Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt poäng. poäng: U. poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.. Beräkna nedanstående: (a) (b) e x e x dx Fall för substitution. Faktorn utanför rottecknet är lika med derivatan av uttrycket under rottecknet, så enklast är att byta ut hela det uttrycket: e x e x = t e x x= t= e dx= e e x dx=dt x= t= e = = t dt e = t / dt= [ t/] e = ( e ) / / = ( e ) / Man kan också substituera e = t, vilket ger integralen e t dt Man behöver inte heller byta gränser, utan kan om man vill substituera tillbaka och använda de ursprungliga gränserna. Rättningsnorm: Helt korrekt genomförd substitution (frånsett gränshantering): p; p vid mindre fel. Gränshantering: p. Lösning av ny integral: p. Inga avdrag för räknefel vid försök att förenkla svaret. t t dt Fall för partialbråksuppdelning. Ansats: t t = t (t+)(t ) = A t+ + B t A(t )+ B(t+) = (t+)(t ) Identifiering av koefficienter: A+ B= A+ B= A= B= = (A+ B)t+( A+B) (t+)(t ) Nu kan man börja med själva integralen: ( t t dt= t+ ) dt= ln t+ ln t + C t

2 MAA Lösning Sida (av 5) Rättningsnorm: Ansats: p. Uppsortering: p. Ekvationssystemlösning: p. Integrallösing: p. Inga avdrag för följdfel; gör man fel ansats så ska man ändå få poäng för t.ex. korrekt genomförd uppsortering.. I nedanstående figur finns graferna för f (x) = sin x och g(x) = x sin x. Bestäm arean av det gråmarkerade området. Det ser i bilden ut som att kurvorna skär i x= och x=π. Detta kan bekräftas: (8p) f ()=sin g()= sin =sin f (π)=sinπ= g(π)=π sinπ=π = Den röda kurvan måste vara y= f (x), den har det välkända utseendet hos en sinuskurva. y = g(x) ligger därför överst. Arean blir π (x sin x sin x) dx Det verkar enklast att leta reda på primitiva funktionen till x sin x innan man börjar hantera gränser med mer; uttrycket verkar lämpligt att angripa med partiell integration: U=x x sin x dx= du= dx dv= sin x dx V= cos x = x( cos x) ( cos x) dx = x cos x+ cos x dx= x cos x+sin x+c (Fördelen med att göra så här är att den krångliga delen av integralen blir lätt att kontrollera.) Nu kan vi beräkna arean: A= π (x sin x sin x) dx = [ x cos x+sin x+cos x ] π = ( π cosπ+sinπ+cosπ) ( cos +sin +cos ) =π+ +cos sin cos =π sin (Vill man veta vad detta är på ett ungefär så kan man utnyttja att radian är knappt 6, och sin 6 = /,87.,,87=,7. Datorn får det till,669, så uppskattningen är ganska bra.) ) Rättningsnorm: p för rätt integral (rätt gränser och rätt överkurva) även utan motivering. p för korrekt genomförande av partiell integration. p för resten.

3 MAA Lösning Sida (av 5). (a) Här är en del av grafen för en funktion f. 5 Skissa grafen för någon av f :s primitiva funktioner. (p) Kan omformuleras till skissa grafen för något som har det här som derivata. Kalla den primitiva funktionen F. f (x) är positiv mellan och, vilket innebär att grafen för F där lutar uppåt. Som brantast, lutning ca,5 vid x,5. Sedan negativ lutning fram till x=, brantast,, vid x. Sedan uppåt igen, som brantast lutning vid x lite större än. 5 Grafen kan förskjutas i höjdled, vi hade bara information om lutningen och inte om läget. Rättningsnorm: p om den lutar upp respektive ner i rätt delintervall och är sammanhängande utan hörn. p vid mindre konstigheter. x (b) Funktionen g definieras enligt g(x) = arctan t dt. Vad är g ( )? (p) Enligt fundamentalsatsen del blir g (x)=arctan x, så g ( )=arctan( )= π/. Rättningsnorm: p för att man ser att det blir arctan( ), p för korrekt bestämning av detta värde. (c) Bestäm värdet på i= ( n ) på valfritt sätt. (Om du inte klarar av gränsvärdet så får du delpoäng om du beräknar summan för n=.) Metod : Summationsindexet i finns inte med någonstans i formeln för summans termer. Det innebär att alla termerna, som är n stycken, är lika stora. Då kan vi lika gärna multiplicera istället för att addera: i= ( )= n n ( n n )= n = = Metod : Summan är en Riemannsumma, och gränsvärdet är en integral: i= ( n )= dx

4 MAA Lösning Sida (av 5) (Det är inte uppenbart vilket värde integralen startar på, men integrationsområdet har längden, och funktionen är konstant. Det spelar då ingen roll var man startar; värdet blir detsamma.) Integralen kan beräknas med hjälp av fundamentalsatsen, men enklare är att inse att den motsvarar arean av en rektangel med bredden och höjden, så värdet är =. Förenklad version: Sätt in n= och skippa gränsvärdet: i= ( )= = = = (Man ska låta i löpa från till, men eftersom det inte finns någonstans att sätta in detta värde är det inget större problem.) Om man tittar på denna beräkning kan man se svaret kommer att bli oavsett var n är, så gränsvärdet då n går mot oändligheten måste vara det också. Rättningsnorm: Metod ser ut som att den bara kan bli helt rätt eller helt fel. På metod p för en korrekt integral, p för lösande av den integral man fått det till. Förenklade versionen ger p för utveckling av summan och p för beräkning av den.. Vi har en liksidig sexkantig pappskiva med sidlängd 5 cm. Med den som grund ska vi konstruera en ask, genom att klippa bort bitar ur hörnen och vika upp sidorna. Hur mycket ska vi klippa bort för att få en till volymen så stor ask som möjligt? Motivera noga! Tips. Ta den nedan markerade diametern på de bortklippta bitarna som variabel: (8p) De markerade vinklarna ärπ/ ochπ/6. Vi analyserar först fyrkanten, och vad den kommer få för sidlängder. Den delas i två rätvinkliga trianglar med den markerade diameterna som hypotenusa. Kallar vi hypotenusen för x får vi x/ x/ x

5 MAA Lösning Sida 5 (av 5) Om vi klipper bort en fyrkant med diametern x cm kommer vi alltså att få en ask med sexkantig botten med sidlängd 5 x cm och höjden x/ cm. Volymen är basarean gånger höjden. En sexkant med sidlängd y kan ses som sammansatt av sex liksidiga trianglar; areaformeln för trianglar ger att dess area blir A=6 y y sinπ / = y Detta ger att askens volym kommer att bli V(x)= x (5 x) = 9 (5x x + x ) där x ligger mellan och 5. Ytterligheterna (motsvarande klipp inte bort något alls respektive klipp bort alltsammans ) ger båda askar med volymen noll, vilket helt klart inte är maximum. Däremellan måste det finnas något som ger optimal lösning. Derivering: V (x)= 9 (5 6x+x ) Derivatan är överallt definierad; se var den är noll: 9 (5 6x+x )= x x+ 75= x=± 75=± 5=±5 +5=5 cm kan inte vara max, så 5=5 cm måste vara det sökta svaret. Svar: Vi ska klippa bort bitar med sidlängden 5 cm. Rättningsnorm: På ett ungefär: 5p för uppställande av samband; p för analysen. Minst p om man gjort något konstruktivt (som att rita av fyrkanten och döpa diagonalen till x). Inga avdrag för följdfel, om de inte gjort problemet signifikant mycket lättare att räkna på.