Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Transkript

1 48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x = 1 Sinus för dubbla vinkeln sin x = sin x cos x sin x = 1 x = sin 1 (1) + n π x = π + n π x = π 4 + n π Fall x = π sin 1 (1) + n π Svar: x = n π = n 360 x = π π + n π x = π + n π x = π 4 + n π Svar: x = π + n π = 45 + n 180 4

2 49 a sin x cos x = 1 (cos x sin x) = 1 cos x sin x = 1 cosinus för dubbla vinkeln cos x = cos x sin x cos x = 1 x = ± cos 1 ( 1) + n π x = ±π + n π x = ± π + n π Då det positiva och negtiva fallet överlappar varandra så kan vi få alla lösningar med uttrycket x = π + n π = 90 + n 180 b sin(x + 90 ) = cos x Utnyttja additionsformeln för sinus i VL sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u sin x cos 90 + cos x sin 90 = cos x cos 90 = 0 sin 90 = 1 sin x 0 + cos x 1 = cos x cos x = cos x Flytta över alla termer till en sida, dela inte med cos x då cos x kan vara noll. cos x cos x = 0 cos x (1 cos x) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer cos x = 0 1 cos x = 0 cos x = 0 (1) cos x = 1 () cos x = 0 x = ± cos 1 (0) + n 360 x = ±90 + n 360 Då det positiva och negtiva fallet överlappar varandra så kan vi få alla lösningar med uttrycket x = 90 + n 180 Svar: x = π + n π = 90 + n 180

3 Lösning av ekvation () cos x = 1 x = ±0 + n 360 x = n a cos ( x ) = 1 Utnyttja att cos(v ) = cos v vilket ger cos ( x ) = cos x se figur Svar: x = 90 + n 180 x = n 360 cos x = 1 cos x = 1 x = cos 1 (1) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 x = n 70 där n Z Svar: x = n 70

4 b sin x cos x = 0.1 Multiplicera båda sidor med sin x cos x = 0.1 sin x cos x = 0. Utnyttja sinus för dubbla vinkeln sin x = sin x cos x sin x = 0. x = sin 1 (0.) + n 360 x = sin 1 (0.) + n 180 x = n 180 Fall x = 180 sin 1 (0.) + n 360 x = 180 sin 1 (0.) + n 180 x = 84 + n 180 Svar: x = n 180 x = 84 + n 180

5 c sin v = sin v sin v = sin v Utnyttja sinus för dubbla vinkeln sin v = sin v cos v sin v = sin v cos v Flytta över alla termer till en sida, dela inte med sin v då sin v kan vara noll. sin v sin v cos v = 0 sin v (sin v cos v) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer sin v = 0 (1) sin v cos v = 0 () sin v = 0 v = sin 1 (0) + n 360 v = 0 + n 360 v = n 360 Fall v = 180 sin 1 (0) + n 360 v = n 360 v = n 360 Lösningarna från de båda fallen fås av uttrycket v = n 180 Lösning av ekvation () sin v cos v = 0 Vi vill bryta ut cos v ur VL och förlänger därför med cos v sin v cos v cos v = 0 cos v cos v ( sin v cos v ) = 0 cos v (tan v ) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer cos v = 0 (3) tan v = 0 (4) Lösning av ekvation (3) cos v = 0 v = cos 1 (0) + n 360 v = ±90 + n 360 OBS! ekvation (1) och (3) kan inte båda vara sanna, då det inte finns någon vinkel v som gör att sinus och cosinus samtidigt blir noll. Vi prövar först lösningarna för sin v = 0, i den ursprungliga ekvationen vi väljer v = 0 och 180 TI-räknare 0 = falskt, 1 = sant Lösningarna v = n 180 är OK

6 och nu testar vi lösningarna för cos v = 0, i den ursprungliga ekvationen vi väljer v = 90 och 90 Lösningarna v = ±90 + n 180 är falska och måste därmed förkastas. Lösning av ekvation (4) tan v = 0 tan v = v = tan 1 () + n 180 v 63 + n 180 Svar: v = n 180 v 63 + n 180

