Komplexa tal. z 2 = a
|
|
- Ingeborg Rebecka Ivarsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Moment 3., , , 3.3. Viktiga exempel , 3.9,3.20 Handräkning , 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga det reella talsystemet till systemet av de komplexa talen. I äldre tider betraktade man de komplexa talen som overkliga hjälpstorheter, som man visserligen kunde räkna med, men som man försökte befria sig från, då räkningen slutförts. Härav förklaras namnen reell = verklig och imaginär = inbillad. En liknande uppfattning existerade för övrigt ända intill 400-talet om de negativa talen som overkliga hjälpstorheter. De positiva, rationella talen har man däremot haft lättare att acceptera på grund av deras samband med praktiska delningsproblem. Införande av de komplexa talen De reella talen räcker inte till! Här nedan betecknar vi alltid a,b,c,d som reella tal. Vi har problemet: Låt a vara ett reellt tal och sök ett tal z, sådant att = a Om a 0, vet vi redan att detta problem har lösningen z = ± a, där a 0. Men eftersom för ett reellt tal z alltid gäller att 0, så finns det ingen reell lösning z till = a, om a < 0, till exempel om a =. Vi försöker därför införa en klass av ett nytt slags tal, som skall omfatta de reella men också innehålla ett tal i, för vilket vi fordrar, att det skall gälla i 2 = Enligt vad som ovan sagts, kan då inte i vara ett tal i den mening vi hittills lagt i ordet, nämligen ett reellt tal. Vi skall se, att vi kan definiera operationerna + och för de nya talen, så att addition och multiplikation av de reella talen blir bestående. Definitionerna skall naturligtvis göras så, att addition och multiplikation av reella tal får samma betydelse som förut. Först och främst är det klart att vi bör fordra, att den nya klassen blir sluten med avseende på operationerna + och. Detta medför, att eftersom såväl talet i som ett godtyckligt reellt Håkan Strömberg KTH Syd
2 tal b tillhör klassen, så skall denna innehålla alla tal i b. Additionens slutenhet medför härefter, att den nya klassen skall innehålla alla tal a+i b, där a och b är reella. Antag nu att z = a +ib och = a 2 +ib 2 är två tal i den nya klassen, och att vi kan räkna med talen a,a 2,b,b 2 men även med i enligt de vanliga räknelagarna för reella tal. Enligt associativa och kommutativa lagarna för addition skulle vi då få z + = a +ib +a 2 +ib 2 = a +a 2 +ib +ib 2 Nu kan vi bryta ut i (enligt distributiva lagen), så att vi får z + = (a +a 2 )+i(b +b 2 ). För multiplikationen skulle vi få z = (a +ib )(a 2 +ib 2 ) = a a 2 +ia b 2 +ia 2 b +i 2 b b 2 Vi har tidigare krävt att i 2 = och får då formeln för multiplikation z = (a a 2 b b 2 )+i(a b 2 +a 2 b ) Ovanstående är endast en vägledande inledning, i vilken vi gjort några helt formella räkningar med odefinierade symboler a + ib. Vi ska nu visa, hur man med hjälp av de reella talen kan definiera de nya talen och räkneoperationerna addition och multiplikation för dem. Därefter undersöker vi vilka räknelagar, som gäller för de nya talen. Eftersom bildningen a+ib innehåller två reella tal a och b är det naturligt att vid definitionen av de nya talen arbeta med par av reella tal. Det finns ingenting som hindrar, att man för paret av reella tal a och b från början använder beteckningen a+ib. För att emellertid inte förledas till missbruk av detta skrivsätt till exempel genom att från början lägga in någon inte definierad betydelse i tecknet + eller i symbolen ib, använder vi nedan till att börja med ett annat skrivsätt. Införande av de komplexa talen genom par av reella