JONAS SJUNNESSON MARTIN HOLMSTRÖM EVA SMEDHAMRE

Transkript

1 JONAS SJUNNESSON MARTIN HOLMSTRÖM EVA SMEDHAMRE

2 R Detta är ett särtrck ur ISBN Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och laout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan Repro: Eakta, Malmö Trck: Egpten 0 BILDFÖRTECKNING Omslagsfoto: Matton Images Janos Jurka/Naturfotograferna/IBL 9 Denn Lorentzen/Scanpi, 8,, 5 Shutterstock 8 Berit Roald/Scanpi 6, 6 Shutterstock Kopieringsförbud Detta verk skddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.e. kommuner/universitet. Den som brter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 98 Stockholm kundservice tfn , fa e-post: kundservice.liber@liber.se

3 Januari 0 Hej! Det här särtrcket innehåller första kapitlet i boken Matematik M4 som utkommer i juli 0. Boken i sin helhet består av fra kapitel. Vi föreslår att kursens totala timtal fördelas på ungefär följande sätt: Trigonometri 0 % Derivator 0 % Integraler 0 % 4 Komplea tal 0 % I planeringen ovan ingår tid för repetition och prov. Lcka till med kursen! Författarna

4 Mål i det här kapitlet får du lära dig härleda trigonometriska samband med hjälp av enhetscirkeln använda trigonometriska formler algebraiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer Grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer egenskaper hos trigonometriska funktioner använda trigonometriska funktioner i tillämpade sammanhang lösa problem med hjälp av trigonometri Undersöka matematiska samband med digitala hjälpmedel hantera trigonometriska uttrck Genomföra bevis

5 KApiTeL trigonometri periodiska förlopp I tidigare kurser har vi använt trigonometri för att beräkna vinklar och sträckor i geometriska figurer. Här ska vi utvidga trigonometrin och möta na tillämpningsområden. Formler och lagar som du får lära dig i det här kapitlet kan användas i t e ellära, optik och akustik. Många händelser i naturen återkommer med bestämda mellanrum, man säger att de är periodiska. eempel: I en ljudvåg varierar lufttrcket periodiskt. Dagens längd varierar under året. I en väggkontakt varierar den elektriska spänningen. Solfläcksaktiviteten varierar periodiskt och når maimal intensitet vart elfte år. Listan kan göras lång. Periodiska händelser kan ofta beskrivas matematiskt med hjälp av trigonometriska funktioner. Låt oss titta på tidvattnet som är ett periodiskt förlopp. Två gånger per dgn är det högvatten (flod) och två gånger är det lågvatten (ebb). Det är gravitationen mellan jorden och månen som ger upphov till tidvattnet. T.v. och ovan: Bilderna visar samma plats vid ebb (lågvatten) och vid flod (högvatten). Vattendjupet i t e en hamnbassäng ändras periodiskt och kan beskrivas med en trigonometrisk funktion. Om vattendjupet är h m efter t timmar får vi sambandet t ht () =,5+ sin 6 Längst ner på sidan ser du grafen till funktionen. Genom att matematiskt beskriva detta naturfenomen kan vi svara på frågor som: När är djupet mer än m? Hur länge är hamnbassängen tom? Kapitlet ger dig kunskaper så att du kan analsera den här och liknande funktioner. meter h h(t) =,5 + sin t enhetscirkel trigonometriska ettan amplitud period cosinuskurva sinuskurva tangenskurva additionsformlerna subtraktionsformlerna dubbla vinkeln radian båge BEGrEPP cirkelsektor t timmar trigonometri

6 KApiTeL. graferna TiLL = sin och = cos enhetscirkeln och några samband v b a Låt oss titta på en rätvinklig triangel med hpotenusan. Definitionen på sinus och cosinus ger a sinv = = a b cosv = = b slutsats: I en rätvinklig triangel med hpotenusan =, gäller att motstående katet = sin v närliggande katet = cos v Titta nu på den rätvinkliga triangeln i enhetscirkeln. Eftersom hpotenusan =, är alltså kateterna sin v och cos v. (, ) v cos v sin v! definition: En enhetscirkel har radien och medelpunkt i origo. cos v = -koordinaten där radien för vinkeln v skär enhetscirkeln sin v = -koordinaten där radien för vinkeln v skär enhetscirkeln sinv tanv = = cosv Vinkeln v mäts från den positiva -aeln. Du kommer väl ihåg hur koordinatsstemets fra kvadranter numreras. 4 Se bilden. 4. Graferna till = sin och =cos

7 KApiTeL Titta på enhetscirkeln igen. Pthagoras sats ger följande samband: (sin v) + (cos v) = Detta kallas trigonometriska ettan. Uttrcket (sin v) kan också skrivas sin v, och utläses sin-kvadrat-v.! sats: Trigonometriska ettan sin v + cos v = Sedan tidigare vet vi att sin 0 och sin 50 har samma värde. 80 v Se enhetscirkeln till höger som visar att sin(80 v) = sin v cos(80 v) = cos v cos(80 v) v cos(v) Från den här bilden kan vi se att cos ( v) = cos v sin ( v) = sin v sinv sinv E ft e r s o m tanv = cosv får vi att v v tan (80 v) = tan v sin( v) tan ( v) = ( tan v)! sin (80 v) = sin v cos (80 v) = cos v tan (80 v) = tan v sin ( v) = sin v cos ( v) = cos v tan ( v) = tan v trigonometri 5

8 KApiTeL Vad händer med sin v och cos v om vi lägger till 60 till vinkeln v? Att addera 60 innebär att radien får rotera tterligare ett varv. Detta medför att sin (60 + v ) = sin v och att cos (60 + v) = cos v Man säger att perioden för sinus och cosinus är 60. Vi får t e att sin 0 = sin ( ) = sin 90 Låt oss nu undersöka vad som händer om vi lägger till 80 till vinkeln v? Bilden visar att sin v = b och sin (v + 80 ) = b cos v = a och cos (v + 80 ) = a ( a, b) v + 80 v (a, b) För tan (v + 80 ) gäller alltså ( v + ) ( v ) ( v sin 80 + ) = + = b a = b tan 80 a = tanv cos 80! sin (v + 80 ) = sin v cos (v + 80 ) = cos v tan (v + 80 ) = tan v Att tan (v + 80 ) = tan v betder att tangens har perioden 80. Om vi adderar en period, dvs 80 för tangens, får vi alltså samma värde som tan v. Detta innebär t e att tan 5 = tan 85 = tan 65! P E R I O D sin v = sin (v + n 60 ) där n är ett heltal 60 cos v = cos (v + n 60 ) där n är ett heltal 60 tan v = tan (v + n 80 ) där n är ett heltal Graferna till = sin och =cos

9 KApiTeL EXEMPEL För en vinkel v gäller att 90 < v < 80 och sin v = 0,6. Bestäm cos v utan att använda räknare. Vi söker alltså -koordinaten i enhetscirkeln för den punkt som har = 0,6 och ligger i andra kvadranten (eftersom 90 < v < 80 ). Trigonometriska ettan ger (cos v) + (sin v) = cos v + 0,6 = cos v = 0,6 cos v = 0,64 cosv =± 0,64 =± 0,8 (, 0,6) v Här gäller endast den negativa lösningen, eftersom vi vet att koordinaten finns i andra kvadranten. svar: cos v = 0,8 EXEMPEL Antag att du vet att sin5 0,57, cos 5 0,8 och tan 5 0,70. Bestäm följande utan att använda räknare. a) cos 755 = cos ( ) = cos 5 0,8 Vi subtraherar perioder. b) tan ( 45 ) = tan ( ) = tan 5 0,70 Vi adderar en period. c) sin ( 95 ) = sin ( ) = sin ( 5 ) 0,57 EXEMPEL Bestäm det eakta värdet för tan 480 om du vet att tan60 = Vi subtraherar perioder och får = 60 tan 480 = tan ( 60 ) = tan 60 = svar: tan 480 = trigonometri 7

