2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90
|
|
- Roger Arvidsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar 90 till vinkeln x, så kommer den att "tidigareläggas" med 90 och således förskjuts grafen åt vänster y = sin(x + 90 ) Svar: C = 90
2 c I uppgiften framgår inte om vi ska förskjuta funktionens graf åt höger eller vänster. Vi börjar med vänster. Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar 180 till vinkeln x, så kommer den att "tidigareläggas" med 180 och således förskjuts grafen åt vänster y = sin(x ) Nu förskjuter vi grafen åt höger. Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 180 till vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 180 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 180 ) Betraktar vi graferna så ser vi att y = sin(x ) är identisk med y = sin(x 180 ) Vilket förklaras av att de är inbördes förskjutna 360 och sinus är periodisk med 360 Svar: C = 180 eller C = 180 ger samma resultat
3 d Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar π 4 till vinkeln x, så kommer den att "tidigareläggas" med π 4 radianer och således förskjuts grafen åt vänster y = sin (x + π 4 ) Svar: C = π a Utgå ifrån y = cos x Om vi subtraherar 40 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 40 och således förskjuts grafen åt höger Svar: y = cos(x 40 )
4 b Utgå ifrån y = cos x Om vi adderar 25 till vinkeln x, så kommer den att "tidigareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt vänster Svar: y = cos(x + 25 ) c Utgå ifrån y = cos x Om vi adderar π till vinkeln x, 6 så kommer den att "tidigareläggas" med π 6 radianer och således förskjuts grafen åt vänster Svar: y = cos (x + π 6 )
5 d Utgå ifrån y = cos x Om vi subtraherar 2π 5 till vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 2π 5 och således förskjuts grafen åt höger radianer Svar: y = cos (x 2π 5 )
6 2322 f(x) = sin(x 20 ) är förskjuten åt höger med 20, och har dessutom ingen höjdledsförskjutning, jämfört med y = sin x Den enda grafen vi kan välja är alternativ a) g(x) = sin(x 20 ) är förskjuten åt vänster med 20, och har dessutom ingen höjdledsförskjutning, jämfört med y = sin x Den enda grafen vi kan välja är alternativ c)
7 h(x) = sin x är inte förskjuten i sidled, dock har den en höjdledsförskjutning på 0.5 jämfört med y = sin x Den enda grafen vi kan välja är alternativ b)
8 2323 Graferna är endast förskjutna i x-led och kan därmed uttryckas som y = sin(x + C) Då 6 rutor i x-led motsvarar 180, motsvarar 1 ruta i x-led 30 Den gula grafen är förskjuten cirka 1 2 ruta åt vänster, 3 motsvarande 50 och får därmed funktionsuttrycket y = sin(x + 50 ) Den blåa grafen är förskjuten cirka 1 ruta åt höger, motsvarande 30 och får därmed funktionsuttrycket y = sin(x 30 )
9 2324 a Generell formel för sinusfunktionen y = A cos(bx + C) + D Amplitud Period Förskjutning x-led Förskjutning y-led A 2π B = 360 B C B D Kommentar: Sätt vinkeln för sinus lika med noll Bx + C = 0 x = C B y = 3 cos(x + 10 ) y = 3 cos(1 x + 10 ) + 0 Identifiera A, B, C och D A = 3 B = 1 C = 10 D = 0 Amplitud 3 Period 360 B = = 360 Kommentar: x-leds förskjutningen på 10 påverkar inte amplitud eller period. Svar: Amplitud 3, Period 360
10 b Generell formel för sinusfunktionen y = A sin(bx + C) + D Amplitud Period Förskjutning x-led Förskjutning y-led A 2π B = 360 B C B D Kommentar: Sätt vinkeln för sinus lika med noll Bx + C = 0 x = C B y = sin (2x + π 3 ) y = 1 sin (2x + π 3 ) + 0 Identifiera A, B, C och D A = 1 B = 2 C = π 3 D = 0 Amplitud 1 Period = 2π B = 2π 2 = π Kommentar: x-leds förskjutningen på π 6 påverkar inte amplitud eller period. Svar: Amplitud 1, Period π = 180