7 d Lösningsalternativ 1 sin x = sin x Vi har två vinklar x och x skriv om VL så att vi får bara vinkeln x sin ( x ) = sin x Utnyttja sinus för dubbla vinkeln i VL sin x = sin x cos x sin x cos x = sin x Flytta över alla termer till en sida, dela inte med sin x då sin x kan vara noll. sin x cos x sin x = 0 Bryt ut sin x sin x ( cos x 1) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer sin x = 0 (1) cos x 1 = 0 () sin x = 0 x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 x = n 70 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 x = n 70 n x = n 70 x = n Av tabellen framgår att avståndet mellan vinklarna som utgör lösningarna till ekvationen är 360, sålunda fås samtliga lösningar med endast ett uttryck x = n 360 Lösning av ekvation () cos x 1 = 0 cos x = 1 x = ±cos 1 ( 1 ) + n 360 x = ± cos 1 ( 1 ) + n 70 x = ± 60 + n 70 x = ±10 + n 70 Svar: x = n 360 x = ±10 + n 70

8 Lösningsalternativ sin x = sin x Förkorta sinus från båda led, när detta görs vet vi att sinus har två vinklar som löser ekvationen, vilket ger ekvationerna Svaren skiljer sig åt i de båda lösningsalternativen för att övertyga oss om att de pekar ut samma vinklar utför vi en undersökning på räknaren Lösningsalternativ 1 är orange Lösningsalternativ är gul x = x + n 360 (1) x = 180 x + n 360 () x = x + n 360 Multiplicera båda led med x = x + n 70 Subtrahera x från båda led x x = x x + n 70 x = n 70 Lösning av ekvation () x = 180 x + n 360 Multiplicera båda led med x = 360 x + n 70 Addera x till båda led x + x = 360 x + x + n 70 3x = n 70 Dela båda led med 3 x = 10 + n 40 Svar: x = n 70 x = 10 + n 40

9 51 a tan x = 4 sin x tan x = sin x cos x sin x cos x = 4 sin x Flytta över alla termer till en sida, dela inte med sin x då sin x kan vara noll. sin x cos x 4 sin x = 0 Bryt ut sin x sin x ( 1 cos x 4) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer sin x = 0 (1) 1 cos x 4 = 0 () Lösning av ekvation () 1 cos x 4 = 0 1 cos x = 4 invertera båda led cos x = 1 4 x = ± cos 1 ( 1 4 ) + n 360 x ±76 + n 360 x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 Svar: x = n 180 x ±76 + n 360 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 Lösningarna från de båda fallen fås av ett uttryck x = n 180

10 b tan x cos x + sin x = 0 tan x = sin x cos x sin x cos x + sin x = 0 cos x sin x + sin x = 0 sin x = 0 sin x = 0 x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 Lösningarna från de båda fallen fås av ett uttryck x = n 180 c sin x = sin x cos x Utnyttja sinus för dubbla vinkeln i VL sin x = sin x cos x sin x cos x = sin x cos x Flytta över alla termer till en sida, dela inte med sin x eller cos x då dessa kan vara noll. sin x cos x sin x cos x = 0 sin x cos x = 0 Nollprodukten ger två ekvationer sin x = 0 (1) cos x = 0 () x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 Lösningarna från de båda fallen fås av uttrycket x = n 180 Svar: x = n 180

11 Lösning av ekvation () cos x = 0 x = ± cos 1 (0) + n 360 x = ±90 + n 360 Då det positiva och negtiva fallet överlappar varandra så fås alla lösningar med ett uttryck x = 90 + n 180 Betraktar vi de båda enhetscirklarna så ser vi att för var 90:e grad finns en lösning, sålunda fås alla lösningar för den ursprungliga ekvationen med ett uttryck x = n 90 Svar: x = n 90 d tan x + tan x 1 = 0 Substituera: k = tan x k + k 1 = 0 pq-formel ger k = ± ( ) ( 1) k = 1 ± k 1 = 1 + k = 1 Återsubstituera, ger ekvationerna tan x = 1 + (1) tan x = 1 () tan x = 1 + tan x = 1 x =.5 + n 180

12 Lösning av ekvation () tan x = 1 x = tan 1 ( 1 ) + n 180 x = n cos x sin x = 0 Lösningsalternativ 1 Skriv om VL med hjälp av den trigonometriska identiteten som kallas sinus för dubbla vinkeln sin x = sin x cos x cos x sin x = 0 sin x = 0 x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 x = n 180 Betraktas båda enhetscirklarna så inses att =.5 samtliga lösningar kan fås av ett uttryck x =.5 + n 90 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 x = 90 + n 180 Svar: x =.5 + n 90 Betraktas båda enhetscirklarna så inses att samtliga lösningar kan fås av ett uttryck Svar: x = n 90

