3.1 Derivator och deriveringsregler
|
|
- Linda Bergström
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1
2
3 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0, och derivatan =,56 e 0, I tillämpningar är derivatan ett mått på funktionens förändringshastighet. (5) 67 betder att lufttrcket på höjden 5 km sjunker med hastigheten 67 mbar/km. Derivatan till en funktionen f() kan bestämmas på flera olika sätt. Med derivatans definition f ( + h) f () f () = lim h 0 h Med deriveringsregler som är härledda ur derivatans definition. 3 Med numerisk derivering får vi ett approimativt värde. T e med en central differenskvot: f( + h) f( h) f () h Många räknare använder denna approimation för numerisk derivering. f () 4 För små h är differenskvoten f ( + h) f( + h) f( ) ungefär lika med f (). f () h h f( + h) f( ) f () h eller f ( + h) f () + h f (). Om h = kan denna approimation skrivas f ( + ) f () + f (). Derivatan av en funktions derivata skrivs f () och kallas andraderivatan. f () = sin cos funktionen f () = cos + sin förstaderivatan f () = sin + 4 cos andraderivatan + h skrivsätt Om = f () så kan skrivas d eller D f () ( utläses prim ) d skrivas d d eller D f () ( utläses bis ) DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb
4 Med hjälp av definitionen kan följande deriveringsregler härledas: Deriveringsregel = a, a reellt tal = a a, där > 0 = = Eempel = + = / + = / + ( ) = = e k = k e k = 5 e 3 = 3 5 e 3 = 5 e 3 = a = a ln a = sin och = cos = cos = sin = 00 0,9 = 00 0,9 ln 0,9 0,5 0,9 = 4 sin + cos = 4 cos sin = f ( g( ) = f ( g( )) g ( ) (kedjeregeln) = ( + ) 0 = 0 ( + ) 9 (4 + ) = e 63 = e 63 (8 ) = 5 cos 3 = 5 sin 3 3 = 5 sin 3 3 = = (sin ) sin 3 = ( 3 ) (sin ) 4 cos = 3 cos sin 4 I eemplen ovan har vi också använt de generella reglerna: = k f () ger = k f ( ) där k är en konstant = f ( ) + g () ger = f ( ) + g ( ) dvs vi kan derivera term för term 30 Bestäm + + om = e + sin 3 = e + sin 3 ger = e + 3 cos 3 och = 4e 9 sin = e + sin 3 + e + 3 cos 3 + 4e 9 sin 3 = = 7e 8 sin cos 3 30 Uppskatta f (3,) med hjälp av approimationen f( + ) f() + f ( ) om vi vet att f (3) = 4 och f (3) = 0,5. f( + ) f () + f () f (3,) = f (3 + 0,) f (3) + 0, f (3) = 4 + 0, ( 0,5) = 3,9 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER 0 Bla 4.indb
5
6
7 Derivatan av en produkt Eempel Funktionen = är en summa av två termer och vi kan derivera funktionen term för term. = Funktionen = e sin är en produkt av två faktorer. Får vi derivera en sådan funktion faktor för faktor? Vi undersöker med en annan produkt där vi kan förenkla och se vad derivatan ska bli. = kan förenklas till = 5 6 som har derivatan = Om vi deriverar faktorerna var för sig får vi: Faktor Derivata f () = 5 f () = 0 g () = 3 4 g () = 3 Produkten = 5 6 har Produkten av f och g blir derivatan = f g = 0 4. Stämmer inte alls! Fel koefficient och fel eponent! Slutsats: Vi får inte derivera en produkt faktor för faktor. För att få rätt derivata använder vi istället sambandet mellan faktorer och derivator som vi fann i aktiviteten på föregående sida. Funktionen = f ( ) g () ger derivatan = f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) = ger = = = 90 5 Allmänt Vi motiverar att sambandet gäller allmänt på två olika sätt. metod Bilda differenskvoten för = f () g ( ) f ( + h ) f () f ' ger h f ( + h ) g ( + h ) f ( ) g ( ) f ( + h) f () + h f '() h g ( + h) g () + h g '() ( f () + h f ()) ( g ( ) + h g ( )) f ( ) g ( ) = Förenkla täljaren h f( ) h g ( ) + h f ( ) g ( ) + h f ( ) h g ( ) = = Dividera med h h = f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) + h f ( ) g ( ) Då h 0 går differenskvoten mot f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb
8 metod g g A = gf f f Den gröna rektangelns area: A( ) = f () g ( ) Om ändras med så ändras f med f och g med g. Arean ändras då med (se figur): A = f() g + f g() + f g Differenskvoten blir då: A = f ( ) g + f g ( ) + f g Låter vi gå mot noll får vi derivatan: d A d = lim f ( ) g + f g ( ) + f g = 0 = f ( ) lim g + lim f f g g ( ) + lim = f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) dvs d ( f ( ) g ( )) = f ( ) g () + f ( ) g () d Om = f () g ( ) så är Produktregeln ' = f ( ) g' ( ) + f' ( ) g ( ) ' = den första faktorn den andra faktorns derivata + den första faktorns derivata den andra faktorn 38 Derivera = e sin f ( ) g'( ) f'( ) g ( ) = e cos + e sin = e (cos + sin ) 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER 05 Bla 4.indb
9
10
11 Derivatan av en kvot Eempel Hur deriverar vi = sin, dvs kvoten av sin och? Vi har en regel för derivering av en produkt men inte av en kvot. Vi utnttjar detta och skriver om = sin som en produkt. Vi får: = sin = sin som kan deriveras med produktregeln. = cos + sin ( ) = cos sin cos sin = På samma sätt härleder vi en allmän formel för derivatan av en kvot. = f () där g ( ) 0 g () = f ( ) (g( )) som deriveras med produkt- och kedjeregeln. = f ( ) (g( )) + f ( ) ( )(g( )) g ( ) = f () f ( ) g ( ) g( ) (g( )) = f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) = (g( )) Kvotregeln = f ( ) g ( ) eller ( g ( ) 0) ger ' = f ' ( ) g ( ) f ( ) g' ( ) (g ( )) ' = täljarens derivata nämnaren täljaren nämnarens derivata, allt dividerat med nämnaren i kvadrat. Eempel Med kvotregeln får vi derivatan av = tan. = tan = sin cos = = cos cos sin ( sin ) cos cos = cos + sin cos (trigonometriska ettan i täljaren) eller = cos sin + = + sin cos cos = + tan Derivatan av = tan Funktionen = tan har derivatan ' = cos = + tan DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb
12
13 Eponential- och logaritmfunktioner Eempel Vi repeterar några fakta om eponentialfunktioner. Eponentialfunktionen = C a är definierad för alla reella tal. Värdemängden är > 0. Grafen är antingen väande för alla (a > ) eller avtagande för alla (a < ) = Ca har derivatan = Ca ln a Med kedjeregeln kan vi derivera t e =,3 4 som ger =,3 4 ln,3 4 = 8 ln,3,3 4 När en eponentialfunktion skrivs med basen e är funktionen enklare att derivera. T e = 50 e 0,3 = 50 0,3 e 0,3 = 5 e 0,3 C C = Ca a > = Ca a < Derivatan av = a k = e k För eponentialfunktioner gäller = a k ' = a k ln a k = e k ' = k e k Eempel Hur deriverar man = ln? = ln är skrivet i logaritmform. I potensform kan detta skrivas e =. Vi deriverar båda leden i e = med avseende på variabeln och använder kedjeregeln. Vi får e = vilket kan skrivas = e = ttre derivatan inre derivatan Derivatan av = ln Logaritmfunktionen = ln, > 0, har derivatan ' = 346 Derivera a) = ln 5 b) = ln a) Derivera med kedjeregeln: b) Kvotregeln ger = 5 5 = Inre derivata eller Skriv om funktionen med = ln en logaritmlag: = ln 5 = ln 5 + ln = ln = 0 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb
14
15
16 Samband mellan förändringshastigheter Kedjeregeln ger ett samband mellan olika förändringshastigheter. Eempel Antag att vi har en area A som beror av en variabel som i sin tur beror av tiden t. Arean kan då beskrivas av den sammansatta funktionen A(t) = A((t)). Kedjeregeln ger att d A d t = d A d d d t ttre derivatan inre derivatan På denna form ger kedjeregeln ett användbart samband mellan olika variabler och förändringshastigheter för sammansatta funktioner. 367 En rektangel har basen b = 4 cm och höjden = 3 cm. Rektangelns höjd ökar med 0,5 cm/min, dvs d h = 0,5 cm / min d t a) Ställ upp en formel för hur rektangelns area A beror av tiden t. b) Bestäm och tolka d A d t c) Bestäm d A d h om A = b h d) Visa att d A d t = d A d h d h d t a) Arean i cm efter t minuter ges av A(t) = b h = 4 (3 + 0,5 t) = + t b) d A betder derivatan av A med avseende på variabeln t d t A(t) = + t d A d t = Tolkning: Arean ökar med hastigheten cm / min. c) d A betder derivatan av A med avseende på variabeln h d h A = b h d A = b = b (b ska behandlas som en konstant) d h d) VL = d A d t = cm /min HL = d A d h d h d t = b d h d t = 4 cm 0,5 cm/min = cm /min = VL 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER 3 Bla 4.indb