10 KAPITEL 0 Använd enhetscirkeln och bestäm. a) cos 90 b) sin 90 c) cos 80 d) sin 80 e) cos 70 f) sin 70 0 a) Du vet att sin 0 = 0,5. Ange tter ligare en vinkel som har sinusvärdet 0,5. b) Utgå från cos 60 = 0,5 och bestäm tterligare en vinkel som har cosinus värdet 0,5. 07 Avgör, utan att använda räknare, vilka av följande likheter som är rätt. Motivera. a) sin 40 = sin ( 40 ) b) cos 40 = cos ( 40 ) c) sin 580 = sin 40 d) tan 40 = tan Bestäm med hjälp av figuren sin v och tan v. 5 0 Bestäm följande trigonometriska värden med hjälp av figuren. (0,9; 0,7) 09 a) Använd trigonometriska ettan och bestäm det eakta värdet av sin v om cos v = / 0. b) Bestäm tan v när du vet att cos v = 5 / och vinkeln v ligger i första kvadranten. 4 v a) sin b) cos c) sin 0 d) sin 8 e) cos ( ) f) cos Bestäm följande utan räknare. a) sin 750 då sin 0 = 0,5 b) tan 0 då du vet att tan 00 0,6 c) sin 40 då du vet att sin 0 0,4 05 En vinkel v finns i :a kvadranten. Bestäm med hjälp av trigonometriska ettan värdet av cos v då sin v = 5 /. 06 Använd trigonometriska ettan och att sin 0 = 0,5 när du bestämmer följande. a) (sin 60 ) + (cos 60 ) b) (sin 0 ) 0 Rita en enhetscirkel och förklara sambanden cos (80 v) = cos v och sin (80 v) = sin v. I enhetscirkeln har punkten P koordinaterna (a, b). v P (a, b) Bestäm med hjälp av figuren a) sin v b) sin (80 v) c) cos v d) cos ( v) 8. Graferna till = sin och =cos

11 KApiTeL Lös denna NP-uppgift utan räknare. Ordna följande tal i storleksordning: a = sin 4, b = cos 00 och c = sin 65. Motivera ditt svar. (Np Ma D 005) Beskriv de tre uttrcken cos, (cos ) och cos cos. Är det något av uttrcken som betder samma som cos? 5 I den spetsvinkliga triangeln ABC är sin A = 0,6. a) Bestäm värdet av sin (B + C) b) Bestäm värdet av cos (B + C) (Np Ma D Vt 0) A B C 4 Punkten P har koordinaterna (a, b). T 6 Ge eempel på två vinklar v, för vilka sinv definitionen tanv = inte gäller. cosv P (a, b) v R S a) Bestäm koordinaterna för punkterna T, R och S i bilden. b) Använd resultatet i a för att visa sambandet sin v = cos (v + 70 ) och cos v = sin (v + 70 ). TAnKenöT En elev ska göra en koksaltlösning med koncentrationen 5,0 % och löser därför 5 g salt i 00 g vatten. Som tur var, så upptäcktes att detta blev fel. Hur mcket tterligare salt ska tillsättas för att lösningen ska bli 5,0-procentig? trigonometri 9

12 KApiTeL sinuskurvor Vi börjar med ett praktiskt eempel. Bilden visar lilla Marja som åker pariserhjul. D Antag att pariserhjulet har radien 5 meter och att hjulets medelpunkt är på samma höjd som trädets topp. E När Marja är allra högst upp, är hon alltså 5 meter över trädtoppen. När Marja är nere på marken igen, så är hon 5 meter under trädtoppen. Vi kallar Marjas höjd över trädtoppen för. Höjden kan alltså variera mellan +5 m och 5 m. Höjden beror på radiens vinkel mot horisontalplanet, se bilden. Vi säger att höjden är en funktion av vinkeln. I nästa bild har vi ritat en graf som visar hur Marjas höjd över trädtoppen beror av vinkeln. Grafen kallas sinus-kurva. Punkterna A F på grafen motsvarar de punkter som är markerade på pariserhjulet. Titta nu på den blå triangeln i pariserhjulet. Här ser vi att sin = dvs = 5 sin. 5 C 5 5 F 5 B A meter 5 B C D A E F 0. Graferna till = sin och =cos

13 KApiTeL sin , , , , , , ,87 0 0, Låt oss nu rita grafen till = sin för 0 60 Vi beräknar = sin för några olika vinklar. Se värdetabellen. 0,5 0, Om vi inte har något begränsat intervall för vinkeln, får vi grafen nedan. en period = sin A A Lägg märke till att kurvan börjar om igen, dvs den upprepar sitt förlopp efter 60. För lilla Marja betder det att pariserhjulet snurrar mer än varv! En funktion som upprepar sitt förlopp kallas en periodisk funktion. Med en period menar vi avståndet i -led för ett helt förlopp. Här är perioden = 60. Funktionsvärdet varierar mellan och. Amplituden är grafens största avstånd från nollnivån. Grafen = sin har amplituden, och för pariserhjulet är amplituden 5.! = sin har amplituden och perioden 60 trigonometri

14 KApiTeL EXEMPEL a) = sin Låt oss nu titta på graferna till = sin och = sin. Graferna skiljer sig åt genom att -värdet är gånger större för sin. Se tabellen och graferna sin sin Observera att = sin betder sin = sin har amplituden och perioden 60. = sin = sin b) = sin Bilden visar graferna till = sin och = sin sin 0 sin 0 = 0 = 0 0 sin 0 = 0,5 =,5 60 sin 60 0,87,6 90 sin 90 = = 0 sin 0 0,87,6 = sin = sin = 0 = sin har amplituden och perioden 0. Perioden för sin beräknas med divisionen 60 = 0. Graferna till = sin och =cos

15 KApiTeL c) = sin Bilden visar graferna till = sin och = sin = sin = sin Funktionen = sin har amplituden och perioden 080. Perioden beräknas med divisionen 60 = 60 = 080! Funktionen = A sin k har amplituden A och perioden 60 k EXEMPEL Bilden visar grafen till funktionen = + sin. Observera att grafen har lfts upp två enheter från -aeln. + sin 0 + sin 0 = + 0 = sin 0 = + 0,5 =, sin ,87, sin 90 = + = A = + sin = + sin har amplituden och perioden 60. Funktionens största värde är och minsta värdet är. trigonometri

16 KApiTeL EXEMPEL Bilden visar graferna till = sin ( + 0 ) och = sin sin ( + ) 0 sin (0 + 0 ) = sin 0 = 0,5 0 sin (0 + 0 ) = sin 60 0,8 60 sin ( ) = sin 90 = = sin( + 0 ) 80 = sin Lägg märke till att grafen till = sin ( + 0 ) har förskjutits 0 åt vänster i förhållande till = sin. EXEMPEL 4 Bilden visar graferna till = sin ( 0 ) och = sin Kurvan = sin ( 0 ) har förskjutits 0 åt höger i förhållande till kurvan = sin. = sin = sin( 0 ) EXEMPEL 5 Ange amplitud, period och förskjutning för funktionen = sin ( + 60 ). Funktionen kan skrivas = sin ( + 0 ) 60 svar: Amplitud = Period = = 0 Kurvan är förskjuten 0 åt vänster jämfört med sin. 4. Graferna till = sin och =cos

17 KApiTeL EXEMPEL 6 Bestäm grafens ekvation på formen = Asin k( + v) + C ma A mittlinje min Största värdet = 4 Minsta värdet = Amplituden A är halva differensen mellan största och minsta värdet. A = ma min 4 = ( ) = Mittlinjen C ligger mitt emellan största och minsta värdet. C = ma + min 4 = + ( ) = Period = 80 ger k = Förskjutning 0 åt höger ger v = 0 svar: = sin ( 0 ) + EXEMPEL 7 Rita med räknare graferna till f() = sin och g() = sin. Jämför graferna. Vi ställer in grafritaren på grader (DEG) och ritar t e i intervallet 0 < < 60. Graferna ritas för < < som bilden visar. svar: Grafen till g() = sin är spegelvänd i -aeln jämfört med grafen till f() = sin 60 = sin = sin( ) 60 trigonometri 5