tal. Betrakta mängden av alla par (a,b), där a och b är reella tal givna i en viss ordning. Vi betecknar mängdens element med z = (a, b) och definierar operationerna addition och multiplikation av två element z = (a,b ) och = (a 2,b 2 ) i mängden på följande sätt: I Addition: z + = (a +a 2,b +b 2 ) II Multiplikation: z = (a a 2 b b 2,a b 2 +a 2 b ) Talparen z = (a, b), för vilka vi definierat addition och multiplikation enligt I och II, kallar vi komplexa tal. Två komplexa tal z = (a,b ) och = (a 2,b 2 ) är lika, då och endast då a = a 2 och b = b 2. Vi skall nu granska definitionen ovan. Först undersöker vi, hur räkningarna med de komplexa talen fungerar, om vi endast betraktar komplexa tal av formen z = (a,0) det vill säga sådana, där det andra av de båda reella talen i paret är 0. Vi får enligt I, att z + = (a,0)+(a 2,0) = (a +a 2,0) och enligt II, att z = (a a 2 0,a 0+a 2 0) = (a a 2,0). Vi ser härav, att om vi vid addition och multiplikation av talpar av formen (a,0) ersätter dessa med reella tal a, så får vi oförändrat resultat. Vi identifierar därför det komplexa Håkan Strömberg 2 KTH Syd
3 talet (a,0) med det reella talet a och skriver a = (a,0). Speciellt identifieras alltså det komplexa talet (0,0) med 0 och det komplexa talet (,0) med. Vi övergår nu till att undersöka vilka räknelagar som gäller för komplexa tal i allmänhet. Räknelagar för de komplexa talen Man verifierar lätt, att samtliga räknelagar för reella tal även gäller för de komplexa talen. Vi nöjer oss med att utföra beviset för ett par av dem. Kommutativa lagen för addition av komplexa tal. Vi har enligt I z + = (a +a 2,b +b 2 ) = (a 2 +a,b 2 +b ) = +z varför kommutativa lagen gäller. Observera att det enda, som använts vid beviset, är definitionen och kommutativa lagen för addition av reella tal. Annulleringslagen för addition av komplexa tal. Vi sätter z 3 = (a 3,b 3 ) och finner, att z + = z +z 3 betyder, att (a +a 2,b +b 2 ) = (a +a 3,b +b 3 ), det vill säga a +a 2 = a +a 3 och b +b 2 = b +b 3. Detta är detsamma som a 2 = a 3 och b 2 = b 3, varför = z 3. z = z, där z är ett godtyckligt komplext tal. Vi finner enligt II z = (a,b )(,0) = (a b 0,a 0+b ) = (a,b ) = z Subtraktion av komplexa tal. Låt z = (a,b ) och = (a 2,b 2 ) vara två komplexa tal. Då finns ett komplext tal z, sådant att +z = z Direkt insättning avz = (a a 2,b b 2 ) ger enligti, att +z = (a 2,b 2 )+(a a 2,b b 2 ) = (a,b ) = z, varmed existensen är klar. Vi skriver z = z Om speciellt z = 0, skriver vi z = och har alltså i detta fall +( ) = 0. De vanliga teckenreglerna gäller naturligtvis, eftersom allt, som utnyttjades vid beviset av dem, visats vara uppfyllt för komplexa tal. Annulleringslagen för multiplikation av komplexa tal. Vi skall visa, att om z = z z 3 och z 0, så är = z 3. Vi kan skriva förutsättningen i formen z ( z 3 ) = 0. Det är därför klart, att det räcker att bevisa följande Sats. Om z = 0, där z och är komplexa tal, så är minst ett av talen z och lika med 0. Innan vi övergår till att visa, att ekvationen z = z för 0 är lösbar i z, är det lämpligt, att vi introducerar talet i. Talet i och framställning av de komplexa talen i formen a+ib. Bland de komplexa talen är talet z = (0, ) av särskilt intresse. Enligt II gäller = (0,)(0,) = (0 0,0 + 0) = (,0) =. Vi har därför funnit ett komplext tal z, som uppfyller ekvationen =. Vi kallar det komplexa talet (0, ) för i, alltså i = (0,) Håkan Strömberg 3 KTH Syd