17 368 En isskulptur har formen av ett klot. Den smälter så att radien minskar med hastigheten mm/h. Med vilken hastighet förändras volmen när radien är 5 dm? Beteckningar: Klotets volm = V dm 3 Klotets radie = r dm Tiden = t h Hastigheten med vilken radien förändras = dr Hastigheten med vilken volmen förändras = dv Volmen beror av radien som förändras med tiden, vilket kan skrivas V(r(t)). Derivatan av V med avseende på t blir enligt kedjeregeln: dv = dv dr dr Klotets volm, V = 4π r 3 3 d V d r = 3 4π r 3 = 4π r Radien minskar med hastigheten mm/h = 0,0 dm/h vilket kan skrivas d r d t = 0,0 dv = dv dr dr d V d r = 4π r d r d t r = 5 och d r = 0,0 ger d t d V d t = 4 π 5 ( 0,0) = 6, Svar: Volmen minskar med 6 dm 3 /h DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb
18
19 3. Grafer Grafer och derivator Förstaderivatan är ett mått på en kurvas lutning. = f ( ) = f ( ) a b f ( ) > 0 för a < < b a b f ( ) < 0 för a < < b väande och avtagande Om > ger att f( ) f( ) så är f väande och om f( ) > f( ) så är f strängt väande. Om > ger att f( ) f( ) så är f avtagande och om f( ) < f( ) så är f strängt avtagande. Enligt denna definition är den vänstra grafen ovan både väande och strängt väande och den högra både avtagande och strängt avtagande. lokal maimipunkt lokal minimipunkt Andraderivatan är ett mått på hur förstaderivatan ändras a a I en lokal maimipunkt är: I en lokal minimipunkt är derivatans teckenväling + 0 derivatans teckenväling 0 + andraderivatan negativ (förstaderivatan minskar) andraderivatan positiv (förstaderivatan ökar) För att hitta etrempunkter (lokala maimi- och minimipunkter) till en kurva = f () kan vi göra på följande sätt: Bestäm f () och lös ekvationen f () = 0. Antag = a är en lösning Bestäm f () och beräkna f (a). 3 Om f (a) > 0 så har f ett minimum för = a. Om f (a) < 0 så har f ett maimum för = a. 4 Om f (a) = 0 undersök teckenväling för f () + 0 ger maimipunkt. 0 + ger minimipunkt ger terrasspunkt GRAFER Bla 4.indb
20 största/minsta värde Antag att vi har en snäll funktion som har en sammanhängande graf som vi kan derivera överallt. För att hitta funktionens största och minsta värde i ett begränsat intervall måste vi undersöka och jämföra funktionsvärdet i punkter där f () = 0 intervallets ändpunkter Lokalt ma Största värde globalt och lokalt ma Största/minsta värde är ett -värde. En punkt anges med - och -koordinat. Det är dock vanligt att t e en maimipunkt bara anges med -koordinaten. Minsta värde globalt och lokalt min Lokalt min 30 Skissa med hjälp av derivata grafen till = 3 /3 8 i intervallet 0 0 och bestäm funktionens största och minsta värde i intervallet. Kontrollera med grafräknare. = 3 /3 8 = 8 Vi beräknar funktionsvärden för där ' = 0 samt för intervallets gränser. = 0 ger 8 = 0 Derivatans tecken beräknar vi för något mellan 0 och = 4 och = (ej i intervallet) 4 samt mellan 4 och ] min: 6,7 Z 53,3 60 Kontroll: 3 = (0, 53,3) (4, 6,7) I intervallet är funktionens största värde = 53,3 och minsta värde = 6,7 3. GRAFER 7 Bla 4.indb
21
22
