MA2047 Algebra och diskret matematik

Transkript

1 MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner Mikael Hindgren 7 oktober 08

2 Enhetscirkeln Definition (Vinkelmåttet radianer) l.e. Den vinkel som motsvarar en båge med längden l.e. i enhetscirkeln är radian. radian Normalt anges ingen enhet om vinkeln anges i radianer. Vridning moturs motsvarar positiv vinkel. varv i e.c. vinkeln π radianer. Definition (Trigonometriska funktioner) I enhetscirkeln: P = (, ) sin v = v cos v = tan v = sin v cos v, cot v = cos v sin v = tan v, v π + nπ v nπ Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner / 4

3 Rätvinkliga trianglar v c a b De båda trianglarna är likformiga: b c = = sin v a c = = cos v b a = = sin cos = tan v Trigonometriska samband i rätvinkliga trianglar motstående katet sin v = hpotenusan närliggande katet cos v = hpotenusan motstående katet tan v = närliggande katet Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 3 / 4

4 Viktiga vinklar Eempel Bestäm sin v, cos v och tan v då v = π respektive v = π. 3 6 Lösning: sin π = = 3 ( ) = 3 cos π 3 = = π 3 π 6 = sin π 6 = = cos π 6 = = 3 tan π 3 = sin π 3 cos π 3 tan π 6 = sin π 6 cos π 6 = 3 = 3 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 4 / 4

5 Viktiga vinklar Eempel Bestäm sin v, cos v och tan v då v = π 4. Lösning: π 4 Pthagoras sats: + = = sin π 4 = = cos π 4 = = tan π 4 = sin π 4 cos π 4 = Viktiga vinklar! v sin v cos v π π 4 60 π π 0 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 5 / 4

6 Smmetriegenskaper och samband Smmetriegenskaper sin(π v) = sin v π v v v cos(π v) = cos v sin( v) = sin v (udda funktion) cos( v) = cos v (jämn funktion) sin( π ± v) = cos v cos( π ± v) = sin v v Pthagoras sats + = Trigonometriska ettan cos v + sin v = Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 6 / 4

7 De periodiska funktionerna sin, cos och tan sin cos cos = cos( +n π) Period T = π sin = sin( + n π) Period T = π 3 tan 3 tan = tan( + n π) Period T = π Anm: = tan har lodräta asmptoter = (n + ) π Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 7 / 4

8 Additions och subtraktionssatserna Sats För alla vinklar u och v gäller: sin(u + v) = sin u cos v + sin v cos u sin(u v) = sin u cos v sin v cos u 3 cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v 4 cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v Eempel 3 cos π = cos( π 3 π 4 ) = cos π (.4) 3 cos π 4 +sin π 3 sin π 4 = + u = v i () och (3) ger: Sats (Formler för dubbla vinkeln) sin v = sin v cos v cos v = cos v sin v = cos v = sin v 3 = 3 + Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 8 / 4

9 Trigonometriska ekvationer Eempel 4 Lös ekvationen sin = 3 Lösning: = π 3 + n π eller = π π 3 + n π = π 3 + n π Eempel 5 Lös ekvationen cos = sin Lösning: cos = sin = sin sin = sin (.) ( sin sin ) = 0 sin = 0 = n π eller sin = = π + n π eller = 5π n π Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 9 / 4

10 Trigonometriska ekvationer Eempel 6 Lös ekvationen cos = Lösning: = π 4 + n π eller = π 4 + n π Eempel 7 Lös ekvationen sin cos = Lösning: sin = cos och t = cos ger ( t ) t = 0 t + t = 0 t = eller t = t = cos = = π + n π eller t = cos = = ± π + n π 3 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 0 / 4

11 Trigonometriska ekvationer Eempel 8 Lös ekvationen cos 5 = cos 3 Lösning: cos 5 = cos 3 5 = ±3 + n π = n π = n π eller 8 = n π = n π 4 = n π 4 Eempel 9 Lös ekvationen sin = cos 3 Lösning: ( π ) sin = cos = cos 3 π = ±3 + n π = π 8 + n π 4 eller = π 4 + nπ Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner / 4