4 och har i 2 = Talet i = (0, ) löser också ekvationen =. Med hjälp av talet i och de reella talen kan alla komplexa tal framställas. Låt nämligen z = (a,b) vara ett godtyckligt komplext tal. Vi kan då enligt I skriva z = (a,0) + (0,b). Enligt II är emellertid (0, b) = (0, )(b, 0) = i b = ib. Sammanfattas detta, har vi alltså z = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(0,)(b,0) = a+ib. Ett godtyckligt komplext tal z = (a, b) kan alltså framställas därigenom, att man multiplicerar det reella talet b med talet (0,) = i och därefter adderar det reella talet a till produkten. Denna framställning är entydig, ty om a+(0,)b = c+(0,)d, där a,b,c,d är reella tal, följer att (a,b) = (c,d), det vill säga a = c och b = d. Vi har alltså a+ib = c+id då och endast då a = c och b = d (a,b,c,d reella) och speciellt a+ib = 0 då och endast då a = 0 och b = 0 (a,b reella). Om z = a+ib, där a och b är reella, kallas a realdelen av z och b imaginärdelen av z. Vi skriver a =Re z, b =Im z men också (a = R z och b = I z). Två komplexa tal är lika då realdelarna och imaginärdelarna i båda leden lika. Talet i kallas den imaginära enheten. Med hjälp av detta tal kan definitionerna I och II skrivas (a +ib )+(a 2 +ib 2 ) = a +a 2 +i(b +b 2 ) (a +ib )(a 2 +ib 2 ) = a a 2 b b 2 +i(a b 2 +a 2 b ) Detta innebär, att man får addera och multiplicera de komplexa talen som om a,a 2,b,b 2 och i vore vanliga reella tal, om man endast ersätter i 2 med. I fortsättningen skriver vi alltid ett komplext tal i formen a+ib i stället för (a,b). Vi påpekar emellertid inte varje gång, att vi avser, att a och b skall vara reella, utan detta får framgå av sammanhanget. Låt a,b och c vara reella tal. Ur z = a + ib följer enligt de bevisade räknelagarna cz = ca+icb. Multiplikation av ett komplext tal med ett reellt innebär alltså att såväl real- som imaginärdelen multipliceras med det reella talet. Talen a + ib kallas komplexa. Talen a + ib, b 0 kallas icke-reella. Talen 0+i b = ib, b 0 kallas rent imaginära. Vi definierar z n, där n är ett naturligt tal, som produkten av n stycken faktorer z. Övningar Visa att i 3 = i och att i 4 = 2 Visa att de enda lösningarna till ekvationen + = 0 är z = +i och z = i Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 3 Beräkna i 4n+k där n är ett icke-negativt heltal och k = Skriv på formen a + ib uttrycket ( 2 + i 2 ) 8n+k där n är ett icke-negativt heltal och k =...8 Konjugerat komplexa tal Om z = a+ib, där a och b är reella, är ett komplext tal, så kallas talet a ib det till z konjugerat komplexa talet. Vi betecknar detta med z, så att z = a ib Av definitionen följer omedelbart, att om z är konjugerat till, så är konjugerat till z. Vi kan också uttrycka detta så att z = z, det vill säga att operationen konjugering tillämpad två gånger på talet z ger tillbaka talet z. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att z = z det vill säga a+ib = a ib är att i 2b = 0, det vill säga b = 0. Relationen z = z utgör därför ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att z skall vara reellt. Om z = a+ib, gäller z z = (a+ib)(a ib) = a 2 i 2 b 2 = a 2 +b 2, alltså z z = a 2 +b 2 Övning 6. Bevisa formlerna Rez = z+z Imz = z z 2 2i Sats 2. Om z och är godtyckliga komplexa tal, är z + = z + och z = z Vi ser alltså, att man erhåller det konjugerade talet till en summa (produkt) genom att konjugera varje term (faktor) för sig. Övning Vilka komplexa tal z uppfyller följande likheter a) z+2z = 2 i b) 2z+iz = 2+3i c) z+z( i) = 2+i Division med ett komplext tal. Låt z = a + ib och = a 2 + ib 2 vara två komplexa tal och antag, att 0, det vill säga att a 2 och b 2 ej båda är 0. Vi vill lösa ekvationen z = z Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 