18 KAPITEL Ange amplitud och period till följande funktioner. 7 a) = 5 sin b) = sin 4 c) = + sin 5 8 a) = 4sin b) = sin 4 c) =,5+ 0,5sin 5 Ange det största och minsta värde som följande funktioner kan anta. a) = sin b) = sin 4 + c) = sin 6 Ange ekvationen för sinuskurvan i bilden. 9 Rita graferna till följande funktioner. Använd gärna grafritare. a) = sin b) = 4 sin c) = + sin Ange hur följande grafer är förskjutna i förhållande till motsvarande grundfunktion. 0 a) = sin ( + 0 ) b) = sin ( 50 ) a) = sin ( + 45 ) b) = sin ( 60 ) Ange amplitud, period och förskjutning. a) = sin ( 50 ) b) = 4sin ( + 0 ) a) = +,5sin (5 60 ) b) = sin ( + 0 ) 4 Funktionerna i bilden kan skrivas på formen = A sin k. Bestäm konstanterna A och k. b a Ange ekvationen för följande sinusfunktioner på formen = A sin k( + v) a) Amplitud = Period = 80 Förskjutning = 0 b) Amplitud = 5 Period = 80 Förskjutning 0 åt höger c) Amplitud = Period = 70 Förskjutning 40 åt vänster 8 Bestäm ekvationen för följande sinuskurvor. a) Graferna till = sin och =cos

19 KApiTeL b) Bestäm grafens ekvation på formen = A sin (k + v) + C c) 60 9 En sinusfunktion har största värdet = 5 och minsta värdet =. Perioden är 90º. Ge eempel på ett funktionsuttrck som uppfller dessa villkor. 0 Rita graferna till f() = sin och g() = + sin. Jämför graferna och beskriv skillnader och likheter. Förklara! Bestäm de positiva konstanterna b och k för = b sin k + 4 så att perioden blir 70 och minsta värdet blir. Skissa grafen till funktionen = sin ( + 60 ) + på rutat papper. Rita sedan grafen med räknare som kontroll. 4 Graferna till = A sin k och = A sin (k + v) har samma period, men ligger inte i fas. Förklara hur mcket = A sin (k + v) är förskjuten jämfört med = A sin k? 5 Bestäm den positiva konstanten A i funktionen f() = 5 + A sin så att funktionens största värde blir dubbelt så stort som dess minsta värde. (Np Ma Vt 999) 6 Simon försöker i ord beskriva en trigonometrisk funktion (). Kurvans största värde är 5 och minsta värdet är. Kurvan hinner med hela svängningar på 80. Jag vet också att (60 ) =. Ge eempel på en sinusfunktion enligt Simons beskrivning. TAnKenöT Lös ekvationssstemet = = 4z + + z = trigonometri 7

20 KAPITEL DIGITALA RUTAN Trigonometriska funktioner Här ska du använda räknare och undersöka grafen till en trigonometrisk funktion av tpen = A sin k( + v) + C. Du ska alltså ta reda på hur konstanterna A, k, v och C påverkar grafen. Kontrollera att räknaren är inställd på grader! Bilden visar grafen till = sin =sin() = = Kurvan gör en hel svängning på 60, vilket innebär att perioden är 60. Kurvans -värden varierar mellan och, kurvans amplitud är. Rita = A sin för några olika värden på konstanten A. Formulera en slutsats om hur konstanten A påverkar grafens form. Rita = sin + C för olika värden på konstanten C. Formulera en slutsats om hur konstanten C påverkar grafen. Rita = sin k för k =, k =,, 4 och 5. Gör en tabell där du fller i dina värden enligt nedan. Hur påverkar konstanten k perioden? k 4 5 period 60 Rita i samma koordinatsstem = sin och = sin ( + 40 ). Rita sedan = sin och = sin ( 40 ). Skissa grafen till = sin + på rutat papper. Kontrollera sedan med räknare. Skissa grafen till = sin ( 60 ) + på rutat papper. Kontrollera med räknaren. Rita och jämför graferna till = sin och = cos 8. Graferna till = sin och =cos

21 KApiTeL Cosinuskurvor = sin = cos 70 I bilden finns graferna till = sin och = cos. Vi ser att graferna har samma form. Grafen till = cos får vi genom att förskjuta funktionsgrafen = sin åt vänster 90. EXEMPEL Bilden visar graferna till = cos ( + 0 ) och = cos cos ( + 0 ) 0 cos (0 + 0 ) = cos 0 0,87 0 cos (0 + 0 ) = cos 60 = 0,5 60 cos ( ) = cos 90 = 0 = cos = cos( + 0 ) Lägg märke till att kurvan = cos ( + 0 ) har förskjutits 0 åt vänster i förhållande till kurvan = cos. EXEMPEL Ange amplitud, period och förskjutning för = + cos( 0 ). Funktionen kan skrivas = + cos 0,5 ( 40 ) Amplitud = Observera att ettan endast lfter upp grafen en enhet. 60 Period = = 70 0,5 Kurvan är förskjuten 40 åt höger i förhållande till = cos 0,5 trigonometri 9

22 KApiTeL EXEMPEL Bestäm ekvationen för grafen i bilden, både som en sinus-funktion och en cosinus-funktion Sinus-funktion Cosinus-funktion Amplitud = Amplitud = Period = 60 Period = 60 Förskjutning = 0 åt vänster Förskjutning = 60 åt höger Dessutom har kurvan lfts Kurvan har lfts upp enheter upp enheter svar: = + sin ( + 0 ) eller = + cos ( 60 ) 7 Rita i samma koordinatsstem graferna till = cos och = cos 8 Ange perioden till följande funktioner. a) = cos b) = cos c) = cos 9 Ange det största och minsta värde som följande funktioner kan anta. a) = cos b) = 4 cos c) = cos5 40 Ange ekvationerna för följande cosinusfunktioner. a) Amplitud = Period = 60 Förskjutning 0 åt höger b) Amplitud = Period = 80 Förskjutning 40 åt höger c) Amplitud = 4 Period = 70 Förskjutning 0 åt vänster 0. Graferna till = sin och =cos

23 KApiTeL 4 Skriv grafen både som sinusfunktion och cosinusfunktion. a) b) Teckna funktionsuttrck för de två graferna nedan. 4 a b 4 Visa hur du bestämmer konstanterna b och k i funktionen = + b cos k så att perioden blir 90 och minsta värdet blir. 44 Vilken funktion är ritad i bilden? Teckna funktionsutttrcket både som = A sin (k + v) + B och som = A cos (k + v) + B Förklara hur du tänker. 45 Grafen till = A cos + B skär -aeln i = och antar sitt största värde = 6 för = 80. Bestäm funktionsvärdet då = 40. TAnKenöT Två cklister åker varandra till mötes. De startar km från varandra och klockan är då. En av cklisterna håller farten 45 km/h medan den andres hastighet är 6 km/h. Hur långt ifrån varandra är cklisterna 0 minuter innan de möts? trigonometri

24 KApiTeL. grafer och ekvationer Trigonometriska ekvationer ekvationen sin = a Att ekvationen sin = 0,5 har två svar känner vi till sedan tidigare. Räknaren ger oss den första roten, nämligen vinkeln = 0. Med hjälp av enhetscirkeln, se bilden, får vi den andra roten. = 80 0 = 50 = 0 Låt oss nu lösa ekvationen sin = 0,5 grafiskt. Vi ritar därför kurvan = sin och linjen = 0,5 i samma koordinatsstem. Därefter avläser vi skärningspunkternas -koordinater. Från bilden nedan ser vi att graferna skär varandra i fler än två punkter! Kurvan och linjen skär faktiskt varandra i oändligt många punkter. Alla dessa punkters -koordinater är rötter till ekvationen sin = 0, = sin = 0, På bilden ser vi att ekvationen har rötterna 0, 0, 0, 50, 90, 50 Hur kan vi beräkna alla dessa rötter?. Grafer och ekvationer

