P03. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a 2.

Transkript

1 Kap P. P0. (A) Rita följande kurvor a. = + = c. = [ + ], där [a] betecknar heltalsdelen av talet a d. sgn( ), där sgn(a) betecknar tecknet av talet a. P0. (B) För vilka reella gäller ? P0. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a + b a d P04. (A) a. Summera (A) Vilken är summan av alla tresiffriga tal som slutar på en :a? (A) c. Beräkna produkten a a a a n där n är ett heltal > 0. (B) d. Summera + n + (n ) + (n ) + + (kn k + ) + + (n n + ) P05. (A) Visa, att om en geometrisk serie med kvoten k har a som första och b som sista term, så är seriens summa a bk k. P06. (A) a. Summera (A) Summera ( ) k + + n. (B) c. Förenkla uttrcket ( + ( + ) + ( + ) + + ( + ) n ( ) + ( ) + + ( ) n ).

2 P07. (A) Låt f() = +. Skriv följande funktioner på formen p() q() och q är polnom: a. f() + f( + ) c. f() d. f e. f () f. f() f() g. f f() h. f() f() i. f( + )(f() f( + )) där p P08. (A) a. Skissera kurvan = f() = då 0 0 då > eller < 0 och sedan kurvorna = f() c. = f(/) d. = f( + ) P09. (A) Låt f() = ( + ). Visa att f( + ) + f( ) = f()f(). P0. (A) Bestäm de sammansatta funktionerna f f, g g, f g och g f om f() = och g() =. P. (A) Undersök vilka av följande funktioner som är udda, jämna eller varken udda eller jämna. a. f() = f() = ( ) + ( + ) c. f() = a + a, a > 0 d. f() = ln +, < < e. f() = ln( + + ) f. f() = + P. (A) Vilka av följande funktioner är periodiska? Ange periodlängden i förekommande fall. a. f() = cos( ) + sin( ) f() = sin P. (B) Avgör om funktionen f() = tan tan är periodisk.

3 P4. (B) Bestäm en funktion f(t) för vilken a. f( + ) = +, för alla f = + +, för alla 0 c. f + = +, för alla 0 P5. (C) Avgör om följande funktioner är periodiska: a. f() = sin f() = cos{( + )} cos{( )} P6.(A) Beräkna eakt a. sin π sin 5π 6 + cos 4π + cos 7π 6 5π + tan 5π + tan 6 sin π 4 P7. (A) Skriv nedanstående uttrck som en summa av en eller flera termer av formen a, b cos α, c sin β, där a, b och c är konstanter a. sin sin cos 4 sin 4 c. (sin + cos ) d. sin cos P8. (A) Lös ekvationerna a. sin = sin cos 5 = sin 7 c. tan 5 = tan d. sin = cos P9. (A) Lös ekvationerna a. sin = cos cos = tan + 5 c. sin 4 + cos 4 = d. cos = cos e. 4 cos = cot P0. (B) Lös ekvationerna a. sin cos = sin 5 + cos 5 = P. (B) Det berättas om ett av världens sju underverk arkitekten Sostratos frtorn i Faros utanför Aleandria (79 f. Kr. c:a 00 e. Kr.) att man vid klart väder kunde se c:a 0 km ut till havs. Beräkna frtornets ungefärliga höjd, under förutsättning att ljuset går rätlinjigt.

4 Ledningar till uppgifterna P0 P. P0. a, Observera att kurvorna är sammanhängande och sammansatta av räta linjestcken. "Brtpunkterna" svarar mot de värden för vilka uttrcken inom beloppstecknen är = 0. c. Utgå från kurvan i a. För definition av heltalsdelen [ ], se sid 9. d. För definition av sgn, se sid 8. P0. Skissera först kurvan = P0. Obs att om n är antalet termer, så är b = a + (n )d. Uttrck med hjälp av detta n i a, b och d samt använd formeln för en aritmetisk series summa. P04. Resultatet i föregående uppgift kan med fördel användas. a. Aritmetisk serie med differens, första och sista termerna är resp 0. Aritmetisk serie med differens 0, första och sista termerna är 0 resp 99. c. Använd att a b a c = a b + c. d. Aritmetisk serie med differens n, första termen och sista termerna är resp. n n +. P05. Obs att om n är antalet termer, så är b = ak n. Uttrck med hjälp av detta k n i a, b samt använd formeln för en geometrisk series summa. P06. Resultatet i föregående uppgift kan med fördel användas. a. Geometrisk serie med kvot, första och sista termerna är 9 resp. 0 Geometrisk serie serie med kvot, första och sista termerna är resp. n. c. Uttrcket inom de större parenteserna är summan av två geometriska serier med kvoterna + resp.. 4