med avseende på z. Om det finns ett tal z, som löser ekvationen, följer efter multiplikation av båda leden med, att z = z. Nu är emellertid = a 2 2 +b2 2 ett reellt tal, och detta tal är skilt från 0, eftersom a 2 och b 2 ej båda är 0. Vi kan därför multiplicera ekvationen z = z med och erhåller z = z Omvänt finner vi, att detta värde på z verkligen satisfierar ekvationen. Insättning ger nämligen ( ) z = z = z = z Vi har därmed visat att ekvationen z = z har en entydigt lösning och skriver lösningen z = z Den entydiga lösbarheten av denna ekvation kan nu användas för att bevisa följande räkneregler där 0 och w 2 0 z = w w 2 då och endast då z w 2 = w z + w = z w 2 + w w 2 w 2 z w = z w w 2 w 2 Om vi i den sista regeln speciellt väljer w = w 2, finner vi, att förlängning är en tillåten operation vid räkning med komplexa tal. Exempel Skriv talet a+ib c+id på formen ξ+iη. Lösning: Genom förlängning med nämnarens konjugatkvantitet c id får vi a+ib c+id = (a+ib)(c id) (c+id)(c id) = ac+bd+i(bc ad) c 2 +d 2 = ac+bd c 2 +d 2 +ibc ad c 2 +d 2 Om z = a+ib 0, kallas talet z inversen talet till z. Vi har z = z zz = a ib a 2 +b 2 Observera att lösningen z till ekvationen z = z kan skrivas z = z Om z 0, definierar vi z 0 = och z n = z n där n är ett naturligt tal. Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 Övningar 8 Bringa följande uttryck på formen a + ib, a och b reella a) d) i 4+i +2i + 3 i 2+i b) 4 i 2+3i c) e) (2 i) 3 f) +i ( i 2 + i 3 2 ) 3 d) 3+4i 9 Visa att för 0 gäller ( z ) = z 0 Om vi sätter z = a + ib, = a 2 + ib 2 och z = ξ + iη, är ekvationen z = z ekvivalent med ekvationssystemet { a2 ξ b 2 η = a b 2 ξ a 2 η = b vars determinant är a b2 2. Visa detta. Använd härefter systemet ovan för att visa existens och entydighet vid division. Absolutbelopp av ett komplext tal Om z = a + ib, där a och b är reella, kallas det reella, icke-negativa talet a 2 +b 2 för absoluta beloppet av z. Vi skriver z = a 2 +b 2 Man kallar också ibland z för modulen av z. Man har alltid z 0. Det gäller z = 0, då och endast då både a = 0 och b = 0, det vill säga då och endast då z = 0. Observera speciellt att om z = a är ett reellt tal, är z = (a 2 ) 2 = a varför definitionen i detta fall överensstämmer med den definition av absolutbelopp vi gjort för reella tal. Om åter z = ib är rent imaginärt, finner man z = b. Vidare är z = z. Två viktiga satser om absolutbelopp. Sats 3. Det gäller, att z 2 = z z det vill säga att kvadraten på absoluta beloppet av z är lika med z gånger dess konjugerade värde. Sats 4. Det gäller, att z = z det vill säga att absoluta beloppet av en produkt av två faktorer är lika med faktorernas absoluta belopp. Av denna sats sluter vi också, att för 0 gäller z 3 z = z 3 z = z Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 det vill säga att z = z Övningar Beräkna absolutbeloppet av ( ) i 00 a) 5i+2 b) c) 2 a+ib d) a ib e) i + +i (3i 4)( i) 2+i Triangelolikheten för komplexa tal. Sats 5. Triangelolikheten: Om z och är komplexa tal, är z + z + Lösning av en andragradsekvation med komplexa koefficienter. Vi betraktar först ekvationen = a+ib där a och b är reella. Om vi sätter z = ξ+iη får vi som ger ekvationssystemet ξ 2 η 2 +2iξη = a+ib { ξ 2 η 2 = a 2ξη = b Om vi kvadrerar och adderar dessa ekvationer får vi ξ 4 +η 4 +2ξ 2 η 2 = a 2 +b 2 (ξ 2 +η 2 ) 2 = a 2 +b 2 ξ 2 +η 2 = a 2 +b 2 Detta leder till ξ = ± a 2 +b 2 +a 2 η = ± a 2 +b 2 a 2 där vi måste kombinera tecknen så att vi får rätt tecken i 2ξη = b Övning Bestäm på formen ξ+iη a) 3 4i b) +3i c) d i 2 Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 Låt nu w och w 2 vara två komplexa tal. Andragradsekvationen övergår genom kvadratkomplettering i +2w z+w 2 = 0 och är därigenom återförd på = a+ib. (z+w ) 2 = w 2 w 2 Övning Lös andragradsekvationerna a) +2z+4 = 0 b) +(3+2i)z++3i = 0 c) (+i) +(2 i)z i = 0 Det är omöjligt att definiera en ordning för komplexa tal, så att de vanliga lagarna blir bestående. Ty om relationerna > och < vore definierade för komplexa tal, så att ordningslagarna skulle gälla, skulle till exempel talet i antingen vara > 0 eller < 0. I båda fallen skulle vi kunna sluta oss till = i 2 > 0, som är en motsägelse. Däremot uppträder olikheter av typen z <, men då handlar det ju om vanliga reella tal. Geometrisk representation av de komplexa talen Inledning. Eftersom ett komplext tal a + ib är ett talpar, kan man representera det geometriskt på följande sätt: Betrakta ett vanligt, rätvinkligt koordinatsystem. Vi representerar nu det komplexa talet z = a + ib, a och b reella, med den punkt P i planet, som har koordinaterna (a, b). Det första talet i talparet, realdelen, avsätts på x-axeln som kallas den reella axeln och den andra talet i talparet, imaginärdelen, avsätts på y-axeln som kallas den imaginära axeln. I det följande talar vi omväxlande om talet z och punkten z. Vi skriver också ibland P = z. Man säger, att man representerat de komplexa talen i det komplexa talplanet. Vi skall nu undersöka den geometriska motsvarigheten till de operationer och begrepp vi infört och börjar med Geometrisk tolkning av addition av komplexa tal. Vektorrepresentation av komplexa tal. Låt z = a + ib och = a 2 + ib 2 vara två komplexa tal och P respektive P 2 punkterna med koordinaterna (a,b ) och (a 2,b 2 ). Talet z + = a + a 2 + i(b + b 2 ) motsvarar punkten P med koordinaterna (a +a 2,b +b 2 ). Vi kan nu erhålla punkten P på följande, Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 geometriskt åskådliga sätt: Med utgångspunkt från P ritas en sträcka, som är lika riktad och lika lång som sträckan från 0 till P 2. Dess ändpunkt blir då P. Men vi kan också med utgångspunkt från P 2 rita en sträcka, som är lika riktad och lika lång som OP. Även i detta fall blir ändpunkten P. Vi observerar nu, att figuren visar den från vektoradditionen bekanta parallellogrammen. Vektorn OP är summan av vektorerna OP och OP 2. På grund härav är det också lämpligt att representera de komplexa talen med vektorer på sådant sätt att det komplexa talet a+ib representeras av vektorn OQ, där Q är punkten med koordinaterna (a,b). Ty om talen z och representeras av vektorerna OP och OP 2, så representeras enligt ovan det komplexa talet z l + av vektorn OP = OP + OP 2. Med en vektor menar vi här sammanfattningen av alla lika riktade och lika långa sträckor i planet. Vilken som helst av dessa sträckor representerar vektorn och alltså också ett visst komplext tal. I figuren representeras talet z både av den riktade sträckan från O till P och av den riktade sträckan från P 2 till P. Båda dessa riktade sträckor markeras därför i figuren med z. Ofta kommer emellertid den riktade sträcka, som representerar ett komplext tal z = a + ib att väljas speciellt, nämligen så att begynnelsepunkten är origo. Slutpunkten blir då den punkt, som har koordinaterna (a,b). Om det komplexa talet z representeras av vektorn A A 2, så representeras talet cz av vektorn ca A 2, om c är ett reellt tal. Speciellt representeras talet z av vektorn A 2 A. Geometrisk tolkning av subtraktion av komplexa tal. Låt z och vara två komplexa tal samt P och P 2 motsvarande