25 KApiTeL Åter till enhetscirkeln! Om vi vrider radien i enhetscirkeln ett helt varv, så återkommer vi till samma läge igen. Vinklarna är nu = 90 eller = 50. Om vi vrider radien två hela varv, får vi vinklarna = 750 eller = 870 Om vi i stället vrider radien ett varv bakåt, får vi 0 60 = 0 eller = 0 Om vi vrider radien n hela varv, får vi vinklarna 0 + n 60 eller 50 + n 60! Ekvationen sin = 0,5 har lösningar = 0 + n 60 eller = n 60! sats: Lösningar till sin = a Om ekvationen sin = a har en lösning = v kan samtliga lösningar skrivas = v + n 60 eller = 80 v + n 60 Observera att n betder alla heltal, både positiva och negativa, och att ekvationen har oändligt många lösningar. Termen n 60 anger att perioden är 60. trigonometri

26 KApiTeL ekvationen cos = a I bilden nedan har vi ritat graferna till = cos och = 0,5. Vi ser att linjen skär kurvan i en mängd punkter. Alla dessa punkters -koordinater ger oss lösningarna till ekvationen cos = 0,5 Vi ser att lösningarna ligger smmetriskt i förhållande till -aeln. Lösningarna är ±60, ±00, ±40 osv. = cos = 0, Hur kan vi beräkna alla dessa lösningar? Vi betraktar ekvationen cos = 0,5 igen. Räknaren ger oss vinkeln = 60 Den andra vinkeln = 60. Se enhetscirkeln! Om radien i enhetscirkeln vrids n varv får vi vinklarna ±60 + n 60! Ekvationen cos = 0,5 har lösningarna = ± 60 + n 60! sats: Lösningar till cos = a Om ekvationen cos = a har en lösning = v kan samtliga lösningar skrivas = ± v + n Grafer och ekvationer

27 KApiTeL EXEMPEL Lös ekvationen sin = 0,8 Svara i hela grader. Räknaren ger närmevärdet 5,0 5 + n 60 eller n n 60 svar: 5 + n 60 eller 7 + n 60 EXEMPEL Lös ekvationen sin = 0,5 Räknaren ger 0. = 0 + n 60 eller = 50 + n 60 Nu divideras alla termer med. Glöm inte perioden! = 0 + n 0 eller = 50 + n 0 Bilden visar att skärningspunkterna återkommer med perioden 0. = sin = 0, svar: = 0 + n 0 eller = 50 + n 0 trigonometri 5

28 KApiTeL EXEMPEL Lös ekvationen sin ( 0 ) = 0,5 Räknaren ger 0. 0 = 0 + n 60 = n 60 = 50 + n 60 Den andra lösningen är 0 = n 60 = n 60 = 70 + n 60 svar: = 50 + n 60 eller = 70 + n 60 EXEMPEL 4 Lös ekvationen sin ( + 0 ) = 0,866. Svara i hela grader. Räknaren ger 60. ) + 0 = 60 + n 60 = 50 + n 60 = 5 + n 80 Alla termer har dividerats med! ) + 0 = n 60 = 0 + n 60 = 55 + n 80 svar: = 5 + n 80 eller = 55 + n 80 EXEMPEL 5 Lös ekvationen sin = 0,5 Räknaren ger = 0. Observera att vinkeln 0 motsvaras av 60 0 = 0. Se enhetscirkeln! = 0 + n 60 Den andra lösningen är = 80 ( 0 ) + n 60 = 0 + n Här väljer vi att ange svaret i positiva vinklar. svar: = 0 + n 60 eller = 0 + n Grafer och ekvationer

29 KApiTeL EXEMPEL 6 Lös ekvationen cos = 0,707. Svara i hela grader. Räknaren ger vinkeln 45. ±45 + n 60 svar: ±45 + n 60 Lägg märke till att 45 motsvaras av = 5 Se enhetscirkeln Om vi vill skriva svaret i positiva vinklar, får vi 45 + n 60 eller 5 + n 60 EXEMPEL 7 Lös ekvationen cos ( 0 ) = 0,94. Svara i hela grader. Räknaren ger vinkeln 0. 0 ±0 + n 60 Här måste vi dela upp lösningarna n n n n 60 svar: 50 + n 60 eller 0 + n 60 EXEMPEL 8 Lös ekvationen cos ( + 0 ) = 0,5 Räknaren ger vinkeln = ±60 + n 60 Här måste vi dela upp lösningarna. + 0 = 60 + n = 60 + n 60 = 40 + n 60 = 80 + n 60 = 0 + n 80 = 40 + n 80 = n 80 svar: = 0 + n 80 eller = 40 + n 80 trigonometri 7

30 KAPITEL Lös ekvationerna. Ange vinklarna i hela grader. 0 a) sin = 0,74 b) sin = 0,64 0 a) sin = 0,707 b) sin = 0,64 0 a) sin ( 0 ) = 0,4 b) sin ( + 0 ) = 0, a) sin ( + 0 ) = 0,4 b) sin ( 5 ) = 0, a) sin 0,5 = 0,74 b) sin = 0, a) sin = 0,707 b) sin = 0,9 07 a) sin =,457 b) sin + = 0 08 a) cos = 0,89 b) cos = 0,4 09 a) cos = 0,94 b) cos = 0,707 0 a) cos ( + 40 ) = 0,59 b) cos ( 5 ) = 0,707 a) cos = 0,684 b) cos = 0,5 a) cos ( 0 ) = 0,5 b) cos = 0,59 a) cos =, b) cos = 0,985 sin 4 a) + sin = 0,5 b) = 0,5 5 Bestäm samtliga lösningar till ekvationerna. Svara i grader med en decimal. a) 6 sin ( 0 ) + = b) 6cos( 0 ) + = 6 Lös ekvationen 4 sin ( 0 ) + = utan att använda räknare. 7 Här ska du lösa ekvationen sin (4 0 ) + =,8 a) algebraiskt b) grafiskt genom att rita = sin (4 0 ) + och =,8 med grafritare. 8 Ahmed löser en trigonometrisk ekvation enligt nedan. Han gör dock ett fel! Finn felet och rätta till det! cos ( + 0 ) = 0,6 + 0 = ±5,4 + n = 5,4 + + n 60 =,4 + + n 60 =, + n 80 eller =, + n 80 9 Ekvationen sin( a + b) = har en lösning = 0 + n 0. Bestäm a och b samt ekvationens övriga lösningar. Visa hur du gör. 0 Zara påstår att en viss ekvation har lösningen = n 0, = 80 + n 60. Ma har fått svaret = ±0 + n 60, = n 80 på samma ekvation. Kan de ha rätt båda två? 8. Grafer och ekvationer

31 KApiTeL ekvationer och intervall EXEMPEL Lös ekvationen sin = 0, Den här ekvationen skiljer sig från de ekvationer som vi har löst tidigare eftersom vi ska finna de rötter som ligger i ett intervall. Vi börjar med att lösa ekvationen som vanligt: = 0 + n 60 eller = 50 + n 60 Vi prövar nu med olika värden på n för att se vilka rötter som finns i intervallet = 0 + n 60 ger n = 0 = 0 n = = = 90 n = = = 750 n = = 0 60 = 0 Utanför intervallet! Utanför intervallet!. = 50 + n 60 ger n = 0 = 50 n = = = 50 n = = = 0 Utanför intervallet! Utanför intervallet! svar: = 0 = 50 = 90 Vi kan visa lösningarna grafiskt. 0 = sin = 0,5 60 De skärningspunkter som finns inom intervallet är = 0 = 50 = 90 trigonometri 9

