Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Transkript

1 Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga lösningar kan givetvis inte rättas och därmed inte ge några poäng. Skrivtid: 18 minuter Hjälpmedel: Formelblad, samt på del digitala verktyg Redovisning: I alla uppgifter om det inte står (endast svar krävs) krävs någon form av redovisning. Redovisa dina beräkningar, motivera dina lösningar och rita figurer vid behov. Kravgränser Provet består av två delprov, del 1 utan digitala verktyg och del med digitala verktyg Tillsammans kan de ge 5 poäng varav 18 E-, 16 C-, 11-A-poäng E: 1 poäng D: 17 poäng varav 5 poäng på minst C-nivå C: 3 poäng varav 9 poäng på minst C-nivå B: 3 poäng varav 3 poäng på A-nivå A: 36 poäng varav 6 poäng på A-nivå Efter varje uppgift anges hur många poäng du kan få för en fullständig lösning eller ett svar. Där framgår även vilka kunskapsnivåer (E, C och A) du har möjlighet att visa. Till exempel betyder (3//1) att en korrekt lösning ger 3 E-, C- och 1 A-poäng. Till uppgifter där det står Endast svar krävs behöver du endast ge ett kort svar. Till övriga uppgifter krävs att du redovisar dina beräkningar, förklarar och motiverar dina tankegångar och ritar figurer vid behov.

2 LÖSNINGSFÖRSLAG Del 1 Utan digitala verktyg 1. Derivera a. f(x) = sin 3x (endast svar krävs) (1//) Svar: f (x) = 3cos 3x b. g(x) = (1 5x) (endast svar krävs) (1//) Svar: g (x) = (1 5x) 1 ( 5) = (1 5x) 3. Figuren visar ett komplext talplan där talet z är markerat. a. Markera talet z i talplanet ovan (endast svar krävs) (1//) b. Bestäm z z (1//) z z = ( + 3i)( 3i) = (3i) = 16 9i = = 5 Svar: 5 3. För de komplexa talen z och w gäller z = 5 (cos π 3 + i sin π 3 ), w = (cos π 3 + i sin π 3 ) a. Bestäm (1//) z w z w = z w = 5 =.5 Svar:.5 b. Bestäm (1//) arg ( z w ) arg ( z w ) = arg z arg w = π 3 π 3 = π 3 Svar: π 3

3 . Ange kurvan i figuren som en cosinusfunktion. (//) Svar: f(x) =.5 cos(x 6 ) 5. Bestäm konstanten b så att polynomet p(x) = x 6 + 5x 1x + b blir delbart med faktorn (x 1) (/1/) Faktorsatsen: Om p(x) = (x a) q(x) för något polynom q(x), så är p(a) = Då (x 1) är en faktor i p(x) ger faktorsatsen att p(1) = b = b = b = Svar: b = 6. z = cos 15 + i sin 15 är en rot till ekvationen z 8 = w Bestäm en annan rot till samma ekvation (//1) Ekvationen z 8 = w har 8 rötter Rötterna i det komplexa talplanet bildar hörnen i en regelbunden n-hörning. 36 / 8 = 5 utgör vridningsvinkeln mellan två hörn i n-hörningen och då blir övriga lösningar: z 1 = cos( ) + i sin( ) = cos 6 + i sin 6 z = cos( ) + i sin( ) = cos 15 + i sin 15 z 7 = cos( ) + i sin( ) = cos 33 + i sin 33 Svar: Till exempel z 1 = cos 6 + i sin 6

4 7. Beräkna 3 i 1 + i och svara på formen a + bi (//) 3 i (3 i) (1 i) 3 3i i + i = = 1 + i (1 + i) (1 i) 1 i = 3 i 1 = i = 1 i Svar: 1 i 8. Lös ekvationen sin x = (/1/) sin x = sin x = Fall 1 sin x = 1 x = sin + n 36 x = 5 + n 36 x =.5 + n 18 Fall sin x = 1 x = (18 sin ) + n 36 x = (18 5 ) + n 36 x = n 36 x = n 18 x =.5 + n 18 Svar: { x = n 18 Kommentar: Formelblad Ma > Trigonometri > Exakta värden 1 avläs ur tabell, sin = 5 9. Visa att (//) 1 cos x = 1 + tan x VL = 1 cos x = sin x + cos x cos = sin x x cos x + cos x cos x = tan x + 1 = 1 + tan x = HL