12 Hjälpvinkelmetoden Eempel 0 Lös ekvationen sin + 3 cos = Allmänt: Vi vill lösa ekvationer av tpen a sin k + b cos k = c Kan vi använda additionssatsen för sin (Sats.): sin(k + ϕ) = cos ϕ sin k + sin ϕ cos k? Fungerar endast om punkten (a, b) ligger på e.c. dvs om a = cos ϕ och b = sin ϕ a + b =. Vad gör vi om det inte gäller? Brt ut a + b : a sin k + b cos k = ( ) a b a + b sin k + a + b a + b cos k = A(a sin k + b cos k) a + b = vi kan hitta en hjälpvinkel ϕ sådan att cos ϕ = a = a b sin ϕ = b = a + b a + b Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner / 4

13 Hjälpvinkelmetoden Sammanfattning: Varje funktion av tpen f () = a sin k + b cos k kan skrivas på formen f () = A sin(k + ϕ) där amplituden A = a + b Eempel 0 (forts) sin + 3 cos = sin cos 3 ( ) 3 = sin + cos = (cos ϕ sin + sin ϕ cos ) cos ϕ = 3, sin ϕ = vi kan välja ϕ = π 3 sin + ( 3 cos = sin + π ) ( = sin + π ) = π 3 = π 6 + n π eller + π 3 = 5π 6 + n π = π 6 + n π eller = π + n π Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 3 / 4

14 Hjälpvinkelmetoden Eempel Lös ekvationen sin cos = Lösning: Hjälpvinkelmetoden med A = + ( ) = : sin cos = ( ) sin + cos = (cos ϕ sin + sin ϕ cos ) { cos ϕ = vi kan välja ϕ = π sin ϕ = 4 sin cos = ( sin π ) ( = sin π ) = 4 4 π 4 = π 4 + n π eller π 4 = 3π 4 + n π = π 4 + n π eller = π + n π Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 4 / 4

15 Inversa trigonometriska funktioner Studera funktionen f () = sin : sin f () är periodisk f () = f ( + π) = f ( + 4π) =... f ( ) f ( ) f () är inte inverterbar. Motsvarande gäller för cos, tan och cot. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 5 / 4

16 Inversa trigonometriska funktioner Studera istället funktionen f () = sin, π π : sin, f () är strängt väande f () är inverterbar och har en invers. Det finns intervall där även cos, tan och cot är strängt monotona och har invers. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 6 / 4

17 Inversa trigonometriska funktioner Definition 3 Inverserna till de trigonometriska funktionerna kallas arcusfunktioner och definieras genom: = sin, π π, = arcsin = cos, 0 π, = tan, π < < π, = cot, 0 < < π, = arccos = arctan = arccot f () D f V f arcsin [, ] [ π ] π arccos [, ] [0, π] ( arctan R π ) π arccot R (0, π) Minnesregel: arcsin = Den vinkel mellan π och π vars sinusvärde är Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 7 / 4

18 Inversa trigonometriska funktioner = arcsin arcsin sin Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 8 / 4

19 Inversa trigonometriska funktioner = arccos arccos cos Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 9 / 4

20 Inversa trigonometriska funktioner = arctan tan arctan 3 3 arctan ± π då ± kurvan = arctan har de vågräta asmptoterna = ± π då ± Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 0 / 4

21 Inversa trigonometriska funktioner = arccot cot 3 arccot 3 3 arccot 0 resp π då resp kurvan = arccot har de vågräta asmptoterna = 0 då och = π då Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner / 4

22 Inversa trigonometriska funktioner Eempel arcsin = {Den vinkel mellan π och π som ger sinusvärdet } = π 6 arccos 3 = {Den vinkel mellan 0 och π som ger cosinusvärdet 3 } = 5π 6 Anm: Allmänt: sin(arcsin ) = arcsin(sin π ) = π arcsin(sin π 3 ) = π 3! sin(arcsin ) = för alla [, ] arcsin(sin ) = endast om π π! Motsvarande gäller för övriga arcusfunktioner. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner / 4

23 Inversa trigonometriska funktioner Eempel 3 Lös ekvationerna arctan = π och arccot = π 4 4 Lösning: arctan = π = tan π = 4 4 arccot = π saknar lösning eftersom 0 < arccot < π! 4 arccot 3 3 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 3 / 4

24 Hperboliska funktioner Definition 4 Cosinus-, sinus-, tangens- och cotangens-hperbolikus definieras enligt: cosh = e + e sinh = e e tanh = sinh cosh coth = tanh cosh sinh De hperboliska funktioner har vissa egenskaper som liknar de trigonometriska, t.e. hperboliska ettan : cosh sinh = ( ) e + e ( ) e e = 4 (e + + e (e + e )) = Akademin för Informationsteknologi - ITE MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner 4 / 4