32 KApiTeL EXEMPEL Lös ekvationen cos ( + 0 ) = 0, Räknaren ger vinkeln = ±60 + n 60 Vi delar upp lösningarna: + 0 = 60 + n = 60 + n 60 = 50 + n 60 = 70 + n 60 = 5 + n 80 = 5 + n 80 Vi prövar nu med olika värden på n för att se vilka lösningar som finns i intervallet. n = 0 = 5 n = = = 05 (n = = = 85 ) (n = 0 = 5 ) n = = = 45 (n = = = 5 ) svar: = 5 = 45 = 05 Lös ekvationerna. Ange vinklarna i hela grader. a) sin = 0, b) sin = 0, a) sin = 0, b) sin 5 = 0, a) sin 0,5 = 0, b) sin = 0, a) sin ( + 0 ) = 0, b) sin (4 + 5 ) = 0, a) sin = 0, b) sin 5 =, Visa hur du löser denna NP-uppgift. Bestäm alla lösningar till ekvationen sin = 0,6 i intervallet 0 < < 450. (Np Ma D Vt 999) Lös ekvationerna. Ange svaren i hela grader. 7 a) sin = 0,866 0 < < 60 b) cos 4 = 0 < < 60 c) sin 5 =,97 0 < < 90 d) + cos = 0 < < Grafer och ekvationer

33 KAPITEL 8 Lös olikheterna med en decimals noggrannhet i intervallet 0 < < 60. a) sin > 0,5 b) cos 0,9 9 Vilka lösningar har ekvationen 6 cos =,8 i intervallet 60 < < 70? Svara i hela grader. 0 Undersök grafiskt och visa med en enkel skiss om det finns några v så att sin (v + ) = cos (v + ) för 0 < v < 80 Ange i så fall detta/dessa värden. (Np Ma Ht 997) Utgå från ekvationen a sin = b där a och b är konstanter. Ge ett eempel på hur a och b kan väljas så att ekvationen a sin = b i intervallet 0 80 får a) bara en lösning b) två lösningar. Motivera dina val. Bestäm a och b så att funktionen = b a sin ( 0) får minsta värdet 4 och största värdet 6. Ordet sinus är latin och betder bukt. Cosinus är en förkortning av complementi sinus, kan tolkas som det som kompletterar sinus. Redan på 500-talet började orden sinus och cosinus användas i matematiska sammanhang. trigonometri

34 KApiTeL Tangenskurvor Tidigare har vi definierat tan v i en rätvinklig triangel som motstående katet tanv = närliggandekatet Med hjälp av enhetscirkeln får vi sinv tanv = = cosv (cos v 0) v Observera att tan v inte är definierat då cos v = 0, dvs för v = ±90, ±70 osv. Bilden nedan visar grafen till funktionen = tan. Lägg märke till att funktionen upprepar sitt förlopp efter 80. Tangensfunktionen har alltså perioden 80 (till skillnad från sinus- och cosinusfunktionen som har period = 60 ). De streckade linjerna = ±90, = ±70 osv anger de -värden som tangensfunktionen ej är definierad för. Dessa linjer kallas asmptoter. tan 90 ej def 75,7 60, ,58 5 0, ,7 0 0, ,7 75,7 90 ej def = tan Grafer och ekvationer

35 KApiTeL ekvationen tan = a I bilden nedan har vi ritat graferna till = tan och =,5. Vi ser att linjen skär kurvan i en mängd punkter. Alla dessa punkters -koordinater ger oss lösningarna till ekvationen tan =, Vi löser ekvationen tan =,5 med räknaren och får 56 Eftersom perioden är 80 är den fullständiga lösningen 56 + n 80, där n är ett heltal. n = 0 56 n = n = n = n = ! Ekvationen tan =,5 har lösningen 56 + n 80! sats: Lösningar till tan = a Om ekvationen tan = a har en lösning = v kan samtliga lösningar skrivas = v + n 80 trigonometri

36 KApiTeL EXEMPEL Lös ekvationen tan =,5. Svara med en decimal. tan =,5 tan = 0,5 Vi har dividerat med Räknaren ger vinkeln 6,6. 6,6 + n 80 svar: 6,6 + n 80 EXEMPEL Lös ekvationen 5 tan = 6. Svara i hela grader. 5 tan = 6 tan =, Räknaren ger n n 90 Alla termer har dividerats med svar: 5 + n 90 Om perioden 90 adderas kan svaret skrivas 65 + n 90 EXEMPEL Lös ekvationen sin = cos. Svara med en decimal. sin = cos sin = cos tan = Båda leden har dividerats med cos Enligt definitionen sin =tan cos 7,6 + n 80 svar: 7,6 + n Grafer och ekvationer

37 KApiTeL Lös ekvationerna. Svara i hela grader. a) tan = 0 b) tan = c) tan + 9 = 4 a) tan = 0,87 b) tan 6 =,8 c) tan 4 = 5 5 a) tan = 5,67 0 < < 60 b) tan =,9 0 < < 60 c) tan = < <800 6 Förklara varför svaret = 50 + n 0 också kan skrivas = 70 + n 0 7 Skissa kurvorna på rutat papper. Använd sedan grafritare som kontroll. a) = tan b) = tan ( 0 ) c) = tan Lös följande ekvationer. Svara med en decimal. 8 a) sin = 5 cos b) sin = cos c) 5 sin cos = 0 d) cos = 0, sin 40 a) cos ( + 50 ) = 0,8 b) sin(4 0 ) = c) tan (4 0 ) =, d) 5tan( + 60 ) = 4 a) 4 sin = cos b) + sin =, c) 4 sin 7cos = 0 d) tan 5 = 0,6 4 Ekvationen a tan b = har en lösning =,5 + n 90. Bestäm konstanterna a och b. Förklara hur du tänker. Lös följande ekvationer. Svara med en decimal. 4 a) sin =,5 0 < < 00 b) cos ( 0 ) = 90 < < 400 c) tan ( 0 ) = 5 90 < < 80 d) cos = sin 0 < < 80 sink 44 Grafen till f( ) = ka + cosk har perioden 45 och skär aeln i punkten (0, 6). Lös ekvationen f() = 5,4 i intervallet 0 < < a) 4 sin = cos 80 < < 80 b) sin = cos 00 < < 50 TAnKenöT 4 Lägg tändstickor så att de bildar ett polgon som har omkretsen le och arean 4 ae. trigonometri 5

38 KApiTeL sin = sin och cos = cos Vi börjar med att lösa ekvationen sin = sin 0. En lösning är = 0 som ger den allmänna lösningen = 0 + n 60 Ekvationen har också lösningen = 80 0 = 50 Detta ger den allmänna lösningen = 50 + n 60! Ekvationen sin = sin a har lösningarna = a + n 60 eller = 80 a + n 60 Ekvationen cos = cos a har lösningarna = ± a + n 60 EXEMPEL Lös ekvationen sin = sin sin = sin = + n 60 eller = 80 + n 60 = n 60 + = 80 + n 60 = n 60 = 80 + n 60 = 60 + n 0 svar: = n 60 eller = 60 + n 0 Bilden visar graferna = sin och = sin. Grafernas skärningspunkter ger oss rötterna till ekvationen sin = sin - 90 = sin = sin 60 Om vi sätter in några värden på n, t e n = 0, n = och n = får vi följande rötter: n = 0 ger n = ger n = ger = 0 eller = 60 = 60 eller = 80 = 70 eller = 00 Jämför rötterna med skärningspunkternas -koordinater! 6. Grafer och ekvationer

39 KApiTeL EXEMPEL Lös ekvationen sin 5 = sin ( + 0 ) sin 5 = sin ( + 0 ) Observera parentesen! 5 = n 60 eller 5 = 80 ( + 0 ) + n 60 4 = 0 + n 60 5 = n 60 = 7,5 + n 90 6 = 50 + n 60 = 5 + n 60 svar: = 7,5 + n 90 eller = 5 + n 60 EXEMPEL Lös ekvationen cos = cos ( + 0 ) ) = n 60 = 0 + n 60 = 0 + n 80 ) = ( + 0 ) + n 60 = 0 + n 60 4 = 0 + n 60 = 5 + n 90 svar: = 0 + n 80 = 5 + n 90 EXEMPEL 4 Lös ekvationen cos ( 40 ) = cos (0 ) ) 40 = 0 + n 60 = 60 + n 60 = 0 + n 0 ) 40 = (0 ) + n = n 60 = 0 + n 60 Titta på den första lösningen, = 0 + n 0. För n = får vi = , dvs samma lösning som vi får med den andra lösningen för n =. Se enhetscirkeln! Svaret kan sammanfattas enligt nedan. svar: = 0 + n trigonometri 7