23 Olika tper av grafer Vi börjar med att repetera några begrepp som behandlar funktioner och deras grafer. definitionsmängd värdemängd kontinuerlig deriverbar En funktions definitionsmängd är tillåtna värden för den oberoende variabeln, t e. Värdemängden är de funktionsvärden, t e, som definitionsmängden ger. Ordet kontinuerlig betder sammanhängande. En förenklad beskrivning av en kontinuerlig graf är att den går att rita utan att lfta pennan. En funktion är deriverbar i alla de punkter förstaderivatan eisterar, dvs där kurvan har en tangent. Eempel = 3 3 Defintionsmängd: Alla reella tal Värdemängd: Alla reella tal Funktionen = 3 3 är kontinuerlig och deriverbar för alla. = = ln Definitionsmängd: 0 Värdemängd: 0 Funktionen = är kontinuerlig och deriverbar för > 0 = tan π Definitionsmängd: > 0 Värdemängd: Alla reella tal Funktionen = ln är kontinuerlig och deriverbar för > 0 = / Definitionsmängd: π + n π Värdemängd: Alla reella tal Funktionen = tan är inte kontinuerlig och inte deriverbar då = π + n π Definitionsmängd: 0 Värdemängd: 0 Funktionen = / är inte kontinuerlig och inte deriverbar då = 0 största/minsta värde För att avgöra om en funktion f har ett största/minsta värde måste vi, utöver etrempunkter och intervallgränser, också undersöka om det finns punkter där f inte är kontinuerlig eller deriverbar GRAFER Bla 4.indb
24
25 36 f( ) =. Beräkna om f( ) = = ger två möjligheter = eller = = 0,5 eller =,5 37 Rita grafen till a) = b) = 6 om 0 a) Definitionen ger = = om < 0 dvs för 0 ritar vi = och för < 0 ritar vi = 6 om 6 0 b) = 6 = ( 6) om 6 < 0 dvs för 3 ritar vi = 6 och för < 3 ritar vi = ( 6) = Figuren visar grafen till en funktion f. a) Bestäm funktionen. b) Är funktionen kontinuerlig och deriverbar för alla -värden? Motivera. a) Vi bestämmer linjens ekvation för k = och m = ger f() = + för f() = + för alla Vi ser t e att = 3 ger f( 3) = 3 + = = vilket stämmer med grafen. b) Funktionen är kontinuerlig och definierad för alla -värden, eftersom grafen är sammanhängande. Funktionen är inte deriverbar då = eftersom grafen saknar tangent där. Närmar vi oss = från höger är lutningen. Närmar vi oss = från vänster är lutningen. Funktionen är inte deriverbar där den har en spets. 3. GRAFER Bla 4.indb
26
27
28 Kurvor och asmptoter När vi studerar funktioners grafer är det bra att ha god kännedom om derivata och olika funktioners egenskaper. Eempel Skissa i stora drag grafen till = För stora är 3 och för små är Polnomfunktioner är snälla funktioner som är kontinuerliga och deriverbara överallt. Eempel Skissa i stora drag grafen till = + För stora är eftersom 0. För små är eftersom 0. Funktionen = är ej definierad för = 0. När närmar sig 0 går / mot ± beroende på om är positivt eller negativt, kurvan närmar sig -aeln. / / asmptot -aeln och den räta linjen = är asmptoter till = +. En asmptot är en rät linje sådan att avståndet mellan kurvan och linjen närmar sig noll när avståndet till origo går mot oändligheten åt något håll. En kurva kan ha vertikala asmptoter där den ej är definierad, t e = är ej definierad för = 4 och har asmptoten = 4. 4 En kurva kan ha horisontella eller sneda asmptoter då en eller flera termer går mot noll för stora, t e = + 3 har asmptoten = GRAFER 5 Bla 4.indb
29 33 Ange grafens asmptoter. Motivera ditt svar. a) b) = = e a) -aeln är en asmptot eftersom e 0 då b) = och = är asmptoter. är ej definierat för =. När närmar sig närmar sig kurvan =. För stora är 0 vilket ger dvs kurvan närmar sig =. 333 a) Skissa grafen till = + 6 med hjälp av derivata. 4 b) Ange eventuella asmptoter till kurvan. a) Funktionen blir enklare att studera om vi först skriver om den. = + 6 = = 0,5 + 4 ( 0) = 0,5 4 = 0,5 4 = 0 ger 0,5 4 = 0 = 6 och = ± ej def 0 Z ] ] Z ma min = 4 ger ma = = 4 ger min = b) = är ej definierat för = 0. -aeln är en asmptot. För stora är 4 0 vilket ger 4 Svar: -aeln och = /4 är asmptoter GRAFER Bla 4.indb
30
31