punkter. Det komplexa talet z = z utgör den entydiga lösningen till ekvationen +z = z. Om vi därför frågar vilken vektor z representeras av, blir svaret den vektor, som skall läggas till OP 2, för att vi skall få OP. Denna vektor är P 2 P, och vi har alltså visat, att talet z representeras av vektorn från punkten P 2 till punkten P. Observera att de punkter P = (a,b) och P = ( a, b), som svarar mot talen z och z, kan sägas ha uppkommit ur varandra genom spegling i punkten 0. Vi kan slutligen även framställa talet z med hjälp av relationen z = z +( ). Geometrisk tolkning av konjugering och absolutbelopp av komplexa tal. Låt z = a + ib vara ett komplext tal och P punkten med koordinaterna (a,b). Det konjugerade talet z = a ib Håkan Strömberg 0 KTH Syd
11 representeras då av punkten P med koordinaterna (a, b), det vill säga den punkt, som erhålles ur P genom spegling i reella axeln. Absolutbeloppet z svarar mot längden av vektorn OP, alltså z = OP = a 2 +b 2 De komplexa tal z, som uppfyller z =, ligger på en cirkel med medelpunkten i origo och radien. Denna cirkel kallas enhetscirkeln. Omvänt gäller för varje punkt z på enhetscirkeln, att z =. Enhetscirkelns ekvation är alltså z = Observera att den geometriska betydelsen av uttrycket z är avståndet mellan de båda punkterna z och. Övningar Tolka geometriskt följande relationer a) z 2 = 3 b) z+i 2 c) 2 z+ i < 4 d) z+3i+ + z+i 3 < e) z = 2 z 2i f) z+ i = z 2+3i +3 Som vi ovan sett är operationerna addition och subtraktion av komplexa tal fullständigt analoga med addition och subtraktion av vektorer i planet. Denna analogi gäller emellertid inte för multiplikation och division, och vi vill uttryckligen varna läsaren för att förväxla produkt av komplexa tal med skalär produkt av vektorer. Vad division beträffar existerar ju denna operation inte för godtyckliga vektorer i planet. Emellertid har både multiplikationen och divisionen av komplexa tal en viktig geometrisk betydelse. Innan vi diskuterar denna, är det dock lämpligt att införa ett nytt skrivsätt för de komplexa talen. De komplexa talen på polär form Håkan Strömberg KTH Syd
12 Framställning av de komplexa talen på formen z = r(cosv+i sinv. Låt z = a+ib vara ett komplext tal och P punkten med koordinaterna (a,b). Längden z av vektorn OP betecknar vi nedan med r. Observera att r 0. Vi har då a = r cosv b = r sinv. Om vi inför detta i z = a+ib, får vi z = r(cosv+i sinv) Vi kallar detta för den polära framställningen av z. Vi skriver också upp de formler, som bestämmer r och v ur z. Det gäller r = a 2 +b 2 = z och om z 0 cosv = a a 2 +b = R z 2 z sinv = b a 2 +b = I z 2 z Ur detta framgår, att om ett komplext tal z 0 är skrivet på polär form, så är talet r entydigt bestämt och v bestämt bortsett från multiplar av 2π. Vi uttalar också detta på följande sätt. Om z = r(cosv+i sinv) = r (cosv +i sinv ) där r,r > 0 och v,v är reella, så gäller att r = r och v = v+2nπ där n är ett heltal. I z = r(cosv + i sinv) är r absolutbeloppet av z. Vilket som helst av talen v + 2nπ kallas argumentet av z och betecknas med argz. Om z = 0 är r = 0, medan v är obestämt. Om z = r(cosv+i sinv) är z = (cosv i sinv) = r(cos( v)+i sin( v)), varför? z = z argz = argz Observera den viktiga relationen cosv+i sinv = cos 2 v+sin 2 v =. Punkten z = cosv + i sinv ligger alltså på enhetscirkeln, och omvänt kan varje punkt på enhetscirkeln framställas i denna form, eftersom för en sådan punkt r = z =. Speciellt har vi = cos0+i sin0 = cosπ+i sinπ i = cos π 2 +i sin π 2 i = cos 3π 2 +i sin 3π 2 Övning Skriv på formen a+ib talet 6 ( cos π 3 +i sin π 3 Geometrisk tolkning av multiplikation av två komplexa tal. Låt z = r (cosv +isinv ) och = r 2 (cosv 2 +i sinv 2 ) vara två komplexa tal. Vi har då z = r r 2 (cosv +i sinv )(cosv 2 +i sinv 2 ) = = r r 2 (cosv cosv 2 sinv sinv 2 +i(sinv cosv 2 + cosv sinv 2 )) ) Håkan Strömberg 2 KTH Syd