40 KApiTeL Lös följande ekvationer. 45 a) sin = sin 60 b) sin = sin 0 46 a) sin = sin 60 b) sin = sin 0 47 a) sin = sin b) sin = sin ( + 0 ) 48 a) sin ( + 0 ) = sin ( 0 ) b) sin (40 ) = sin (8 + 0 ) 49 a) cos = cos b) cos = cos ( + 0 ) 50 a) cos 4 = cos 5 b) cos ( 0 ) = cos 5 a) cos (45 ) = cos ( + 5 ) b) cos (60 + ) = cos ( + 0 ) 5 a) sin 5 = sin ( + 60 ) b) cos 4 = cos 5 a) sin 4 = sin 6 b) sin ( + 0 ) = sin 54 a) sin = sin ( + 0 ) 0 < < 80 b) sin ( + 0 ) = sin ( 0 ) 90 < < a) cos ( 70 ) = cos 5 b) sin 5 sin = 0 56 a) sin = sin ( + 40 ) 0 60 b) cos = cos a) sin (8 70 ) = sin (0 ) b) cos ( 5 ) = cos (5 ) Martin löser ekvationen sin = cos 0 < < 80 enligt nedan. Har Martin gjort rätt? Om inte, skriv en korrekt lösning. Eftersom cos = sin (90 ) får jag sin = sin (90 ) = 90 + n 60 eller = 80 (90 ) + n 60 = 90 + n 60 = n 60 = 0 + n 0 = 90 + n 60 I intervallet 0 < < 80 fi nns rötterna: = 0 = = 50 = 90 Svar: Vinklarna är 0, 90 och Grafer och ekvationer

41 KApiTeL ekvationen sin = cos En rätvinklig triangel har sidorna a, b och c. Vinklarna kallar vi och (90 ). Se bilden. c 90 b a Med hjälp av bilden kan vi nu teckna sinus och cosinus för vinklarna och (90 ). b b sin = cos(90 ) = Vi får samma svar! c c a a cos = sin(90 ) = Även här får vi samma svar! c c Vi ser att värdet för sin och cos (90 ) är lika. Även värdet för cos och sin (90 ) är lika.! sin = cos (90 ) cos = sin (90 ) EXEMPEL Lös ekvationen sin = cos då 0 < < 80 Eftersom cos = sin (90 ) får vi ekvationen sin = sin (90 ) Observera parentesen! = 90 + n 60 eller = 80 (90 ) + n 60 5 = 90 + n 60 = n 60 = 8 + n 7 = 90 + n 60 I intervallet 0 < < 80 finner vi följande rötter: = 8 = = 90 = = 6 svar: = 8 = 90 = 6 trigonometri 9

42 KApiTeL EXEMPEL Lös ekvationen cos (60 ) = sin Eftersom sin = cos (90 ) får vi följande ekvation: cos (60 ) = cos (90 ) ) 60 = 90 + n 60 = 0 + n 60 Sätt ut parentesen! ) 60 = (90 ) + n = n 60 = 50 + n 60 = 50 + n 0 Vi har dividerat med. Lägg märke till följande: Det korrekta svaret är = 50 n 0. Men, eftersom n kan vara både positivt och negativt, kan vi lika gärna skriva med plustecken, dvs = 50 + n 0. svar: = 0 + n 60 eller = 50 + n 0 Lös följande ekvationer. Svara i grader. 59 a) cos = sin 4 b) sin 5 = cos 4 60 a) sin ( + 0 ) = cos b) sin ( + 40 ) = cos ( 0 ) 6 a) cos (0 4) = sin b) cos ( 50 ) = sin ( 50 ) 6 Ange de lösningar till ekvationen sin = cos 4 som finns i intervallet Vilka av rötterna till ekvationen sin 0,5 = cos finns i intervallet 80 90? 64 Lös ekvationen sin (4 + v) = cos med avseende på. 40. Grafer och ekvationer

43 KApiTeL. formler Additions- och subtraktionssatsen I följande härledning används två satser som du redan har tränat på i tidigare kurser, nämligen avståndsformeln och cosinussatsen. Avståndsformeln Avståndet d mellan två punkter (, ) och (, ) i ett koordinatsstem kan beräknas med avståndsformeln: d = ( ) + ( ) d A (, ) B (, ) Cosinussatsen c = a + b ab cos C B a c C b A Titta på enhetscirkeln nedan där punkterna O, P och Q är hörn i en triangel. Punkten O har koordinaterna (0, 0) medan P har koordinaterna (cos u, sin u) och Q har koordinaterna (cos v, sin v). Vinkeln POQ kan skrivas u v. Två sidor i triangeln är längdenhet vardera, eftersom de är radier i enhetscirkeln. Triangelns tredje sida kallas d. P (cos u, sin u) d u v v u O Q (cos v, sin v) trigonometri 4

44 KApiTeL Nu använder vi cosinussatsen och avståndsformeln för att uttrcka sträckan d på två olika sätt. P (cos u, sin u) d u v Q (cos v, sin v). Cosinussatsen ger: d = + cos (u v) d = cos(u v) v u O. Avståndsformeln ger: d = (cos u cos v) + (sin u sin v) Vi utvecklar kvadraterna och får d = cos u cos u cos v + cos v + sin u sin u sin v + sin v = = cos u + sin u + cos v + sin v cos u cos v sin u sin v = = Detta ger d = cos u cos v sin u sin v Nu sätter vi våra uttrck för d lika och får då cos (u v) = cos u cos v sin u sin v Vi subtraherar från båda leden och dividerar till sist båda leden med. Då får vi följande: cos (u v) = cos u cos v + sin u sin v Formeln kallas subtraktionssatsen för cosinus. Formeln ska inte läras utantill, eftersom den finns i formelsamlingar tillsammans med tre liknande formler.! sats: Additions- och subtraktionssatser för sinus och cosinus cos (u + v) = cos u cos v sin u sin v sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v cos (u v) = cos u cos v + sin u sin v sin (u v) = sin u cos v cos u sin v EXEMPEL I förra avsnittet såg vi att sin (90 ) = cos Nu använder vi subtraktionssatsen för att visa detta samband. sin (90 ) = sin 90 cos cos 90 sin = cos 0 sin = = cos VSV 4. formler

45 KApiTeL EXEMPEL Förenkla cos 00 cos 40 + sin 00 sin 40 Beräkna sedan det eakta värdet. Uttrcket ovan motsvarar cos cos + sin sin där = 00 och = 40. Den formel som ska användas blir då cos ( ) = cos (00 40 ) = cos 60 = 0,5 svar: 0,5 EXEMPEL Visa att sin( + 45 ) sin( 45) = cos tabell med eakta trigonometriska värden finns på sidan 85. VL = sin ( + 45 ) sin ( 45 ) = = sin cos 45 + cos sin 45 (sin cos 45 cos sin 45 ) = = cossin45 = cos = cos VSV Tabellen ger sin 45 = = = Utveckla och förenkla 0 a) cos (80 + ) b) sin (90 + ) 0 a) sin ( 80 ) b) cos (70 + ) 0 a) cos ( 90 ) b) sin (90 ) 04 a) sin (80 ) b) cos (80 ) 05 Förenkla följande uttrck och beräkna sedan det eakta värdet. a) cos 85 cos 5 + sin 85 sin 5 b) cos 70 cos 50 sin 70 sin 50 c) sin 50 cos 40 + cos 50 sin 40 d) sin 75 cos 45 cos 75 sin Bestäm A och B i likheterna nedan. a) sin (A B) = = sin 0 cos 40 cos 0 sin 40 b) sin 60 = Bsin 0 cos 0 c) cos (4 + A) = = cos 4 cos sin B sin trigonometri 4