32 39 a) = cos + sin b) = = ( 3 sin 3) + cos 3 = = cos 3 3 sin 3 30 a) = = ( + ) + (3 + ) b) = = a) = sin b) = sin c) Kommentar: Produktregeln måste vi använda när vi har en produkt av funktioner som beror av t e. Är den ena faktorn en konstant så är det enklare att använda sambandet i a). 3 a) = sin cos b) = sin cos + cos sin = = sin cos 33 a) = 5 e Lösning: = e 3e + e e 3 = = 5e 5 b) = 5e 5 = e 5 34 Petter har rätt. Motivering: Derivatan är en summa. En summa förändras inte om ordningen på termerna ändras. 35 a) = cos b) = sin 36 a) = Faktorisering av derivatan ger e ( + ) = 0 och e > 0 för alla. b) = 0 eller = / 37 a) h (3) = 8 h (3) = f (3) + g (3) b) h (3) = 93 h (3) = f (3) g (3) + f (3) g(3) 38 f (4) = 6,5 f (4) = 4 g (4) + 4 g(4) 39 a) A (t) = 8 cos t + 8 cos t cos t 6 sin t 4 sin t sin t b) A (5) 4,95 Efter 5 sekunder minskar arean med 5 m /s. 330 e 33 a) = cos 3 3 sin cos b) = (sin e + + cos e ) + sin e = = e ( sin + cos + + sin ) Använd produktregeln i produktregeln. 33 a) fg Lösning: ( f + g) ( f g) = 4 f + g + fg f g + fg = = 4 = fg b) Lösning: = fg = ( f + g) ( f g) 4 4 Kedjeregeln ger: = = ( f + g)( f + g ) 4 ( f g)( f g ) = 4 = ( ff + fg + gf + gg ) 4 ( ff fg gf + gg ) = 4 = 4 fg + 4 f g = f g + f g Lösning: f (gh) + f (g h + gh ) = = f gh + fg h + fgh 334 a) V = f gh + f g h + + fg h + f g h + f g h + fg h + f g h V = ( f + f ) (g + g) (h + h) fgh b) lim V = f gh + fg h + fgh 0 Ställ upp differenskvoten V/ och bestäm de olika termernas gränsvärde. Jämför med metod på sidan 05. Historik: Leibniz och produktregeln a) f () = u v = 0 = 0 b) f () = 5 4 u v = 3 = 6 3 c) f () = u v = = a) Produktregeln ger derivatan: (c + d) ( + b) + c ( + b) = = 3c + (bc + d) + bd Parentesmultiplikation ger: c 3 + (bc + d) + bd vars derivata är: 3c + (bc + d) + bd 3 Om u och v är konstanter blir derivatan i båda fallen a) f () = ( + ) b) f () = sin cos = sin + cos = 337 a) f () = b) f () = cos sin = sin e cos e = (e ) = sin + cos e SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 69 Bla 4.indb
33 338 a) = b) = 339 a) = b) = 3 4 = f π 3 = 4 T e f () = + tan tabell ger tan (π/3) = 3 = = 3 b -, dvs derivatan beror av b men inte av a. = 3 + a + b/ 34 a = 8 Kvotregeln ger a f () = ( ) 343 a) = e + e = = e = e b) Ja. Motivering: = f()/g() = f () (g()) 344 = sin cos sin 345 = (8π 6) + 8 π π = ( + tan ) tan (π/4) = π / 8π 6 = (π / 4) π 349 a) = / b) = 4/ c) = / d) = 4/ Kedjeregeln ger = eller logaritmlag ger = ln 4 = 4 ln 350 a) = e /5 b) = 5 ln 5 c) = 3 000, ln, 340, d) = 0 ln 0 4, a) = ln b) = / c) = ln ( ) = = ln d) = ln Skriv först om till =. 35 a) = (5 + ) 5 = = 5 (5 + ) b) = e = e c) = cos sin = (sin ) d) = 4 e (e + ) 3 Lösning: = (e + ) = (e + ) 3 e = 4 e = (e + ) a) = e ln + b) = e 354 Hassan har rätt. Motivering: ln a har derivata a a = = (, 0) Lösning: () = / () = () = 0 Tangentens ekvation 0 = ( ) = 356 f (e) = 0 f () = ln ln 357 a) N (7) = 37,7 Tolkning: Efter sju dgn insjuknar ungefär 38 personer/dgn Använd räknarens deriveringsverktg eller derivera för hand e N (t) = t ( + 49 e t ) b) N (7) = 3,7 Tolkning: Efter sju dgn minskar antalet som insjuknar varje dag med 4 (personer/dgn)/ dgn N (t) = t t t e 650e ( + 49e ) = t 3 ( + 49e ) 358 a) = cos eller = ( + tan ) b) = tan cos eller = tan ( + tan ) sin c) = = tan cos d) = = ln ln 70 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Bla 4.indb
34 359 = (, 0) () = ln 3 Tangentens lutning = () = 360 = e /3 0,77 3 ln + = 0 (3ln + ) = 0 Obs, > 0 36 = Lösning: = ger = = = / = 36 a) Lösning: = a = e ln a = ln a e ln a = ln a a b) Lösning: = a ln = ln a = ln a = ln a = ln a a 363 = ln 0 Motivering: = lg 0 = ln 0 0 = = ln 0 0 = ln a) Lösning: VL = = tan = = sin cos = = cos = cos cos = = HL b) Lösning: = sin 3 cos sin = 3 cos sin = 3 tan cos = = sin cos 3 sin cos = cos 365 Nej, = ln har ett minimivärde e 0,3679. Lösning: Sätt f () = ln > 0 f () = ln + = ln + f () = 0 ger ln = vilket ger = e f () = > 0 för > 0 = e ger minimivärde f min = e ln e = e 0, ln > 0,3675 gäller ej för alla > Maimipunkt: (e, e /e ) (e, e /e ) Lösning: () = / ln / = e ln ln () = e + = = ln () = 0 då ln =, dvs då = e. Maimipunkt: (e, e /e ) 369 a) d d t = cos t b) d A d t = 8 r 370 a) d r d t = 0,075 b) d A d r = π r c) d A 0,94 (π 0,075) d t Tolkning: När radien är,0 m ökar arean med hastigheten 0,94 m /s 37 a) d V d t = d V d d d t b) d V d t 5 dm3 /h d V d t = 3 d d t Omvandla till samma längdenhet, t e dm, dm/h 37 a) 36 cm /min A = d A d t = d d t c) 0,9 cm/min d d t = d A d t / 373 0,0074 cm/s d V d t = 4π r d r d t 374 a) dv b) dv c) dv = πr dh =πrh dr =9πr dr 375 a) Sidan är 6 cm. Volmen minskar då med 6 cm 3 /min. b) Det är inte säkert att den smälter med konstant hastighet. 