forts. Kapitel A: Komplexa tal

Transkript

1 forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen i) eller i), dvs i = i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab = a b gäller ej om a och b är negativa! Dock är a b) = a b då a, b är postiva reella tal. Obs! Olikheter är EJ definierade för komplexa tal eftersom de ej är enkelt ordnade. Sats En andragradsekvation, x + px + q = 0, har rötterna x 1 = p p ) q x = p + p ) där x, p, q C. q Exempel Lös ekvationen 1 + i)z i)z 1 5i) = 0. Börja med att få z som ensam term: 8 19i = 8 19i)1 i) 1+i 1+16 = 1 8 i 19i i ) = i) 17 = i z i 5i z i 1 + i = 0 5i = 5i)1 i) 1+i 1+16 = 1 1 5i i ) 17 17i) = 1 17 = 1 i varmed ekvationen är z + i)z i) = 0 Enligt den allmänna lösningsformeln är z = + i + i ) ± 11 + i) I en vanlig andragradsekvation med reella rötter hade vi nästan varit klara här men nu har vi komplexa rötter och komplexa koefficienter så då återstår en hel del arbete... Nu ska vi skriva hela rotuttrycket som ett komplext tal, α + βi, så får vi lösningarna z 1 och z från +i ± α + βi). För att se vad α och β ska vara måste vi först ta reda på vilket tal vi ska dra roten ur, dvs vilket komplext tal +i ) 11 + i) är: 1

2 +i ) = i + i) = 7 + 6i +i ) 11 + i) = 7 + 6i 1 1i = 7 5 7i varmed dvs + i = 5 8i ) 11 + i) = 5 8i z = + i ± 5 8i = 1 5 8i Låt α + βi = 5 8i och kvadrera båda led. Då får vi att α β + αβi = 5 8i, dvs ekvationssystemet { α β = 5 1) αβ = 1 ) ) ger att β = 1 så insättning i 1) ger α α 1 α ) = 5. Låt γ = α obs! γ R + ). Då är γ = 0 och γ γ + 5γ 196 = 0 dvs γ = 5 5 ) ± = ± = ± 5 ± 5 = dvs γ 1 = och γ = 9. Emellertid vet vi att γ R + så endast γ 1 är intressant = giltig lösning). Därmed får vi att α = γ = β = 1 = 7 så 5 8i = 7i och slutligen z = +i ± 7i dvs { z1 = i = i z = + +7 i = 1 + 5i Polär form Istället för att skriva z C som a + bi där a = Re z och b = Im z) kan man skriva z som rcos θ + i sin θ) där r cos θ = Re z = a och ir sin θ = iim z = ib, r = z och

3 θ = arg z. På samma sätt som a, b) är rektangulära koordinater i det komplexa talplanet kallas r, θ) polära koordinater eftersom de på ett annat sätt entydigt bestämmer z s position. Omvandling mellan rektangulär och polär form sker enligt reglerna rekt. polär r = { a + b cos θ = a/r sin θ = b/r polär rekt. a = r cos θ b = r sin θ Exempel Skriv talet z = i på polär form. Till att börja med är r = ) + ) =. För att bestämma θ = arg z, rita en enhetscirkel i komplexa talplanet! För θ ska gälla att { cos θ = = 1 sin θ = = 1 Om man bara ser till den första ekvationen får man minst) lösningar: θ = π/ och θ = 5π/ men även π/+πn eller 5π/+πn där n är ett godtyckligt heltal). Den andra ekvationen ger att θ = 5π/ eller θ = 7π/ men även 5π/ + πn eller 7π/ + πn där n är ett godtyckligt heltal). Därmed är θ = 5π den lösning som stämmer i båda fallen dvs θ = 5π + πn där n är ett godtyckligt heltal är alla giltiga lösningar). Alltså är z = rcos θ + i sin θ) = cos 5π + i sin 5π ) men även t.ex. z = cos π ) + i sin π )) är ett korrekt svar, eftersom 5π + π 1) = π ). Exempel Skriv talet z = 5 cos Kom ihåg: θ sin θ cos θ π/6 1/ / π/ 1/ 1/ π/ / 1/ π/ π ) 10001π ) ) + i sin på rektangulär form. Vi har att a = 5 cos 10001π ) = 5 cos 10001π +πn) = 5 cos 10001π 6π 1666 ) = 5 cos π = 5 1) = 5, och b = 5 sin 10001π ) = 5 sin π =. Alltså är z = 5 i.

4 de Moivres formel Den polära formen z = rcos θ+i sin θ) kan även skrivas z = e θ i med samma r = z och θ = arg z). För en utförlig definition av exponentialfunktionen och förklaring till varför z = e θ i, läs s Formen z = e θ i kallas ibland exponentiell form men detta är lite missledande: det finns bara två former rektangulär och polär. Denna form är bara en variant av polär form eftersom den bestäms av de polära koordinaterna r och θ.) Att vi kan skriva z på detta vis gör att vi enklare kan beräkna z k för mycket stora heltal k. Vi har nämligen att om likheten rcos θ+i sin θ) = re θ i ska stämma för alla reella) r och θ, så måste z k = r k e θk i vara detsamma som z k = rcos θ + i sin θ)) k. Eftersom z k är ett komplext tal, låt oss kalla det w, där w = scos ψ +i sin ψ) = se ψ i så måste s = r k för w = z k ) och ψ = θk + πn för arg w = arg z k ). Därmed är z = r k cos θk + i sin θk) vilket kallas de Moivres formel. Det är denna som gör det lättare att beräkna z k. Exempel Beräkna i) 8. Vi ser att 16 = = ) 8 och vill nu skriva z = 1 + i) på polär form för att lättare kunna beräkna z 8 m.h.a. de Moivres formel. I ett tidigare exempel hade vi w = i = 1 + i). Men z 8 = 1) 8 z 8 = z) 8 = 1 + i)) 8 = w 8 så låt oss använda w istället. Skrivet på polär form är w = cos 5π + i sin 5π ). Enligt de Moivres formel är då w 8 = 8 cos 5π 8) + i sin 5π 8)) = cos10π) + i sin10π)) = ) = 196 och eftersom z 8 = w 8 är z 8 = 196. Binomiska ekvationer Ekvationen z n = w där z, w C har n rötter: z 0, z 1,..., z n 1 som beräknas enligt z k = w 1/k cos θ k + i sin θ k ) där θ k = 1 arg w + πk) och k = 0, 1,..., n 1. n Rötterna kallas n:te rötter. Om w = 1 kallas rötterna enhetsrötter. Exempel Beräkna 6 6. För att skriva z = 6 6 = 6) 1/6 på rektangulär form, upphöj båda led till 6: z 6 = 6 och använd formeln ovan. z 6 = 6 = 6 = 8 = ) = 6 så z 6 1/6 =. Eftersom cos θ = 6 = 1 och sin θ = 0 6 så blir θ = arg z = π + πn där n Z t.ex. θ = π. Detta inses med en enhetscirkel i komplexa talplanet...) Därmed är θ k = 1 π + πk) där k = 0, 1,,,, 5. 6 Sjätte-rötterna är då

5 z 0 = cos π 6 + i sin π 6 ) = + 1 i) = + i z 1 = cos π 6 + i sin π 6 ) = i z = cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) = + i z = cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) = i z = cos 9π 6 + i sin 9π 6 ) = i z 5 = cos 11π 6 + i sin 11π 6 ) = i + i i Im z i + i Re z i i 5