13 Lösningsalternativ cos x sin x = 0 Dela båda sidor med cos x sin x = 0 Då högerledet är noll utnyttjar vi nollprodukten som ger två ekvationer sin x = 0 (1) cos x = 0 () Lösning av ekvation () cos x = 0 x = ± cos 1 (0) + n 360 x = ±90 + n 360 Då det positiva och negtiva fallet överlappar varandra så fås alla lösningar med uttrycket x = 90 + n 180 sin x = 0 x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 Betraktas båda enhetscirklarna så inses att samtliga lösningar fås av ett uttryck x = n 90 Svar: x = n 90 Lösningarna från de båda fallen fås av ett uttryck x = n 180

14 53 Grafisk Lösning Geogebra I tidiga upplagor av boken finns den felaktiga uppgiften u(t) = 0 sin(18000t + 60) som ska ersättas med den korrekta u(t) = 0 sin (18000 (t + π 3 )) Tiden efterfrågas då spänningen är 15 V sätt v(t) = 15 Tiden är angiven i sekunder vilket är en för stor enhet så vi väljer mikrosekunder 1 s = 10 6 µs, dela t med 10 6 i ekvationen. vilket ger ekvationsystemet t u(t) = 0 sin (18000 ( π 3 )) v(t) = 15 Svar: Spänningen är 15 V första gången efter 47 µs u(t) = v(t) ger ekvationen 0 sin (18000 ( t π )) = 15 3 Grafisk Lösning TI-räknare, radianer

15 54 sinussatsen sin A = sin B a b sin v 30 = sin w 40 = sin C c då en av de motstående vinklarna är dubbelt så stor som den andra fås w = v, insättes i ekvation ovan sin v sin v = sinus för dubbla vinkeln sin v = sin v cos v sin v sin v cos v = Korsvis multiplikation 40 sin v = 30 sin v cos v alla termer till en sida 40sin v 60 sin v cos v = 0 dela alla termer med 0 sin v 3 sin v cos v = 0 bryt ut sin v sin v ( 3 cos v) = 0 nollprodukten ger två ekvationer sin v = 0 (1) 3 cos v = 0 () sin v = 0 v = sin 1 (0) + n 360 v = 0 + n 360 v = n 360 Fall v = 180 sin 1 (0) + n 360 v = n 360 v = n 360 Lösningarna från de båda fallen fås av ett uttryck v = n 180 Kommentar: Ingen vinkel i en triangel kan vara 0 eller 180 Lösning av ekvation () 3 cos v = 0 cos v = 3 v = ± cos 1 ( 3 ) + n 360 och 0 < v < 180 v n 360 w = v w = 96.4 Då vinkelsumman i en triangel är 180 fås ekvationen u = = 35.4 Svar: 35.4, 48. och 96.4

16 55 sinussatsen sin A = sin B a b = sin C c sin v sin(v + 45 ) = sin v = 10 sin(v + 45 ) Dela båda led med 7sin v = 5sin(v + 45 ) additionsformel för sinus sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u 7sin v = 5(sin v cos 45 + cos v sin 45 ) cos 45 = sin 45 = 7 sin v = 5 (sin v + cos v ) Multiplicera båda led med 14 sin v = 5(sin v + cos v ) 14 sin v = 5 sin v + 5 cos v Då v 90 kan alla termer delas med cos v 14 tan v = 5 tan v tan v 5 tan v = 5 Bryt ut tan v tan v (14 5 ) = 5 tan v = v = tan 1 ( ) + n 180 och 0 < v < 180 v 45.6 v Då vinkelsumman i en triangel är 180 fås ekvationen u = = 43.8 Svar: 43.8, 45.6 och 90.6