376 a) Om radien minskar med r minskar volmen med klotets area multiplicerat med r. Jämför t e med att skala bort ett tunt skal på en lök. SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 7 Bla 4.indb
35 b) A = πr da =π r dr där πr är cirkelns omkrets. Om radien ändras med r ändras arean med omkretsen multiplicerat med r. 377 Höjden stiger med 0,39 cm/min. Lösning: dv dv dh = π 3 (7h 3h ) dh = π h(9 h) dh ger dv = π h( 9 h) dv h = 4,5 och =,5 ger dh 5, = 0,039 π 45, 45, 378 Vätskenivån sjunker med 0,35 cm/min Lösning: För vattenkonen med radien r och höjden r gäller V = πr r πr 3 = 3 3 dv = 3 πr dr = π r 3 dr dr ger dv dv = πr = 360 r = 8 ger 0,35 dr 360 = π a) = eller = b) ( ) = 9 < 0 dvs lokal mapunkt då = () = 9 > 0 dvs lokal minpunkt då = c) Kontrollera att grafen har lokalt min (; 0,5) och lokalt ma (, 4) 304 a) Visa att = cos är 0 då = π 3π och = 4 4 b) π 4 = 4 < 0 dvs lokal mapunkt då = π 4 3π 4 = 4 > 0 dvs lokal minpunkt då = 3π 4 c) Kontrollera att grafen har lokalt ma ( π, ) och 4 lokalt min ( 3π 4, ) 305 a), 3, a) b) 5 c), 6 d), 3, 5 b) är väande för < och Derivata ger lokalt ma (, ) och lokalt min (, ) 307 (; 0,5) ,4 Kurvan har lokalt ma (,5; e,5 ) 30 a) Energiåtgången per meter minskar. b) 6 m/s. = k 3 har sitt minsta 4 värde då = 3 har sitt 4 minsta värde. 3 a) b) = 3 ger min = 7 0,037 3 ( 5π 6, 5π 3 3 ) 33 a = 6 = 3 a ska vara noll då =. Visa att () > a) A (v) = = 44 sin v cos v = = 44 sin v, 0 v π/ Höjd = sin v Bas = cos v b) A () = 44 0 c) 44 cm för v = π/4 och = 7. 7 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Bla 4.indb
36 35 = ger min Lösning: z u z 6 u u Pthagoras sats ger = + u (uppvikta triangeln) (6 ) + z = u = (u z) + 6 (färgade trianglarna) 6 3 =, 8 < 6 6 Sök minimum för. Sätt = z, sök minimum för z. 3 z =, 8 < < 6 6 (m) z = ( ) 3 66 = ( 6) = 96 4 ( 6) 3 3 = = = 8 ( ) ( 6) ( 6) z = 0 för = i intervallet. Teckenstudium av z ger att det blir minimum. 39 a) b) 9 c) 4,9 30 a) f(3) =, f( 3) = 5 3 a) b) = 9 eller = 5 = = b) Kontrollera graferna med din grafräknare. Använd t e = abs () 3 Fiona har fel. Motivering: 0 = 0 är inte ett positivt tal men 0 ger > a) A Motivering: Grafen är inte sammanhängande för = b) A största och minsta värde saknas. B största värde saknas, minsta värde är. Motivering: A väer resp avtar obegränsat när närmar sig. B saknar största värde då ( + ) kan bli hur stort som helst. Minsta värde är då ( + ) är noll. 34 a) = 5 b) Kommentar: Många räknare har begränsad upplösning varför graferna kan bli konstiga när man zoomar ut. 35 a) T e = /( ) b) T e = 36 = 0,5 + 5 Bestäm linjens ekvation för > a) Definitionsmängd: > Värdemängd: Alla reella tal. b) Förklaring: = ln (+) e = + ger att ln( + ) ej är definierat eftersom e > 0. Om närmar sig kan, som motsvarar en eponent, bli hur litet som helst, t e e 00 är ett litet positivt tal. När ökar väer först snabbt och sedan långsammare, t e e 7,4, e 3 0, e Motivering: Både och ger avståndet mellan de reella talen och. 39 a =, b = 4 = 0 ger skärningen med -aeln. 330 a = 4, b = och c = 33 a = 4/3 Min.värde ger att triangelns bas är 3. Bestäm linjens lutning. 334 a) -aeln b) = och -aeln c) -aeln och = 0,5 d) = π/ 335 a) -aeln b) -aeln och = c) = 336 Förklaring: En asmptot är en rät linje som grafen närmar sig när avståndet till origo ökar. T e = e närmar sig -aeln när ökar. -aeln ( = 0) är en asmptot. 337 a) 0 = + 8 Lokalt ma: (, 8) Lokalt min: (, 8) b) Ja, -aeln och = c) Nej, när närmar sig 0 från höger väer obegränsat 338 a) För stora dominerar 3, = 3 är en asmptot. För små dominerar, -aeln är en asmptot. SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 73 Bla 4.indb