13 eller efter utnyttjande av de vanliga trigonometriska formlerna z = r r 2 (cos(v +v 2 )+i sin(v +v 2 )) Från detta får vi den redan tidigare bevisade relationen samt den nya Vi uttrycker också detta i ord z = z arg(z ) = argz + arg Sats 6. Absoluta beloppet av produkten av (två) komplexa tal är lika med produkten av faktorernas absoluta belopp. Argumentet av produkten av (två) komplexa tal är summan av argumenten av faktorerna. Man kan också formulera dessa två formler på följande (osymmetriska) sätt: Att multiplicera talet z med talet innebär, att man skall förstora vektorn z i skalan och därefter vrida den vinkeln arg. Speciellt betyder multiplikation med ett reellt tal a endast förstoring i skalan a om a > 0 och förstoring och omkastning av riktningen om a < 0. Övningar z och är två komplexa tal. Visa att triangeln med hörnen 0,,z är likformig med triangeln med hörnen 0,,z Geometrisk tolkning av division av komplexa tal. Låt z och 0 vara komplexa tal. Vi har redan visat, att z = z Eftersom det gäller, att arg + arg z z2 = arg z z2 = argz finner vi vidare arg z = argz arg Dessa två formler visar, att om z = r (cosv +i sinv ) och = r 2 (cosv 2 +i sinv 2 ), så är I ord kan vi uttrycka detta: z = r r 2 (cos(v v 2 )+i sin(v v 2 ) Sats 7. Absoluta beloppet av kvoten mellan två komplexa tal är lika med kvoten mellan talens absoluta belopp. Argumentet av kvoten mellan två komplexa tal är skillnaden mellan talens argument. Om speciellt z = och = z = r(cosv+i sinv), gäller z = z arg z = argz Håkan Strömberg 3 KTH Syd
14 det vill säga z = r (cos( v)+i sin( v)) = r (cosv sinv) Geometriskt betyder detta, att vi erhåller vektorn z axeln och därefter ändrar dess längd från z till z om vi speglar vektorn z i den reella Övningar Vilket område i det komplexa talplanet definieras av 2 π < arg(z ) 2 Vilket område i det komplexa talplanet definieras av arg 0(z+i) 3(z i) = π 6 Visa att tre olika tal z,,z 3 ligger på en rät linje då och endast då ( ) z I = 0 z 3 z och z 3 z 4 är fyra komplexa tal. Visa att sammanbindningslinjen mellan z och är vinkelrät mot sammanbindningslinjen mellan z 3 och z 4 då och endast då ( ) z R = 0 z 3 z4 z i,i =,2,3,4 är fyra olika punkter på en godtycklig cirkel. Visa att talet är reellt. z z 3 z z 4 : z 3 z 4 de Moivres formel Vi har tidigare visat formeln (cosv +i sinv )(cosv 2 +i sinv 2 ) = cos(v +v 2 )+i sin(v +v 2 ) Genom upprepad användning av formeln finner vi ( n k ( k ) (cosv k +i sinv k ) = cos v k )+i sin v k k= Om vi här sätter alla v k = v får vi k= (cosv+i sinv) n = cosnv+i sinnv där n är ett naturligt tal. Att formeln gäller för godtyckliga heltal n inses på följande sätt: Om z 0, har vi definierat z 0 = och där z k =, där n är ett naturligt tal. Det är då z k omedelbart klart, att formeln gäller för n = 0. Vi får nu för negativa heltal n = m (cosv+i sinv) m = (cosv+i sinv) m = = cos( mv)+i sin( mv) cosmv+i sinmv Vi har därmed bevisat formeln även för negativa heltal n = m och har alltså: k= Håkan Strömberg 4 KTH Syd
15 Sats 8. de Moivres formel Det gäller (cosv+i sinv) n = cosnv+i sinnv för godtyckliga heltal n. Observera speciellt att argz n = n argz Övningar Bestäm ( 3+3i) 8 på formen a+ib Bestäm (i ) på formen a+ib Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............