5 P08. a. Använd definitionen av absolutbeloppet; man får att 0 då < 0 då 0 f() = då 0 då > Kurvan = f() är en i aelled hoptrckt variant av kurvan = f(). Se principskiss i figuren här bredvid (som dock visar en annan kurva än den i uppg a.) (,f()) = f() (,0) (,0) (,f()) c. Jämför det är istället fråga om en töjning i aelled. d. Kurvan = f( + ) är kurvan = f() förskjuten åt vänster längdenhet. Se principskiss i figuren här bredvid. (,f( + )) = f( + ) (,0) ( +,0) = f() ( +,f( + )) = f() P09. Använd potenslagarna. P0. Jämför E 4 på sid 7. P. a. f. Jämför definition på sid. d. Använd att ln a = ln a e. Använd att ( + + )( + ) = P. Använd att sin t och cos t är periodiska och har periodlängd π. Utnttja i omskrivningen sin = ( cos )/ P. Sätt /6 = t och använd att tan t och tan t enligt additionssatsen för tan-funktionen är av tpen g(tan t), där g är någon funktion. P4. a. Sätt + = t Sätt / = t. Obs att t = t = (sgn t) t. c. Sätt + / = t. Obs att t = + / + 5

6 P5. a. Använd t e att det för en periodisk funktion måste gälla: Om d är avståndet mellan två succesiva nollställen så måste det finnas oändligt många andra par av succesiva nollställen som också ligger på avståndet d ifrån varandra. (Om funktionen nämligen har perioden T och 0 och 0 + d är två succesiva nollställen så är också 0 + nt och 0 + nt + d succesiva nollställen får alla heltal n.). Nollställena till den givna funktionen är nπ, n naturligt tal, och avståndet mellan två succesiva nollställen, (n + )π π nπ =, avtar då n väer. n + + n Beräkna först alla nollställen till funktionen, de är = nπ och = mπ/, där n och m är godtckliga heltal. Visa sedan t e att nollställena = π och = π/ är de enda som ligger på avståndet d = ( / )π ifrån varandra. (Funktionen kan då inte vara periodisk om nämligen T 0 vore dess periodlängd så skulle talen + T och + T vara två andra nollställen som också skulle ligga på avståndet d ifrån varandra). För att visa detta, verifiera att om två andra nollställen i och j skulle ligga på avståndet d ifrån varandra så skulle vara ett rationellt tal (dvs = kvoten mellan två heltal). P6. a. Använd definitionerna av de trigonometriska funktionerna och förhållandena mellan sidorna i en triangel. Använd att π 4 = 4 π 6, att α sin = cos α, att cos α = + cos α och att cos π/6 kan beräknas eakt. P7. a. Använd att sin a sin b = (cos(a b) cos(a + b))/. Använd konjugatregeln, trigonometriska ettan och att cos sin = cos. c. Använd trigonometriska ettan och att cos sin = sin. d. Använd t e att sin a = ( cos a)/, cos a = ( + cos a)/ och att cos a cos b = (cos(a b) + cos(a + b))/. P8. a. sin a = sin b a = b + nπ a = π b + nπ, n heltal cos a = sin(π/ a) och sambandet i ledningen till a. c. tan a = tan b a = b + nπ, n heltal. Obs att tan nπ/ är odefinierat för udda n. d. sambanden i ledningarna till a. och till 6

7 P9. a. Dividera med cos. cos = + tan c. Använd trigonometriska ettan för att uttrcka cos 4 som en funktion av sin, sätt sedan sin = t. d. cos = cos, sätt sedan cos = t. e. cot = cos sin P0. Skriv om vänsterleden på formen A sin( α) resp. A sin(5 α). Alternativ i a.: Uttrck sin och cos i tan. P. Visa, genom att använda Pthagoras sats, att om R är jordradien, h frtornets höjd över havet och s den distans ut till havs varifrån frtornet kunde ses, så gället att s Rh. Jordens omkrets är mil. 7

8 Svar till uppgifterna P0 P. P0. a. = = = = = = = c. = / = d. P P04. a n(n + ) c. a (n + )(n d. n + ) = n + n + P06. a. 7 P0 4 c. ( + ) n ( ) n n + + 8

9 P07. a. + d. + e. g. + + h c. f. i. + ( + ) P08. a. c. 0.5 d. 4 P0. f f() = 4, g g() =, f g() =, g f() = P. a, d och e är udda; b och c är jämna; f är varken udda eller jämn. P. Funktionerna är periodiska. Periodlängden är π i a. och π i P. Funktionen är periodisk. (Periodlängd 6π.) P4. a. f(t) = t 5t + 6 f(t) = ( + (sgn t) + t )/t c. t P5. Funktionerna är inte periodiska. P6. a

10 P7. a. cos cos 5 cos c. + sin d. 4 4 cos + 4 cos 8 cos ( ) cos ( +) 8 P8. a. = nπ eller = (n + )π/, n godtckligt heltal. = π/4 + nπ eller = (4n + )π/p04, n godtckligt heltal. c. = nπ, n godtckligt heltal. d. = (4n + )π/8 eller = (4n )π/4, n godtckligt heltal. P9. a. = π/ + nπ, n godtckligt heltal. = arctan 4 + nπ eller = π/4 + nπ, n godtckligt heltal. c. = nπ/, n godtckligt heltal. d. = ± arccos nπ, n godtckligt heltal. e. = π/ + nπ, = π/ + nπ eller = 5π/ + nπ, n godtckligt heltal. P0. a. = π/4 + nπ eller = π/4 + arcsin / 5 + nπ (= arctan + nπ), där n är ett godtckligt heltal. = π/60 + nπ/5 eller = π/ + nπ/5, n godtckligt heltal. P. C:a 70 m 0