17 56 Fall Yttervinkelsatsen ger ekvationen v + 30 = v + u u = 30 cosinusatsen a = b + c bc cos v ger ekvationen (x 1 ) = cos 30 (x 1 ) = (x 1 ) = (x 1 ) = x 1 > 0 x 1 = km Nu när vi vet x 1 = och u = 30 tecknas med sinussatsen ekvationen sin v 0.9 = sin u se figur x sin 30 sin v = sin 30 = 1 v = sin ( ) Vinkelsumman ger ekvationen w + v + v + 30 = 180 w = 150 v 68.3 cosinusatsen ger ekvationen (x ) = cos 68.3 x > 0 x 1.8 km Svar: 0.69 km eller 1.8 km

18 57 Uttrycket är inte definierat om nämnaren är lika med noll det vill säga cos x + cos x + sin x + 1 = 0 Cosinus för dubbla vinkeln cos x = cos x 1 och Trigonometriska ettan sin x + cos x = 1 sin x = 1 cos x ger cos x 1 + cos x + 1 cos x + 1 = 0 cos x + cos x + 1 = 0 Substituera cos x = t t + t + 1 = 0 t = 1 ± 1 1 t 1 = t = 1 Återsubstituera cos x = 1 x = cos 1 ( 1) + n 360 x = n 360 Svar: Nämnaren antar värdet noll då vinkeln x antar värdena n a sin x tan x + cos x = 1 tan x = sin x cos x sin x sin x cos x + cos x = 1 sin x cos x + cos x = 1 Multiplicera båda led med cos x sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan i VL sin x + cos x = 1 cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π Svar: x = n π = n 360

19 b Lösningsalternativ 1 sin (x + π 3 ) + cos (x + π 3 ) = 0 additionsformel för sinus sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u additionsformeln för cosinus cos(v + u) = cos v cos u sin v sin u sin x cos π 3 + cos x sin π 3 + cos x cos π 3 sin x sin π 3 = 0 sin π 3 = 3 cos π 3 = 1 sin x cos x + cos x 1 3 sin x = sin x + cos x cos x sin x = 0 multiplicera båda led med sin x + 3 cos x + cos x 3 sin x = 0 Bryt ut cos x cos x ( sin x sin x cos x cos x ) = 0 cos x (tan x tan x) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer cos x = 0 (1) tan x tan x = 0 () cos x = 0 x = ± cos 1 (0) + n 360 x = ±90 + n 360 Då det positiva och negtiva fallet överlappar varandra så kan vi få alla lösningar med uttrycket x = 90 + n 180 Lösning av ekvation () tan x tan x = 0 tan x 3 tan x = 1 3 bryt ut tan x tan x (1 3) = tan x = 1 3 Här kan vi ta fram det tekniska hjälpmedlet, vi väljer dock att förenkla vidare tan x = (1 + 3)(1 + 3) tan x = (1 3)(1 + 3) tan x = tan x = tan x = + 3 Det finns en vinkel som har det exakta tangensvärdet + 3, dock inte i tabellen i kursens formelblad, se tabell på Internet, det är förstås överkurs att kunna denna vinkel. x = 5π + n π = 75 + n 180 1

20 Lösningsalternativ sin (x + π 3 ) + cos (x + π 3 ) = 0 Utnyttja komplementvinkeln cos x = sin ( π x) sin (x + π 3 ) + sin (π (x + π 3 )) = 0 Förenkla högra termens vinkel π (x + π 3 ) = π x π 3 = π 3 3 x π 3 = 3π π x = π 6 6 x sin (x + π 3 ) + sin (π 6 x) = 0 sin (x + π 3 ) = sin (π 6 x) sin x = sin( x) sin (x + π 3 ) = sin ( (π 6 x)) sin (x + π 3 ) = sin (x π 6 ) Svar: x = 5π + n π = 75 + n Förkorta sinus från båda led, när detta görs vet vi att sinus har två vinklar som löser ekvationen, vilket ger ekvationerna x + π 3 = x π + n π (1) 6 x + π 3 = π (x π ) + n π () 6 x + π 3 = x π 6 + n π Subtrahera x från båda led π 3 = π + n π, vilket inte är sant 6 Vi har fått en motsägelse, vilket betyder att ekvation (1) saknar lösning.

21 Lösning av ekvation () x + π 3 = π (x π 6 ) + n π x + π 3 = π x + π 6 + n π x = π + π 6 π 3 + n π x = 6π 6 + π 6 π 3 + n π x = 5π 6 + n π x = 5π 1 + n π Svar: x = 5π 1 + n π