Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maimalt 32 poäng. 0 3 poäng: U poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.. Vi har funktionen f, där f ()= Bestäm definitionsmängd, värdemängd och eventuella ma- och minpunkter och asymptoter för f, och skissa grafen. (8p) Division med noll då =3, såd f är allt utom denna punkt. Värdemängden får vänta tills efter ma- och minanalysen. Vertikal asymptot i = 3, uppförande intill denna: 2 { } 5+7 lim = = 2 { } 5+7 lim = 3 0 = Innebär att grafen försvinner uppåt stra till höger om 3 och neråt till vänster. (Denna information är inte strikt nödvändig att ta fram här, för samma sak kommer att gå att läsa ut ur derivatan.) Horisontella asymptoter? { } 3 = { 3 = = } = Grafen sticker uppåt då vi går långt åt höger och neråt då vi går långt till vänster. Inga horisontella asymptoter, men sneda är en möjlighet. Om sned asymptot finns så ger följande dess riktningskoefficient: f () k= ± ± () ± ± 3 = = Det finns alltså en sned asymptot. (Alternativa beräkningar är att studera f () då går mot oändligheten, och att förkorta uttrycket med polynomdivision. De tar fram samma svar; polynomdivisionen tar också fram m-värdet.)

2 MAA24 Lösning Sida 2 (av 5) Asymptotens skärning med y-aeln fås genom m ( f () k) ( ± ± ± () ± y=k+m= 2 är alltså en sned asymptot. Derivatan blir enligt kvotregeln () ) ± / = 2+0 ± 3 / 0 = 2 f ()= (2 5)() (2 5+7)(2 3) = = () 2 () 2 Definierad utom för = 3. Nollställen: Teckentabell: 2 6+8=0 =4 eller = f () + 0 odef 0 + f () ր ց odef ց ր ma min f (2) =, f (4) = 3. (Det är möjligt för derivator att ändra tecken dels genom att passera noll och dels genom att bli odefinierade. Det är därför vi kontrollerar derivatan på båda sidorna om =3.) Nu har vi material till en skiss: Vi ser att definitionsmängden blir alla tal upp till och med (vänsterdelen av grafen) och alla tal från och med 3 (högerdelen av grafen). Rättningsnorm: Definitionsmängd och vertikal asymptot: p. Sned asymptot: 2p. Derivataanalys: 2p. Graf konsistent med beräkningarna: 2p. Värdemängd konsistent med grafen: p. 2. (a) Skriv upp definitionen av derivatan av en funktion f i punkten = a. (p) Finns två varianter: f (a) h 0 f (a+h) f (a) h f (a)=lim a f () f (a) a Rättningsnorm: Accepteras även utan f (a)= -delen, men lim måste vara med.

3 MAA24 Lösning Sida 3 (av 5) (b) Bestäm följande gränsvärde på valfritt sätt: cos 2 h lim h 0 h (3p) Metod : Vi känner igen gränsvärdet som beräkning av derivatan av f ()=cos 2 för =0. Om vi istället räknar på vanligt sätt får vi f ()= 2 cos sin f (0)= 2 cos 0 sin 0= 2 0=0 Metod 2: Vi använder trigonometriska ettan: cos 2 h sin 2 h ( sin h) sin h h 0 h h 0 h h 0 h sin h ( sin h) lim = 0 =0 h 0 h 0 h (Standardgränsvärdet lim h 0 (sin h)/h=står på listan över saker man ska kunna.) Metod 3: Vi använder konjugatregeln: cos 2 h (cos h )(cos h+) h 0 h h 0 h cos h lim(cos h+)=0 (+)=0 h 0 h h 0 (Standardgränsvärdet lim h 0 (cos h )/h=0 står också på listan över saker man ska kunna.) (Det finns en metod 4 också: l Hospitals regel. Har inte gåtts igenom senaste läsåret, men några kanske känner till den ändå.) Rättningsnorm: Kommit till rätt svar med en korrekt metod: 3p. Gjort någonting konstruktivt: minst p. I övrigt poäng efter hur stor del av en fullständig lösning man fått ihop. Beräkna derivatan av nedanstående funktioner. (Deriveringreglerna får användas.) (c) e 2 cos 3 Produkt: d d (e 2 cos 3)= 2 e 2 cos 3+e 2 3 ( sin 3)= e 2 (2 cos 3+3 sin 3) Rättningsnorm: Missat att det är en produkt: 0p. Enstaka annat mindre fel: p. Helt rätt: 2p. (d) arctan Sammansatt funktion: d d arctan = /2 = 2 (+ ) Rättningsnorm: Missat att det är en sammansatt funktion: 0p. Enstaka annat mindre fel: p. Helt rätt: 2p.