5 1. Det skuggade området i figuren begränsas av kurvan y = 1 x x-axeln samt linjerna x = 1 och x = b, b > 1 Bestäm b så att områdets area blir 1 a. e. (/1/) b A = 1 dx = [ln x] b x 1 = ln b ln 1 = ln b 1 då A = 1 a. e. fås ekvationen ln b = 1 e ln b = e 1 b = e Svar: b = e Bestäm konstanten p så att funktionen y = e 5x är en lösning till differentialekvationen y + py = e 5x (//) y = 5 e 5x = 1e 5x y = 5 1e 5x = 5e 5x VL = 5e 5x + pe 5x = e 5x (5 + p) HL = e 5x För att få VL = HL måste 5 + p = 1 p = Svar: p =

6 1. Klotformade ballonger blåses upp till volymen 8 liter Ballongens radie ökar med cm/s då radien är 5 cm Ballongerna blåses upp med tryckluft vilket gör att volymen ökar med konstant hastighet. Bestäm hur lång tid det tar att blåsa upp en ballong som från början är tom. Sätt π = 3 (//) V = πr3 ger 3 dv π 3r = = πr cm dr 3 Då ballongens radie ökar med cm/s fås dr dt = cm/s Påfyllningshastigheten är dv dt = dv dr dr dt = πr = 8πr cm 3 /s Påfyllningshastigheten då r = 5 är 8π5 = π cm 3 /s t = tiden att fylla en ballong 8 liter 8 cm3 t = π cm 3 = s π cm 3 s = π π = 3 ger 3 39 = 13 s 3 s Svar: Det tar cirka 13 s att blåsa upp en ballong 13. Lös ekvationen z z = 1 + 8i (//) Sätt z = a + bi z = a bi z = a + b insättning i ekvationen ger a + b (a bi) = 1 + 8i a + b a + bi = 1 + 8i identifiering av realdel och imaginärdel i VL och HL ger ekvationssystemet { a + b a = 1 (1) b = 8 () () ger b = som sättes in i (1) vilket ger a + a = 1 a a + 3 = a = ± 3 a 1 = 1 a = 3 Svar: { z 1 = 1 + i z = 3 + i

7 1. Bevisa att summan av kvadraterna på fem på varandra följande heltal alltid är delbar med fem Exempel = 9 = 5 18 (//) Om ett av talen är n så är nästa tal n + 1 Då kan summan av fem på varandra följnade tal skrivas som (n ) + (n 1) + n + (n + 1) + (n + ) Summan av dess kvadrater blir (n ) + (n 1) + n + (n + 1) + (n + ) = n n + + n n n + n + n n + n + = 5n + 1 = 5(n + ) som innehåller faktorn 5 och är därmed delbar med 5

8 Del Med digitala verktyg (miniräknare, grafritande räknare, eller motsvarande utan möjlighet till kommunikation) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Alla papper ska förses med namn och återlämnas 15. Det skuggade området i figuren begränsas av f(x) =.7x + cos 3x + de positiva koordinataxlarna samt linjen x = 5 Beräkna områdets area (//) Lösningsförslag 1: Enkel räknare. Räknaren måste vara inställd på radianer när sin(15) beräknas 5 A = (.7x + cos 3x + ) dx = [.7 x sin 3x + + x] = 3 =.7 5 sin(3 5) (.7 sin(3 ) + + ) = 3 3 sin 15 = a. e. 3 Svar: A a. e. Lösningsförslag : Grafritande räknare. Räknaren måste vara inställd på radianer då integranden innehåller en trigonometrisk funktion. 5 Svar: A a. e. Lösningsförslag 3: Räknare med integreringsfunktion. Räknaren måste vara inställd på radianer då integranden innehåller en trigonometrisk funktion. Svar: A a. e.

9 16. Figuren visar graferna till funktionerna f(x) = x3 + 1, g(x) = x 1 3 De två funktionernas grafer innesluter tillsammans med de positiva koordinataxlarna det område som skuggats i figuren. Bestäm arean av det skuggade området. Svara med minst tre värdesiffror. (/1/) För att hitta skärningspunktens x-koordinat sätt f(x) = g(x) x = x 1 Som ger en tredjegradekvation som lämpligen löses grafiskt x =.886 Berä knä äreän under tredjegrädskurvän.886 ( x ) dx.8336 A Lagra svaret i variabeln A

10 Linjen y = x 1 skär x-axeln då y = vilket ger ekvationen = x 1 x =.5 Beräkna arean under den räta linjen.886 (x 1) dx B Lagra svaret i variabeln B Beräkna sökt area: =.6857 Svar:.686 a.e.