46 KApiTeL 07 Utveckla och förenkla cos (60 + ) + cos (60 ). 08 Visa med hjälp av additions- och subtraktionssatserna. a) cos (80 v) = cos v b) cos (v + 80 ) = cos v c) cos v = sin (v + 70 ) d) sin (60 v) = sin v 09 Använd subtraktionssatserna och visa att a) sin ( ) = sin ledning: sin ( ) = sin (0 ) b) cos ( ) = cos 0 Förklara med hjälp av enhetscirkeln varför sin (60 ) = = sin. Visa också sambandet med subtraktionsformeln. För en vinkel gäller att sin v = 0,8. Bestäm, utan att beräkna v, ett närmevärde med två decimaler till a) sin (v + 0 ) b) cos (0 v). Visa hur du gör. I uppgifterna och ska du utgå från att du vet eakta trigonometriska värden för vinklarna 0, 45 och 60. Visa att a) sin( + 60) = sin+ cos b) cos(60 + ) cos(60 ) = sin Bestäm eakt värde. a) sin 05 b) cos 75 4 Visa med additionssatsen att sin = sin cos. 5 Från den rätvinkliga triangeln vet vi att sin = cos (90 ) Visa att sambandet gäller för alla värden på. 6 Visa att sin 4a = 4 sin a cos a 4 sin a cos a formler för dubbla vinkeln Om vi i additionssatserna sin ( + ) = sin cos + cos sin cos ( + ) = cos cos sin sin sätter = får vi följande: sin = sin ( + ) = sin cos + cos sin = sin cos cos = cos ( + ) = cos cos sin sin = cos sin cos kan skrivas på tterligare två sätt: Då formeln för cos kombineras med trigonometriska ettan får vi: cos = cos ( cos ) = cos Eller så här: cos = ( sin ) sin = sin 44. formler

47 KApiTeL! sats: formler för dubbla vinkeln sin = sin cos cos = cos sin cos = cos cos = sin EXEMPEL Beräkna utan räknare värdet av cos då du vet att sin = 0,6. Enligt formeln cos = sin får vi följande: cos = 0,6 = 0,6 = 0,7 = 0,8 svar: cos = 0,8 EXEMPEL Utgå från tan = och att 0 < < 90. Beräkna eakta värdet på sin. Vi ritar en rätvinklig triangel som har kateterna och a eftersom tan = = Hpotenusan a beräknas med Pthagoras sats. a = + a > 0 Detta ger a = 0 Figuren ger att: sin = 0 och cos = 0 Formeln sin = sin cos ger: 6 6 sin = = = =0, svar: sin = 0,6 0 trigonometri 45

48 KApiTeL 7 För en vinkel gäller att cos = 0,8 och sin = 0,6. Beräkna, utan att bestämma värdet på. a) sin b) cos c) tan 8 Beräkna cos eakt då du vet att a) cos = b) sin = 4 c) 5 cos = Antag att sin = och att 0 < < Bestäm eakt värde på följande uttrck. a) cos b) tan c) sin d) cos 0 Rita en rätvinklig triangel med kateterna cm och 4 cm. Låt vara triangelns minsta vinkel. Beräkna eakt a) sin b) cos c) sin d) cos Antag att tan = och att 0 < < 90. Bestäm eakt värde på följande uttrck. a) sin b) cos c) sin d) cos Antag att cos = 0,8 och att 0 < < 90. Bestäm eakt värde på följande uttrck. a) cos b) sin c) tan d) sin Lisa får följande uppgift: Bestäm det eakta värdet av sin om cos = 5 Hon löser uppgiften så här: = = 6 sin cos = sin = 5 = = sin sin cos 4 4 = Har Lisa gjort rätt? Om inte, förklara vad hon har gjort för fel. 4 Visa att sin = sin 4 sin. 5 a) Använd tabellen på sidan 85 och bestäm ett eakt värde på sin 75 b) Här får du använda dig av sambandet 0,5 = sin 0 = sin ( 5 ), när du ska visa hur du kan bestämma sin 5 med tre värdesiffror. ekvationer och formler EXEMPEL Lös ekvationen cos sin = 0,5 Vi ersätter cos sin med cos (dubbla vinkeln) cos = 0,5 = ± 60 + n 60 = ± 0 + n 80 svar: = ± 0 + n formler

49 KApiTeL EXEMPEL Lös ekvationen sin cos + 0, = 0. Svara i grader med en decimal. sin cos = 0, sin cos = 0,4 sin = 0,4 Vi multiplicerar med och använder formeln för dubbla vinkeln. =,6 + n 60 eller = 80 (,6 ) + n 60 =,8 + n 80 = 0,6 + n 60 = 68, + n 80 = 0,8 + n 80 svar: = 68, + n 80 eller = 0,8 + n 80 EXEMPEL Lös ekvationen sin + cos = 0 sin + cos = 0 sin cos + cos = 0 cos ( sin + ) = 0 Faktorn cos har brutits ut Eftersom en produkt är noll, om minst en av faktorerna är noll, gäller att cos = 0 eller sin + = 0. Vi börjar med att lösa ekvationen cos = 0 och får då = ± 90 + n 60 Titta på enhetscirkeln där vinklarna har markerats. Svaret kan enklare skrivas = 90 + n 80. Ekvationen sin + = 0 ger oss sin = sin = 0,5 = 0 + n 60 eller = n 60 = 0 + n 60 = 0 + n 60 svar: = 90 + n 80, = 0 + n 60, = 0 + n 60 trigonometri 47

50 KApiTeL EXEMPEL 4 Lös ekvationen cos + sin + = 0 ( sin ) + sin + = 0 sin + sin + = 0 sin sin 5 = 0 t t 5 = 0 t 5 t = t = 0 t = 5/ Vi bter nu tillbaka sin = t. sin = = 70 + n 60 Trigonometriska ettan Sätt sin = t (sin = 5 / saknar lösning) svar: = 70 + n 60 Lös följande ekvationer. Svara i hela grader. 6 a) sin = 0,6 b) sin cos = 0,5 7 a) cos =,9 b) cos sin = 0 8 cos sin = 0 0 < < 80 9 sin cos = 0 00 < < sin (cos ) = 0 Lös ekvationerna. Avrunda till en decimal när svaret inte blir eakt. a) cos 4 cos = 0 b) cos = sin Förklara varför man inte kan dividera bort sin i ekvationen sin + sin cos = 0. Lös följande ekvationer. Avrunda till en decimal när svaret inte blir eakt. a) sin + sin 4 = 0 ledning: Sätt sin = t. sin b) = cos 4 a) sin = cos + cos b) cos = cos 5 Felicia har löst en ekvation och kommit fram till lösningarna = ±80 n, = 5 + n 80 och = 75 + n 80. Felicias lillebror har dessvärre ritat i hennes matteblock så man inte längre ser vilken ekvation som Felica har löst. Ge eempel på en ekvation som har dessa lösningar. 48. formler

51 KApiTeL funktionen = asin + bcos = sin + cos = sin 90 Bilden visar graferna till = sin + cos och = sin (röd kurva). Vi ser att kurvorna har samma period men olika amplituder. Dessutom är = sin + cos förskjuten 45 åt vänster i förhållande till = sin. Det verkar rimligt att = sin + cos kan skrivas som en sinusfunktion på formen = m sin ( + v) där m,4 och v 45. Här ska vi nu visa detta. Vi ska alltså visa sambandet i regelrutan:! a sin + b cos = m sin ( + v) där a > 0 och b > 0 Vänster led: a sin + b cos = b = a + sin cos a Höger led: m sin ( + v) = = m (sin cos v + cos sin v) sinv = mcosv + sin cos cosv = m cos v (sin + tan v cos ) Vi brter ut a Enligt additionssatsen för sinus Vi brter ut cos v sin v = tan v cos v Nu kan sambandet i regelrutan skrivas: b a + sin cos = m cos v (sin + tan v cos ) a De båda leden är lika för alla om följande gäller: a = m cos v b = a tan v (eftersom både a och b är positiva tal, så gäller att 0 < v < 90 ) trigonometri 49