4 MAA24 Lösning Sida 4 (av 5) 3. (a) Punkten (4, /2) ligger på kurvan ln +ln y=ln 2. Bestäm tangentlinjen till kurvan i denna punkt. (4p) Metod : Vi använder implicit derivering. Anta att y är en funktion av, och derivera hela uttrycket: d( ) d ln +ln y() = d d ln 2 + y() y ()=0 (ln 2 är en konstant, ungefär 0,69, och derivatan av en konstant är ju 0) y ()= y() vilket med insatta värden blir y (4)= /2 4 = 8 Metod 2: Lös ut y och derivera sedan på vanligt sätt: ln +ln y=ln 2 ln y=ln 2 enligt logaritmlagarna, och förutsatt att både och y är positiva y=2 y= 2 = 2 y = ( ) 2 2 = 2 2 vilket med insatt värde blir: y = 2 4 2= 2 6 = 8 Gemensam avslutning: Linjen blir då y 2 = 8 ( 4) y= 8 Rättningsnorm: Metod : Rätt grundidé: p. Rätt genomförd: p. Rätt y : p. Rätt linje: p. Metod 2: Rätt ekvationslösning: p. Rätt derivering: p. Rätt y : p. Rätt linje: p. Om man försöker metod 2 men löser ekvationen genom att stryka ln får man p om man konstaterar detta är en linje så jag behöver inte göra något mer. (b) Bestäm största och minsta värde hos f ()= 5 (2 ) 4 på intervallet [0, ]. Motivera noga! (4p) Funktionen är kontinuerlig och definierad på ett slutet, begränsat intervall så enligt satsen om etremvärden ska den ha ett största och ett minsta värde. Sådana kan man hitta i punkter där derivatan är noll, punkter där derivatan är odefinierad samt i ändpunkter. Ändpunkterna vet vi; kolla derivatan: f ()= d d (2 )4/5 = 4 5 (2 ) /5 8 2= 5 5 (2 )

5 MAA24 Lösning Sida 5 (av 5) Anm. Det är inga problem att beräkna udda rötter för negativa tal. Jämna däremot går inte. Detta uttryck blir aldrig noll. Däremot är det odefinierat i = 2 (division med noll). Undersök de relevanta punkterna: f (0)= 5 (2 0 )4 = 5 = f ( 2 )= 5 (2 2 )4 = 5 0=0 f ()= 5 (2 )4 = 5 = Största värdet:. Minsta värdet: 0. 0 Rättningsnorm: Rätt derivata: p. Korrekt analys av situationen: 2p. Rätt svar: p. Rätt förutom att man säger att derivatan är noll istället för odefinierad i =0,5: 3p Rolles sats lyder: Om f är kontinuerlig på [a, b] och deriverbar på (a, b) och f (a) = f (b) så finns någon punkt =c mellan a och b sådan att f (c)=0. (a) Visa med ett eempel att det inte behöver finnas någon punkt med derivatan noll om vi tar bort kravet att f ska vara deriverbar. f ()= på [, ] uppfyller kontinuerlig och f (a)= f (b) men inte kravet deriverbar (ej deriverbar för = 0), och den har inte heller derivatan 0 någonstans; derivatan är på vänsterdelen och på högerdelen. Rättningsnorm: Både formler, bilder och beskrivningar i ord godtas, bara de beskriver en funktion som är kontinuerlig, har samma värde i ändpunkterna men som inte har derivata noll någonstans. Svårt att säga hur en p-variant skulle se ut, men de finns säkert. Lösningar där man behållit deriverbar men tagit bort något annat krav får 0p. (b) Bevisa Rolles sats. Du får i beviset använda satsen om etremvärden och Fermats sats utan att bevisa dem. (Tips: Antingen är f en konstant funktion eller så är den det inte. Undersök dessa fall var för sig.) (5p) Antingen är f konstant, och då är derivatan noll överallt. Och då finns det ju någon punkt i själva verket oändligt många där derivatan är noll. Eller så är f inte konstant. Då måste funktionsvärdet någonstans avvika från f (a). Säg att avvikelsen är uppåt. f är en kontinuerlig funktion definierad på ett slutet, begränsat intervall, och sådana funktioner har (enligt satsen om etremvärden) ett största och ett minsta värde. Om värdena går över f (a) är största värdet inte i ändpunkterna, och då måste det ligga någonstans däremellan. Enligt Fermats sats är derivatan i en inre deriverbar etrempunkt noll. Så det finns någon punkt med derivatan noll, nämligen etrempunkten. Om avvikelsen istället är neråt gäller samma resonemang, men för minsta värdet istället. Så hur det än ser ut så finns någon punkt med derivatan noll Vilket Skulle Bevisas. Rättningsnorm: Poäng efter hur stor del av det fullständiga resonemanget man fått med. (c) Säg någon annan sats som man bevisar med hjälp av Rolles sats. (p) Medelvärdessatsen. (Rolles sats är i princip bara en hjälpsats för medelvärdesssatsen.) Rättningsnorm: Godtar även satser som bevisas med hjälp av medelvärdessatsen, eftersom dessa indirekt kan anses bevisade med hjälp av Rolles sats.