11 17. Vattendjupet h (i meter) i en hamn varierar enligt funktionen h(t) = 1.3 sin(.5t.5) + 8 där t är tiden i timmar efter klockan. a. Bestäm det högsta och det lägsta vattendjupet samt medelvattendjupet. (//) b. Vid vilken tidpunkt inträffar det första högvattnet? (/1/) c. Bestäm hur lång tid det är mellan två lågvatten. (/1/) a. 1 sin x 1 1 sin(.5t.5) 1 högsta vattendjup: = 9.3 m lägsta vattendjup: = 6.7 m medelvattendjupet: 8 m Svar: 9.3 m, 6.7 m samt 8 m b. Lösningsförslag 1 med enkel räknare h (t) = 1.3 cos(.5t.5).5 h (t) =.681 cos(.5t.5) h (t) = ger.681 cos(.5t.5) = cos(.5t.5) =.5t.5 = ± π + n π Fall 1.5t =.5 π + n π.5t =.99 + n π t = n π.5 t = n vid första extrempunkten är n = t = 1.77 h = 1 h 6 min Avgör om extrempunkten är en min- eller maxpunkt med andraderivatan h (t) =.356 sin(.5t.5) h (1.77) =.356 sin( ) =.35 > minimum Fall.5t =.5 + π + n π.5t =.7 + n π t = n π.5 t = n vid första extrempunkten är n = t = 7.77 h = 7 h 6 min Avgör om extrempunkten är en min- eller maxpunkt med andraderivatan h (7.77) =.356 sin( ) =.35 < maximum Tidpunkten för första högvattnet är. + 7 h 6 min Svar: 7.6

12 Lösningsförslag : Grafritande räknare h(t) = 1.3 sin(.5t.5) 7.77 h = 7h +.77 min = 7h 6 min 6 Tidpunkten för första högvattnet är. + 7 h 6 min Svar: 7.6 c. Lösningsförslag 1: Enkel räknare Från uppgift a fås att lågvattnen inträffar då t = n Avståndet mellan två tidpunkter är h Svar: 1 h = ett halvt dygn Lösningsförslag : Grafritande räknare x min 1 = Lagra svaret i A x min = Lagra svaret i B Beräkna avståndet tid det mellan två lågvattet h 1 h Svar: 1 h = ett halvt dygn

13 18. Funktionen F är en primitiv funktion till f Figuren nedan visar y = F(x) Bestäm (/1/) f(x) dx f(x) dx = [F(x)] = F() F() F() och F() avläses ur grafen ovan vilket ger F() F() = 5 3 = Svar:

14 19. Kurvorna y = x,5 och y = x x begränsar ett område. Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då detta område roterar kring x-axeln. (/1/) Låt f(x) = x.5 och g(x) = x x = x x.5 = x 1.5 skärningspunkten mellan kurvorna ges av ekvationen f(x) = g(x) x,5 = x 1.5 = x1.5 x,5 = x x = V = Volym av rotationskropp V = π (x.5 ) dx π (x 1.5 ) dx = π 16 x dx π x 3 dx = π (16x x 3 ) Svar: 6π 1 v. e. dx = π [16 x x ] = π [8x x ] Bilder från Wolfram Alpha: V 1 V ger sökt volym V 1 = π (x.5 ) dx = π (8 V = π (x 1.5 ) dx ) = π(18 6) = 6π

15 . Figurerna visar kurvorna y = f(x) och y = g(x) samt tangenterna till dessa för x = 3 Låt h(x) = f(x) g(x) och bestäm h ( 3) (//) h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) h ( 3) = f ( 3) g( 3) + f( 3) g ( 3) Avläsning i graferna ger f ( 3) = 1 3 g( 3) = f( 3) = 3 g ( 3) = Insättning ger h ( 3) = ( 1 3 ) + 3 = 6 3 = 16 3 Svar: h ( 3) = 16 3