Trigonometriska funktioner och deras derivata

Transkript

1 Trigonometriska funktioner och deras derivata Tid: 80 minuter Hjälpmedel: Grafräknare, Formelblad & Linjal ,5 π 2π Amplituden är "höjden" på kurvan från jämviktsläget. Här gäller att amplituden är Vi kan beräkna periodiciteten genom 0 = 120

2 Vi kan skriva om vinkeln till vinkelmåttet ianer genom 2π = = = , 9 2 π 1, , (2/0/0) 2 π 1, π 1, Vi kan utgå ifrån att 180 = π och därmed gäller att. 1 = π 180 Så då gäller att 20 = 20 π 20 = π = π 18 Svaret kan avrundas till 1, 278

3 5. = 2, A = 2, k = 2 = 2, A =, k = 1 = 1, A = 1, k = 2 = 2, A =, k = 2 Sinuskurvan är här förskjuten nedåt två steg så = 2. Amplituden är A = kurvan har sitt jämviktsläge i y = 2 och sitt största värde i y = 1. eriodiciteten är 180 så. k = 0 = Vi har alltså den trigonometriska funktionen y = 2 + sin (2x)

4 . a) b) c) a) f (x) = 2 cos x f (x) = cos 2 x sin x f (x) = cos 2 x sin 2 x (/0/0) Derivatan för sinx är cosx så vi får f (x) = 2cosx b) Vi skriver om funktionen till f (x) = (cosx) så att det blir tydligt att den yttre funktionen är y = u och den inre funktionen är u = cosx. Kedjeregeln ger då. f (x) = (cosx) 2 ( sinx) = cos 2 x sinx c) Här använder vi produktregeln och får derivatan f (x) = cosx cosx + sinx ( sinx) = cos 2 x sin 2 x 7. meter L 0, 75 meter M 0, 75 Vi beräknar höjden genom att sätta in t = 10 i h (t). (2/0/0) Då får vi h (10) = 0, 5 + 0, 5cos (0 10) = 0, 75 meter

5 8. +1 C Avgör att det är fel samt anger den korrekta lösningen, tex på formen f (x) = 4 sin(2x) cos(2x) +1 E åvisar att han har gjort fel och motiverar detta R +1 C Motiverar att felet är att han har missat att det finns två inre funktioner. R Han gör fel pga att han missar att det finns två inre funktioner. (1/2/0) Vi skriver om funktionen till y (x) = si n 2 (2x) = (sin (2x)) 2 har den inre funktionen som i sin tur har en inre funktion y (x) g (x) = sin (2x) k (x) = 2x Alltså är derivatan y (x) = 2 g (x) g (x) k (x) = 2 (sin (2x)) cos (2x) 2 = 4sin (2x) cos (2x)

6 9. +1 C åbörjar en lösning av ekvationen och får fram en eller flera lösningar. +1 A Får fram alla lösningar +1 C Kommer fram till ett eller flera rimliga intervall. +1 A Löser hela problemet med korrekt intervall (utifrån val av höjd) +1 C Ställer upp en korrekt ekvation +1 A Använder ett korrekt matematiskt språk. a) L L M 2 + 2, 0 cos ( ) = 1 K (0//) Vi vet att barnen är 120 cm = 1, 2 m långa. Vi kan anta att deras huvuden är cirka 20 cm höga så vi kan söka efter då y 1 m. Det kan vi ta reda på genom att lösa ekvationen 2 + 2, 0cos ( ) = 1 Subtrahera med 2 2, 0cos ( ) = 1 Dela med 2 cos ( ) = 1 2 cosinusinvers cos ( ) = ±arccos ( 1 2 ) + n 2π Formelblad ger exakt trigonometriskt värde 2π = ± + n 2π Multiplicera med π för att få t ensamt 2π t = ± + n 2π π π Förenkla där t = ±4 + 12n n = 0, 1, 2,... Under de första 24 timmarna kommer vi ha värden där t = 1 vid fyra tillfällen, nämligen då

7 t 1 = = 8 h t 2 = 4 h t = = 1 h t 4 = = 20 h Du kan verifiera hur kurvan ser ut genom att rita ut den, då ser du också att vattennivån är lika med eller mindre än 1 meter mellan tidpunkterna 4 t 8 och 1 t 20. Om du inte använder en grafritare för detta så kan du sätta in värdena och och se att dessa y värden är mindre än y = 1. Därmed är vattennivån i dessa intervall lägre än 1 meter. t = t = 18 Vi kan då svara att stranden är badvänlig för barnen mellan tidpunkterna till till