 65. Avgör (t.e genom att derivera högerledet) om likheten är sann: a d = arctan 2 + C 2 b d = 2 arctan 2 + C c. d = arctan d. + sin 2 + C d = arctan(sin ) cos + C 66. Beräkna arean av det ändliga området som begränsas av a. kurvorna y = och y = 2 2. b. kurvorna y = 2 och y = 2 2. c. kurvan y = 2 och dess normal i punkten (,). 67. Beräkna följande integraler: a. c. 4 3 d b d d. π e. sin cos d 68. Beräkna arean av det området som begränsas av a. kurvorna y = 2 och y = 2. b. kurvan y = 2 och aeln. c. kurvan y = ( 2) 2 och aeln. d. kurvan y 2 = 2 3. π 4 3 d sin 2 + cos d 69. Beräkna derivatan df d a. F() = sin 2 d. b. F() = sin 2 d. då

10 3 c. F() = sin 2 d. 2 Svar:. a.. b. 4. c. 2. d a. Ja. f() = 3. b. Ja. f() = 4. c. Nej. 3. a. Ja. b. Ja. 4. a. (2 + 3) 2. b. + sin 2. c. 2(7 )(2 + )2 ( ) 3. d ( 2 ) 3/2. e. 2 cot(2 + ). f. ( )e. 5. a. f +() = 2, f () = 2. b. f +() =, f () =. c. f +() = f () =. 6. a. Tangent: y = 3 4 ( + ). Normal: y = b. Tangent: y = 3. Normal: = 2. c. Tangent: = 3. Normal: y =. 7. a ( + ). 2 sin 2. b. 2 sin 4. c. ( + ln ). d. sin ( cos ln + sin ). 8. y = 3e 2.. a. 7 (3 2) 2. b c. 24(3 sin 2 2 cos 3) 3 (cos 2 + sin 3). d. 2 cos 2 e sin 2. e. 6 sin 3 cos sin 2 3. a. Tangent: 25 + y = 49. Normal: 25y = 27. b. Tangent: + y = 2. Normal: y + 8 = y =. 4. a. 2. b. /4. c. /2. 5. Nej. 6. a. y(32 + y 2 ) ( 2 + 3y 2 ) b. y cos + cos y sin y sin. c. (3 2 + )y y + ln y. d. dy d = y, d2 y d 2 = 2y 2. e. dy d = y, d2 y d 2 =. 7. a. Tangent: 2 y =. Normal: + 2y = 2. b. Tangent: y =. Normal: + y =. 8. a. Sant. b. Sant. c. Sant. 9. a. π/6. b. 5π/6. c. π/6. d. 2/3.

11 e. /2. f. π/2. g. 4/3. h. 4 2/9. i. 2π/5. j. π/5. k. 2 2/3. l. 4 2/7. 2. a. d. g. j. m. p b c. 2( + ). 4. e f ( + 4). h. 2 arcsin 2. i ( 4) (4 + 2 ). k. 4. l ( + 4). n.. o. ( + 2 ) a. f () = 2 3. D f = V f = alla rella tal 3. V f = D f = alla rella tal. b. Har ingen invers. c. f () = e + e. D f = V f = alla rella tal >. V f = D f = alla rella tal. d. Har ingen invers. 22. a. ma = 2, min =. b. ma = 2, min = 6. c. ma = 36, min = a. 3/2 π/6 och π/2. b ln 2 och. c. 5 och 3. d. och a. D f = [, 3], V f = [ 2, 2]. b. D f = [,], V f = [π/2, 2 π/2]. 25. a. och. b. min = ln 2 π/2, ma saknas. c. ma och min saknas. d. 7 och 2/ a. Finns inga. b. Lok ma i, lok min i /2. c. Lok min i och 3, lok ma i 2. d. Lok ma i, lok min i. 28. a. Ma = + π/2, min saknas. b. Ma och min saknas. c. Ma = 3/2 + π/3, min = 3/2 π/ π/2 ln a. y = π/4

