2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad

Transkript

1 146 a v = 38 v = 38 omvandlingsfaktor rad v = rad v = rad v 0.7 rad c v = 90 v = 90 omvandlingsfaktor rad v = rad v = rad v 5.1 rad b v = 196 v = 196 omvandlingsfaktor rad v = rad v = rad v 3.4 rad

2 147 Vinkel i grader v = 0 v = 30 v = 45 v = 60 v = 90 v = 10 Vinkel i radianer v = 0 rad = 0 rad 180 v = rad = 6 rad v = rad = 4 rad v = rad = 3 rad v = rad = rad v = rad = 3 rad 148 a v = 1.5 rad v = (1.5 omvandlingsfaktor ) v = ( ) v 86 v = 10 = 60 = ( 3 ) rad = 3 rad v = 135 v = rad = 3 4 rad v = 135 = 3 45 = (3 4 ) rad = 3 4 rad v = 150 v = rad = 5 6 rad b v = 0.8 rad v = (0.8 omvandlingsfaktor ) v = ( ) v 46 v = 150 = 5 30 = (5 6 ) rad = 5 6 rad v = 180 v = 10 v = 180 rad = rad 180 v = rad = 7 6 rad v = 10 = 7 30 = (7 6 ) rad = 7 6 rad v = 70 v = rad = 3 rad v = 70 = 3 90 = (3 ) rad = 3 rad v = 360 v = rad = rad

3 c v = 6.3 rad v = (6.3 omvandlingsfaktor ) v = ( ) v a Area cirkelsektor = andel hela cirklens area A = v 360 r Då 360 = rad fås A = v r A = v r sätt in värden på v och r A = A = A 14 cm d v = 4.1 rad v = (4.1 omvandlingsfaktor ) v = ( ) v 35

4 b Area cirkelsektor = andel hela cirklens area A = v 360 r Då 360 = rad fås A = v r A = vr sätt in värden på v och r 5 A = 6 A = A = 5 3 A 5. dm 150 a Cirkelbåge = andel omkrets b = v 360 r Då 360 = rad fås b = v r b = v r Lös ut v v = b r Kommentar: Hur många radier lång är cirkelbågen, svarar på frågan hur stor vinkeln är i radianer. Sätt in värden på b och r v = v.3 rad

5 b Cirkelbåge = andel omkrets b = u 360 r Då 360 = rad fås b = u r b = u r Lös ut v 151 a Lösningsförslag 1 sin 3 = 3 kan fås ur kursens formelblad u = b r Kommentar: Hur många radier lång är cirkelbågen, svarar på frågan hur stor vinkeln är i radianer. Sätt in värden på b och r u = v = v 0.6 rad Lösningsförslag Omvandla till grader rad = 360 rad = 180 sin 180 = sin = sin sin 60 har ett exakt värde, som finns i kursens formelblad, se bild ovan sin 60 = 3

6 b Lösningsförslag 1 cos = 0 om detta inte direkt inses så kan det fås ur kursens formelblad c sin 3 rad har inget exakt värde, så beräkningen utförs lämpligen med en räknare, som är inställd på radianer. sin Lösningsförslag Omvandla till grader rad = 360 rad = 180 cos = cos 180 = cos 90 = 0 d cos 4.5 rad har inget exakt värde, så beräkningen utförs lämpligen med en räknare, som är inställd på radianer. cos

7 15 a sin x = 0.5 Fall 1 x = sin 1 (0.5) + n sin 1 (0.5) = sin 1 ( 1 ) = 6 rad b cos x = 0 cos x = 0.5 x = ±cos 1 ( 0.5) + n Fall 1 x = cos 1 ( 0.5) + n cos 1 ( 0.5) = cos 1 ( 1 ) = 3 rad x = 6 + n Fall x = sin 1 (0.5) + n x = 6 + n x = n x = 3 + n Fall x = cos 1 ( 0.5) + n x = 3 + n Svar: x = 6 + n x = n Svar: x = 3 + n x = 3 + n = n

8 c sin x = 1 x = sin 1 ( 1) + n Vi kan lösa denna uppgift genom att betrakta enhetscirkeln d tan x = 1 3 x = tan 1 ( 1 3 ) + n 180 Det finns endast en vinkel per varv som uppfyller ekvationen sin x = 1 och det är v = 70 = 3 Svar: x = 3 + n x = 6 + n 180 Svar: x = 6 + n 180 Lösningsalternativ tan x = 1 3 Skriv om ekvationen VL tan x = sin x cos x HL dela både täljare och nämnare med tan x = sin x cos x = 1 = Den vinkel som har sinusvärdet 1 och cosinusvärdet 3 är 30 = 6 tan 6 = sin 6 cos = 6 1 = Svar: x = 6 + n 180

