Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Transkript

1 Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer Absolutbelopp Inverser Logaritmer Exponentialfunktioner, potensfunktioner Trigonometri Komplexa tal Arcusfunktioner Vektorer, vektoralgebra Linjens ekvation (parameterform) Planets ekvation (normalform, parameterform) Skärningar, avstånd, vinklar

2 Uppföljning DP Några repetitionsuppgifter inom kursen TNA Sixten Nilsson Del. Ekvationer och olikheter med polynom, rotuttryck, rationella uttryck, absolutbelopp. Faktorsatsen, faktoriseringar, funktioner allmänt. Inverser allmänt: Samband mellan egenskaper hos funktion och dess ev. invers, bestämma ev. invers. : För vilka x R gäller det att 3x x? Svar: : x eller 4 x Betrakta funktionen f(x) =, x [0,3]. Visa att f har invers f och bestäm denna, inklusive dess definitionsmängd. Svar: f (x) =, D =, 5 :3 Lös för reella x ekvationen Svar: x, x x 3x :4 4 3x Givet funktionen f ( x), x 0,8 definitionsmängd D. 4 y 3 Svar: f ( y), y 0, :5 3 Lös olikheten ( x ) x. Svar: x, 0, f, visa att f har invers och bestäm denna inklusive dess :6 Vilka reella tal x uppfyller olikheten Svar: x ], [ ]3, [ x x x 3?

3 Del Komplexa tal: a + bi form (rektangulär form), räkning med komplexa tal, komplexa exponentialfunktioner, polär form, tolkningar i komplexa talplanet, begreppskunskap (absolutbelopp, Re, Im, konjugat etc.), omskrivningar mellan polär och rektangulär form, Eulers formler, de Moivres formel. : a) Markera i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som samtidigt uppfyller de båda villkoren 0 arg z och z. 4 b) Beräkna i Svar: a) b) 0. Ange svaret på formen a + bi, a, b R. 04 : Beräkna Svar: 64 i. Ange svaret på formen x iy, där x och y är reella tal. :3 i Givet det komplexa talet z. i 00 a) Beräkna z och ange svaret på formen x iy, där x och y får skrivas på formen p a, där a är ett reellt tal och p ett heltal. b) Välj v arg z så att v. Rita och markera i ett komplext talplan alla komplexa tal u för vilka det samtidigt gäller att v arg u arg(0) och u. Figuren skall ritas tydligt och med lämpliga hjälpmedel. 00 Svar: a) z b) 50

4 Del 3 Naturliga logaritmen, exponentialfunktioner, potensfunktioner: Egenskaper, räkneregler, ekvationer och olikheter. 3: Lös för reella x ekvationen ln( x ) ln( x) ln 3 ln x. Svar: x 3: a) Lös olikheten ln ln x ln x. b) Lös olikheten ln ln3 x ln Svar: a) 3:3, 3 x. x b) x, 4,3 x Låt f ( x) e. a) Har f invers? Bestäm i så fall denna inklusive dess definitionsmängd. b) Bestäm alla reella lösningar till ekvationen f ( x) e. Svar: a) f ( y) ln( y ), D,. b) x ln f 3:4 Betrakta funktionen f ( x) ln( x 4) ln( x ). a) Bestäm f :s definitionsmängd, D f. b) Bestäm alla reella lösningar till ekvationen f ( x) ln 6. Svar: a), D b) x 3 f x

5 Del 4 Talföljder och Summor: Sigmasymbolen, aritmetiska och geometriska talföljder och summor. Induktionsbevis: Princip samt kunna utföra sådant bevis. 4: n k Ange 3k 3 k n 3n n 3 Svar: som ett uttryck i n utan någon summasymbol. 4: Visa att formeln n k k k n n gäller för alla n Z.

6 Del 5 Trigonometri: Radianer, enhetscirkeln, trigonometriska formler, funktionerna cos, sin, tan och cot och deras egenskaper. Omskrivningen A sin x B cos x C sin( x v), ekvationer och olikheter. Arcusfunktionerna: Definitioner, samband, enkla ekvationer. 5: Lös ekvationen cos 3 3 Svar: 3,,, x 4 4 5: x,, 6 x. Lös ekvationen sin x sin x, x0, Svar: 5:3 7 x 8 Förklara/illustrera med hjälp av en lämplig figur sambandet x) sin x Lös sedan ekvationen sin x 3sin x 0, x 0,. Svar: Se kurslitteraturen. 5 x,, 6 6. sin(. 5:4 π a) Som bekant gäller sambandet sin v cos v för alla v R. Låt punkten (cos v,sin v) π vara en punkt på enhetscirkeln med 0 v och illustrera sambandet med hjälp av enhetscirkeln. b) Bestäm alla reella lösningar till ekvationen sin π x 3cos x 0. Svar: a) Se kursboken b) 5π x n eller x nπ, n Z :5 sin x cos x a) Visa att sin x cos x cos x b) Bestäm det exakta värdet av sin( u v) om sin u, u och sin v, 3 v. 3 3 Svar: b)

7 Del 6 Vektorer, linjer och plan: Linjära ekvationssystem (Gausselimination), begreppskunskap och räkneregler för geometriska vektorer, skalärprodukt, ortogonalitet, projektioner, ekvationer för linjer och plan, skärningar, vinklar, avstånd, etc. 6: x = 0 + t Betrakta linjen y = + t, t R och planet x y z 0. (ON-bas) z = t a) Vilken punkt på linjen har y-koordinaten 0? b) Bestäm en (valfri) punkt i planet som har x-koordinaten 5. c) Bestäm koordinaterna för linjens skärningspunkt med planet. d) Beräkna avståndet mellan punkten P =,, 0 och det givna planet. Svar: a) 9,0, 8 b) T.ex. ( 5,0,5 ) c),,0 d) längdenhet 6: Ange, med motivering, för vart och ett av följande tre påståenden (A, B och C) om det är sant eller falskt. A. De två planen 4x y z 8 och 3x y 5z är vinkelräta. (ON-bas) B. De två planen x y z 3 och x y 3z 3 skär varandra längs den x 3 4 räta linjen y 0 t, t R. (ON-bas) z 0 x C. Linjen y t, t R z Svar: Alla tre påståendena är sanna. 6:3 x Linjen y t, t R z a) Beräkna avståndet mellan linjen och punkten. b) Bestäm koordinaterna för P : s spegling i linjen. 7 Svar: a) 0 b) S =,, , skär xy-planet i punkten 4,,0. (ON-bas), och punkten P,, är givna i en ON-bas.

8 6:4 Ett plan innehåller punkten (,,) och har normalen n. x 0 a) Har planet och linjen L: y = + t, t R någon skärningspunkt. Bestäm z 4 i så fall denna punkt. b) Beräkna avståndet mellan punkten (,,) och det givna planet. Svar: a),, b) 6 l.e. 4 6 Svar: a) 35 b) T.ex. vektorn 3 0 c) T.ex. vektorn v