12 b. y = a. Strängt avtagande då < eller < <. Strängt väande då < < eller >. b. Strängt avtagande då /2 < <. Strängt väande då >. 35. Nej. 36. a. Linjär approimation p() = +. Approimativt värde e,,. Fel <,5. b. Linjär approimation p() = 2 + ( 8)/2. Approimativt värde 9 /3 25/2. Fel < / a. /5. b.. c.. d. 9/4. e. 2/3. f a = och b =. 39. π/4. 4. a. Linjär approimation p() = 3. Approimativt värde ln,3,3. Fel < 9/2. b. Linjär approimation p() = 2 +. Approimativt värde 9,6 3,. Fel < /6. 4. a. e 2. b. e. c.. d.. e. 2. f. e 2. g. /2. h. 3/. 42. a =, gränsvärdet = / a. y = 3. b. y = π, y = 2π. c. y = π, y = π, =. 44. a b. 2( + ) 4( + ) 2. c d ( ) + 9( ) 2 e.. f.. g p() = + /4 ( 4) 2 /64, 5 43/64, Fel < / p() = 3 /6, sin. 599/6, Fel < / a. ( ) ( ) 3 /24 + O(( ) 4 ). b. ( )/2 5( ) 2 /6 + 6( ) 3 /768 + O(( ) 4 ). 48. a /2 + O( 4 ). b /3 + O( 4 ). c O( 4 ). d /2 9 3 /2 + O( 4 ). e. + 2 /2 + 3 /2 + O( 4 ). f O( 4 ). 49. p() = + 2 /2, e. 8/2 Fel < /6. 5. p() = 2 /2 + 4 /24, cos. 2388/24, Fel < / a. y = Ae + Be 2 b. y = Ae 3 + Be 3

13 c. y = Ae 3 sin 2 + Be 3 cos a. y = + Ae + Be 2 b. y = A + Be c. y = e 3 + Ae + Be 2 d. y = sin 2 3 cos 2 + Ae + Be a. y = + 2e 2 b. y = e 3 + 2e c. y = sin 2 3 cos 2 + 3e + 3e a. y = A + B b. y = Ae + Be 2 c. y = Ae sin 2 + Be cos 2 d. y = Ae 2 + Be a. y = ( 2)e + Ae + Be 2 b. y = ( sin 2 3 cos 2)e + Ae + Be 2 c. y = 3 sin 2 cos 2 + Ae + Be 2 d. y = sin 2 3 cos 2 + Ae + Be 2 e. y = cos 3 sin + Ae + Be 2 f. y = sin 2 + A sin + B cos 57. a. y = ( 2)e + 3e e 2 b. y = sin + sin 2 cos 58. a. y = Ae + Be 2 b. y = A + Be 2 c. y = Ae 2 + Be 2 d. y = Ae 2 sin 3 + Be 2 cos a. y = Ae + Be 2 b. y = 2 + A + Be 2 c. y = e 3 + Ae + Be 2 d. y = 2e 2 + Ae + Be 2 e. y = 2 sin 4 + A sin 2 + B cos 2 f. y = 6 cos 2 + A sin 2 + B cos 2 g. y = 3 cos sin + Ae 2 sin 3 + Be 2 cos 3 h. y = (2 3)e 3 + Ae + Be 2 i. y = (sin 3 cos )e 3 + Ae + Be 2 j. y = cos 3 sin + Ae + Be 2 6. a. y = e + 2e 2 b. y = 2 sin sin 2 + cos 2 6. a. + ln 2 b. 6. c. 4. d a. /6. b. /2. c. 37/2. d. 37/ a.. b. e 2. c. /2. d a. ln 2 b. ln 2. c. ln 3. d. π/ a. Sann. b. Sann. c. Fel. d. Fel. 66. a. 7/3. b. 4/3. c. 25/ a. 4/9. b. /27. c. 3/27 + 4(ln 2 ln 3)/3. d. ln 3. e. 4 4 ln a. 4/5. b. 2/3. c. 8/2. d. 8/5.

14 69. a. sin 2 b. sin 2. c. 3 sin 92 2 sin 4 2.