Läs merMatematik 4 Kap 4 Komplexa tal
Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merComplex numbers. William Sandqvist
Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merKomplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merforts. Kapitel A: Komplexa tal
forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer
TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merden reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella
Läs merFöreläsning 9: Komplexa tal, del 2
ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merVektorgeometri och funktionslära
Vektorgeometri och funktionslära Xantcha 009 Del A: Beräkningsdel Räkningar behöver inte redovisas. Samtliga uppgifter måste vara korrekta om tentamen skall godkännas (möjligen kan något slarvfel tolereras),
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merMöbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs merSidor i boken Figur 1: Sträckor
Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merImz. Rez. Bo E. Sernelius
KKKA 2005 Imz Rez Bo E. Sernelius Kort kurs i komplex analys Förord Den här kursen är avsedd som en kort introduktion till komplex analys för studenter som går på Fysikprogrammet. Avsikten är delvis att
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merKompletteringskompendium
Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell
Läs merLösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merKomplexa tal. Sid 1: Visa att ekvationerna på sid 1 saknar reella lösningar genom att plotta funktionerna.
Komplexa tal Komplexa tal stötte vi på redan i kurs 2 i samband med lösningar till andragradsekvationer. Detta är startpunkten för denna ganska omfattande aktivitet om komplexa tal, som behandlas i kurs
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen
Läs merSeptember 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och
Fö : September 3, 205 Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har i en riktning, och ii en nollskild längd betecknad P Q. Man använder riktade sträckor
Läs merElteknik. Komplexa tal
Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Komplexa tal Revma utbildning KOMPLEXA TAL Komplexa eller imaginära tal kan användas för algebraiska växelströmsberäkningar på samma sätt som i likströmsläran. Den läsare
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs mer1 Tal, mängder och funktioner
1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk
Läs mere 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2
Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs merMULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =
Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.5 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merSommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper
Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag
Hans Thunberg KTH Matematik SF66 Perspektiv på matematik Tentamen 0 oktober 0 kl 08.00.00 Svar och lösningsförslag () Bestäm ekvationen för den cirkel som passerar genom punkten (, 4) och har sin medelpunkt
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 2
Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.6 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 2
Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.
Läs merKomplexa tal med Mathematica
Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den
Läs merDenna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4 Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument Många av de objekt man arbetar med i matematiken och
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merStudiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra
Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra
Läs merVektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson
Vektorgeometri En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 01 Innehåll 1 Inledning Geometriska vektorer.1 Definition av vektorer........................
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs mer! &'! # %&'$# ! # '! &!! #
56 6 MATRISER 6.6. Tillämpningar I exemplen nedan antar vi att {e, e 2 } är en ON-bas i planet och Oe e 2 ett högerorienterat system i detta plan. Exempel 6.39. Antag att u e + e 2 e är en vektor i planet
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merHela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merLinjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.
Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät
Läs merInociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson
Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner i Förord Detta är en inociell lösningsmanual
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merPeanos axiomsystem för de naturliga talen
5B1493, lekt 3, HT06 P1. Det finns ett naturligt tal 0. Peanos axiomsystem för de naturliga talen P2. Varje natutligt tal n har en s.k. efterföljare n +. P3. Om n + = m + så är n = m. P4. Inget naturligt
Läs merLäsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö
Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merTATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter
TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x
Läs merA-del. (Endast svar krävs)
Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Läs merAnalys 2 M0024M, Lp
Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 Lektion 1 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet 4 april 2013 Staffan Lundberg (LTU) Analys 2 M0024M, Lp 4 2013 4 april 2013 1 / 17 Kursinformation m.m. Examinator: Lennart
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs mer