37 339 b) För stora dominerar 4 För små dominerar 4 Lokalt ma: (, ) Lokalt min: (, 3) Asmptoter: -aeln och = 0, a) Etrempunkter saknas eftersom derivatan saknar nollställen. Asmptoter: - och -aeln b) Lokalt ma: (0,5; 4) Asmptoter: - och -aeln, = 34 a) -aeln och = b) = 34 Nej, Johan har fel. Motivering: = sin + har = som mittlinje, dvs grafen varierar kring denna men närmar sig inte mer och mer när ökar. 343 = tan har asmptoterna = π/ och = π/ Motivering: När ökar närmar sig tan värdet π/ eftersom tan ökar obegränsat när närmar sig π/. På motsvarande sätt närmar sig tan värdet π/ när. 344 a) T e = e - + eller = + / b) T e = ( )( 3) Grafen har lokalt ma: (0, /4) och asmptoter = ± och =. (0) = 0, (0) < 0 Undersök för vilka uttrcket inte är definierat samt vilket värde närmar sig när blir stort. 330 a) Lösning: = 5 e ger = 0 e VL = = = 0 e 5 e = 0 = HL b) Lösning: = 4 cos, = 4 sin, = 4 cos VL = + = = 4 cos + 4 cos = 0 = HL 3303 T e + + = a) Lösning: VL = d d = A k e k HL = k = k A e k = VL b) (0) = A e k 0 = A 3305 Nej. Motivering: = e, = e + e VL = = e + e e = = e HL = = e = e VL HL 3306 A =, k = 0, k = 3 Lösning: = cos k där k > 0 = k sin k = k cos k + 9 = 0 ger k cos k + 9 cos k = 0 cos k (9 k ) = 0 9 k = 0 k = 9 k = 3, k > r = eller r = 3 = e r är en lösning om r + r 6 = a) b) A = 0, B = 0 c) A =, B = e = ( + e ) 33 a) T e = e 0, och = 0e 0, b) Kommentar: = C e 0, + C e 0, är en lösning för alla värden på C och C. 334 a) Lösning: = 50 e 0,0t ger (0) = 50 e 0,0 0 = 50 b) Lösning: VL = d 0,0t = 50 ( 0,0) e d t HL = 0,0 = = ( 0,0) 50 e 0,0 t = VL 335 a) År 00 var folkmängden 45 miljoner. b) Folkmängden ökar med en hastighet som är, % av folkmängden. 336 a) k = 0,5 b) Ca st Beräkna (8). 337 a) b) C = a) = 0,0 b) = k, k > 0 c) = k(0 ), k > Lösning: s = v 0 t + at / s = v 0 + at s = a 330 a) A = 4 b) Lövmängden närmar sig 4 g/cm. 33 a) b) Begnnelsevärdet, dvs mängden föroreningar vid t = 0. c) Den tid det tar innan mängden föroreningar är en tiondel av begnnelsevärdet. 74 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Bla 4.indb
6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merKONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:
KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson oc Staffan Linnæus Niclas
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merLösningar kapitel 10
Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merTeorifrå gor kåp
Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ============================================================
H9, Introduktionskurs i matematik EXTREMPUNKTER ============================================================. EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition. (Globalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merLösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson
, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merRepetitionsuppgifter. Geometri
Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna
Läs merVÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L - 00 S 600 = 3 3 5 3850 = 5 7 847 = 7 största gemensamma delare till 600 och 3850: 5 minsta gemensamma multipel till 3850 och 847: 5 7 S a) +6+9 b)
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merNär vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)
GRAFRITNING För att skissera (rita) grafen till en funktion y f () undersöker vi först några viktiga egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med och y-aeln, gränsvärdena f ( ), f ( )
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merx 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).
Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på
Läs merKOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b
Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:
Läs mer2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat
2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 5-- Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer aril 5, kl 9:-: (a) Vi använder
Läs mer201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen
Läs merd) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin
d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merx 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs merFunktioner: lösningar
Funktioner: lösningar 6. Sätt 1 = t 7. Också strängt väande: f (t) = 1 (1 t) = = 1 1+t t = = t t 8. Återigen strängt väande: T.e. a < b g (a) < g(b) f (g (a)) < f (g (b)) a < b g (a) > g(b) f (g (a))
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA4 7-3-7. Funktionen f() 5 arctan + 4 arctan(/), med den föreskrivna definitionsmängden D f { R : > }, ar derivatan f () 5 + () + 4 ( / ) + (/) + 4 4 + + (4 + 6 ) ( + )( + 4 ) Detta
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merLösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)
Krzysztof Marciniak, ITN Linköings universitet tfn 0-36 33 0 krzma@itn.liu.se Lösningar till tentamen TEN i Envariabelanalys I (TNIU ) för BI 0--4 kl. 08.00 3.00. Enligt den geometriska betydelsen av derivatan
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merFÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.
FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte2 Studiematerialet
Läs merRättelseblad till M 2b
Rättelseblad till M 2b 47-08592-7 Trckfel (första eller andra trckningen) Sida Var Står Skall stå 5 Rad nerifrån Ekvationen 209 Ekvationen 2 = 3 209 65 Uppg 269...tillsamman tillsammans 44 Eempel 2 2 2
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merExperimentversion av Endimensionell analys 1
Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merEnvariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13
Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.
MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,
Läs merLösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys
Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys Måndagen den 4 maj, klockan 8:-3:. Bestäm gränsvärdena a) Ñ lnp 3 q b) Ñ8 lnp 3 q. Lösning..a) Gränsvärdet är på formen { så vi kan använda l Hospitals
Läs merKapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.
Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla
Läs merLedtrå dår till lektionsuppgifter
Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merNpMa3c vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merSvar och anvisningar till arbetsbladen
Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merKontrollskrivning 25 nov 2013
Kontrollskrivning 5 nov 03 Tid: 3.5-5.00 Kurser: HF008 Analys och linjär algebra (analysdelen) HF006 Linjär algebra och analys (analysdelen) Lärare: Armin Halilovic, Inge Jovik, Richard Eriksson Eaminator:
Läs merStudieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux
Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merHåkan L. (Skriv som en produkt. Gör uppdelningen i faktorer så långt det går.) 1. Faktorisera 25x Faktorisera 1. 3.
Övningsuppgifter för att stödja repetition av gymnasiets matematik Har sammanställt ett antal övningsuppgifter som hjälp att repetera några väsentliga delar av gymnasiets matematik På slutet finns uppgifter
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merExaminator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm
Tentamen i Matematik, HF93, 9 oktober, kl 8.5.5 Hjälpmedel: Endast ormelblad miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng. Betgsgränser: För betg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, 3
Läs mer