52 KApiTeL v a b Titta nu på den rätvinkliga triangeln med kateterna a och b. Enligt Pthagoras sats är hpotenusan = a + b a Från triangeln ser vi också att cosv = a + b Då uttrcket för cos v sätts in i a = m cos v får vi m= a + b b Alltså kan funktionen skrivas = a + b sin( + v) där tanv = a Vi har alltså visat den första satsen i rutan nedanför. För båda satserna gäller att a > 0 och b > 0.! sats = asin + bcos = a + b sin( + v) där tan v = = asin bcos = a + b a b sin( v) där tan v = a b EXEMPEL a) Skriv = sin + cos på formen = msin ( + v).. = sin + cos ger att a = och b =. a + b = + =,4 b. tan v = ger tanv = = dvs v = 45 a svar: =,4sin ( + 45 ) Se grafen på förra sidan. b) Skriv = sin cos på formen = m sin ( v).. = sin cos ger att a = och b =. a + b = 9+ = 0,6 b. tan v = ger tanv = dvs v 8,4 a svar: =,6 sin ( 8,4 ) 50. formler

53 KAPITEL 6 Skriv på formen = m sin ( + v). a) = sin + 4 cos b) = sin 5 cos 7 Är det sant att man får funktionen i föregående uppgift genom att a) = 5 sin förskjuts 5, åt vänster b) = sin förskjuts,6 åt höger? 8 Bestäm ett eakt värde på följande funktioners amplitud. a) = sin + cos b) = 5 sin 4 sin 9 Beskriv följande funktionskurvor genom att ange amplitud och förskjutning. a) = sin + cos b) = sin cos 40 Jon påstår att om a = b i sambandet = a sin + b cos så är kurvan alltid förskjuten 45 åt vänster. Har Jon rätt? Förklara. 4 Skriv = 0 sin ( + 6,6 ) på formen = a sin + b cos 4 Bilden visar grafen till en funktion = m sin ( v). Skriv funktionen på formen = a sin b cos Lös följande ekvationer då Avrunda svaren till hela grader. a) sin + cos = b) sin cos = c) tan = cos 44 Funktionen = a sin 8 cos har amplituden 0. Hur mcket är kurvan förskjuten i -led? 45 Vi har funktionen = sin + cos. Bestäm funktionens a) period b) största värde. Para ihop uttrck I tabellen ser du en mängd olika uttrck. Här ska du utveckla/förenkla uttrcken så att du kan para ihop varje uttrck i kolumn A med ett uttrck i kolumn B. A (cos + sin ) + (cos sin ) B cos (sin cos ) 0 + tan cos 4 cos ( + 70 ) 5 tan cos 6 tan cos + sin ( ) tan 7 cos (tan + ) sin 8 sin 9 sin + cos tan tan 0 sin ( 70 ) sin trigonometri 5

54 KApiTeL.4 radianer Vinkelmåttet radianer Tidigare har vi mätt vinklar i grader, där varv motsvarar 60. Nu ska vi istället mäta vinklar i radianer. Vinkelmåttet radian används speciellt i praktiska sammanhang, t e om man beskriver hur spänningen i en väggkontakt varierar.! definition: radian En vinkel är radian, om den i en cirkel ger en båge som är lika stor som radien. r rad r r Vinkeln rad betder att bågens längd = radien. Vinkeln rad ger alltså en båge som är radien. Vinkeln rad ger en båge som är radien. Eftersom bågen radien betder cirkelns omkrets, får vi att rad =60! Ett varv = radianer = 60 radian = = 57, º = = 60 rad rad 0,0745 rad 80 Observera att det är vanligt att man utelämnar radianbeteckningen och endast skriver t e = 60 = radianer

55 KApiTeL Då medelpunktsvinkeln i en cirkelsektor anges i radianer, blir formlerna för bågen och arean mcket enkla.! Bågen sats: båglängd och area av cirkelsektor b = v r Arean A = v r v r b Bilden nedan visar = sin, där ges i radianer. Observera att vi har samma skala på alarna. = sin I Eempel visar vi hur man omvandlar från grader till radianer och tvärtom. Många räknare ger direkt dessa omvandlingar. Se också tabellen på sidan 85. EXEMPEL a) Omvandla 44 till radianer = 44 = 0,768 rad b) Omvandla 45 till radianer. Svara eakt = = 80 4 rad c) Omvandla,7 rad till grader. 80,7 80,7 rad =,7 = 97,4 d) Omvandla till grader. E ft e r s o m = 80 får vi att = 80 = 60 trigonometri 5

56 KApiTeL EXEMPEL Lös ekvationen cos = 0,. Svara i radianer med tre värdesiffror. Räknaren ger ca,4706 rad. Räknaren ska vara ställd på radianer. ±, n Nu ska alla termer divideras med! ± 0,75 + n svar: ± 0,75 + n EXEMPEL Lös ekvationen 4 sin +, = 0. Svara i radianer med tre värdesiffror. 4 sin =,, sin = 4 sin = 0,8 Räknaren ger 0,97 rad 0,97 + n eller ( 0,97) + n 5,6 + n 4,07 + n ( 0,97 5,6) svar: 5,6 + n eller 4,07 + n EXEMPEL 4 Grafen visar en sinusfunktion. Vilket är funktionsuttrcket? Amplituden = Perioden = Kurvan är förskjuten,5 ruta till höger.,5 ruta motsvarar 4 svar: = sin radianer

57 KAPITEL Omvandla följande vinklar till radianer. Svara eakt. 40 a) 90 b) 60 c) 45 d) a) 0 b) 60 c) 0 d) 70 Vinklarna nedan är angivna i radianer. Omvandla till grader. 40 a) b) 404 a),5 b) 5 c) c) d) 0 d) Enhetscirkeln i bilden har delats i lika stora delar. Ange i radianer (uttrckt i ) de vinklar som motsvarar radierna a g. e d f c 406 Omvandla till radianer. Svara med tre värdesiffror. a) 50 b) 0 c) 8 d) 407 Omvandla till grader. Svara med tre värdesiffror. a), rad b) 0,75 rad c) 0 rad d) rad 408 I en cirkelsektor är radien cm och medelpunktsvinkeln radianer. Beräkna cirkelsektorns a) båge b) area c) omkrets. b 409 Eric skär en tårtbit och har bestämt sig för att skära en bit som har medelpunkts vinkeln radianer. Hur stor del av tårtan får han? a g 40 Den astronomiintresserade Lisa tittar på månen genom sitt teleskop. Hon ser månen under en vinkel som är ungefär 0,5. Hur stor är månens diameter om avståndet till jorden är ungefär km? Jorden 0,5 Månen Lös följande ekvationer. Svara i radianer med tre värdesiffror. 4 a) sin = 0,65 b) cos = 0,8 4 a) sin = b) 4cos = 4 a) tan = b) 5tan = 4 44 Ange en ekvation = f() till följande sinusfunktioner. a) b) c) trigonometri 55

58 KAPITEL 45 Ange en ekvation = f() till följande cosinusfunktioner. a) b) 46 Titta igen på grafen i 45 a). Avläs grafiskt två rötter till ekvationen f() = 0,5. 47 Lös ekvationen. Svara i radianer med tre värdesiffror a) 4 + cos = 5 b) 0 = sin 0, 48 Ange en ekvation = f() till följande sinusfunktioner. a) 40 Nedan ser du grafen till = cos. Visa hur du löser olikheten cos < 0 i intervallet 0 < <. = cos 4 Figuren visar grafen till funktionen = a + b sin. Bestäm konstanterna a och b. (Np Ma D 005) 4 Använd räknare och rita graferna till = cos och = sin. Lös sedan ekvationen sin = cos i intervallet 0 < <. a) grafiskt och svara med en decimal b) algebraiskt och svara eakt. b) 4 Härled formeln för en cirkelsektors area då vinkeln mäts i radianer. 49 Titta på grafen i 48 b). Avläs grafiskt två rötter till ekvationen f() = 0,5. Uttrck svaret i. 44 Arean A av ett cirkelsegment kan beräknas med sambandet ( ) A = r v sinv. Visa att detta samband alltid gäller då v mäts i radianer. v A 56.4 Radianer