9 153 a cos (x 3 ) = cos (x 3 ) = x 3 = ± cos 1 ( ) + n x = 3 ± cos 1 ( ) + n Fall 1 x = 3 + cos 1 ( ) + n = = = 1 b sin x = 3 Fall 1 x = sin 1 ( 3 ) + n x = 3 + n x = 3 + n x = 6 + n Fall x = sin 1 ( 3 ) + n x = n x = n x = 7 + +n 1 Fall x = 3 cos 1 ( ) + n x = n x = n x = + +n 1 x = 3 + n x = 3 + n x = 3 + n x = 3 + n Svar: x = 6 + n x = 3 + n Svar: x = + +n 1 x = 7 + +n 1

10 c tan (x + 1 ) = 1 x + 1 = tan 1 (1) + n d tan (x 3 ) = 3 x 3 = tan 1 ( 3) + n x + 1 = 4 + n x = n x = n x = n x = 1 + n x = 6 + n x 3 = 3 + n x = n x = 3 + n x = 3 + n x = 3 + n Svar: x = 6 + n Svar: x = 3 + n

11 154 a tan(x 0.) = 3 x 0. = tan 1 (3) + n x = tan 1 (3) n x = tan 1 (3) n x = tan 1 (3) n tan 1 (3) har inget exakt värde, använd räknare tan 1 (3) x n b sin(x 0.) = 3 Sinus för en vinkel lika med tre??? Enhetscirkeln visar att 1 y 1 då y = sin x fås 1 sin x 1 vilket också kan uttryckas så att värdemängden V för sin x är V = {y R 1 y 1 } c cos ( x 0.) = 1 3 Fall 1 x 0. = cos 1 ( 1 3 ) + n x = 0. + cos 1 ( 1 3 ) + n x = 0. + cos 1 ( 1 3 ) + n x = cos 1 ( 1 3 ) + n 4 cos 1 ( 1 ) har inget exakt värde, 3 använd räknare cos 1 ( 1 3 ).86 x.86 + n 4 Fall x 0. = cos 1 ( 1 3 ) + n x = 0. cos 1 ( 1 3 ) + n x = 0. cos 1 ( 1 3 ) + n x = 0.4 cos 1 ( 1 3 ) + n 4 cos 1 ( 1 ) har inget exakt värde, 3 använd räknare 0.4 cos 1 ( 1 3 ).06 x.06 + n 4 Svar: Ekvationen saknar lösning då det inte finns några vinklar som gör att VL blir 3 Svar: x.86 + n 4 x.06 + n 4

12 155 Det mest kända vinkelmåttet är grader. Ett annat vinkelmått är radianer. Radianer kan definieras som: Den vinkel v en cirkelbåge av samma längd som radien upptar, sedd från cirkelns medelpunkt. 156 I en rätvinklig triangel ges sambandet mellan vinkeln och kateterna x och 8.1 av 5 tan 5 = x 8.1 x = 8.1 tan 5 räknaren inställd på radianer ger korrekt x 5.9 l. e. räknaren inställd på grader ger felaktigt x 0.1 l. e. För att gå ett varv i en enhetscirkel krävs drygt 6 radier eller exakt radier, därför säger vi att ett varv motsvaras av radianer = rad Kommentar: g och 0.63 ton är förstås inte lika mycket, På samma sätt är 0.63 grader inte lika mycket som 0,63 radianer, så enheten har betydelse. Enhetsbeteckningen rad utelämnas ofta men det görs inte med gradbeteckningen, så man kan se till exempel 360 = vilket ska tolkas som 360 grader lika med radianer

13 157 a Vinkeln ska omvandlas från radianer till grader. Vi vet att vinkeln som motsvarar ett varv är rad Vinkel i radianer Vinkel i grader = = 1 1 radian motsvarar 180 grader radianer motsvarar 180 grader x radianer motsvarar x 180 grader Slutsats: Multiplicera antalet radianer med omvandlingsfaktorn 180 Om vi istället vill omvandla från grader till radianer Multiplicera antalet grader med omvandlingsfaktorn 180 b Nedan visas hur vi kan använda sin(x) och arcsin(x) funktionerna i Geogebra för att omvandla från grader till radianer Beräkning Kommentar För att vinkeln ska beräknas i grader måste vi skriva in gradtecknet annars sker beräkningen i radianer arcsinus för sträckan 1 ger vinkeln 6 rad Vi har sålunda omvandlat 30 till 6 rad Vi gör en ny beräkning för 150 och får samma resultat som för 30 vilket är korrekt, då dessa vinklar är spegelvinklar för sinus arcsinus för sträckan 1 ger vinkeln rad vilket 6 inte är korrekt För att få rätt vinkel, den speglade, tag resultat ovan

14 158 a Area cirkelsektor = andel hela cirkelns area A = v 360 r b då 360 = rad fås A = v r A = v r A = vr c A = vr Lös ut v v = A r sätt in värden på A och r v = v 4.4 rad