11 2325 a sin(2x + 40 ) = 3 2 Vid grafisk ekvationslösning utnyttjar vi att VL = HL Låt VL motsvara en funktion och HL en annan. Används Geogebra kan vi göra så här VL f(x) = sin(2x + 40 ) HL g(x) = 3 2 Kommentar: I skärningspunkterna har de båda ekvationerna samma funktionsvärde, f(x) = g(x) dvs VL = HL I Geogebra används kommandot Intersect för att skapa skärningspunkter Avläs x-värdet för skärningspunkterna vilket ger lösningarna till ekvationen. en lösning är x = 10 nästa lösning är 10 + perioden = = 190 sålunda är den ena lösningsmängden: x = 10 + n 180 en annan lösning är x = 40 nästa lösning är 40 + perioden = = 220 sålunda är den andra lösningsmängden: x = 40 + n 180 x = 10 + n 180 Svar: { x = 40 + n 180
12 Ekvationslösning med TI-räknare
13 b 2cos ( x 3 π 3 ) + 1 = 0 Vid grafisk ekvationslösning utnyttjar vi att VL = HL Nu är HL = 0 vilket grafisk motsvarar y = 0 dvs x-axeln VL f(x) = cos ( x 3 + π 3 ) HL : x-axeln I Geogebra används kommandot Roots för att skapa skärningspunkter med x-axeln Avläs x-värdet för skärningspunkterna vilket ger lösningarna till ekvationen. En lösning är x = 3π nästa lösning är 3π + perioden = 3π + 6π = 9π sålunda är den ena lösningsmängden: x = 3π + n 6π En annan lösning är x = 5π nästa lösning är 5π + perioden = 5π + 6π = 11π sålunda är den andra lösningsmängden: x = 5π + n 6π x = 3π + n 6π Svar: { x = 5π + n 6π
14 Ekvationslösning med TI-räknare
15 2326 y = sin (2x + π 4 ) Generell formel för sinusfunktionen y = A sin(bx + C) + D Amplitud Period Förskjutning x-led Förskjutning y-led A 2π B = 360 B C B D Kommentar: Sätt vinkeln för sinus lika med noll Bx + C = 0 x = C B Identifiera A, B, C och D A = 1 B = 2 C = π 4 D = 0 Förskjutningen i x-led ges av x = C π B = 4 2 = π 8 x är x-koordinaten för punkten P i grafen, dvs avståndet som y = sin (2x + π 4 ) förskjutits jämfört med y=sin (2x) som skär x-axeln vid x = 0 Svar: π radianer åt vänster 8
16 2327 Generell formel för sinusfunktionen y = A sin(bx + C) + D Amplitud Period Förskjutning x-led Förskjutning y-led A 2π B = 360 B C B D Kommentar: Sätt vinkeln för sinus lika med noll Bx + C = 0 x = C B Vi sammanfattar våra avläsningar för den röda och gula grafen i en tabell Röd Gul Amplitud 1 1 Period 6 rutor 6 rutor Förskjutning i x-led 0 0 Förskjutning i y-led 0 2 Den enda skillnaden mellan den röda och gula grafen är förskjutningen i y-led, som påverkas av konstanten D. Då röd graf beskrivs av y = sin 2x så kommer gul graf att beskrivas av y = sin 2x + 2 Svar: y = sin 2x + 2
17 Vi sammanfattar våra avläsningar för den röda och blåa grafen i en tabell Röd Blå Amplitud 1 1 Period 6 rutor 6 rutor Förskjutning i x-led 0 2 rutor höger Förskjutning i y-led 0 0 Den enda skillnaden mellan den röda och blåa grafen är att den blåa grafen är förskjuten i x-led 2 rutor höger. Förskjutning i x-led påverkas av konstanterna B och C, enligt samband ovan x = C B C = B x B = 2 x = 2 rutor, avläses i grafen som x-ledsförskjutningen hos den blåa grafen insätting ger C = 2 2 = 4 y = sin(2x + C) y = sin(2x 4rutor) Perioden för sin x är 2π Perioden för sin 2x är π Perioden avläses i grafen till 6 rutor, vilket betyder att en ruta motsvarar π 6 C = 4 rutor = 4 π 6 = 2π 3 Svar: y = sin (2x 2π ) = sin(2x 120 ) 3
18 2328 Generell formel för sinusfunktionen y = A sin(bx + C) + D Amplitud Period Förskjutning x-led Förskjutning y-led A 2π B = 360 B C B D Kommentar: Sätt vinkeln för sinus lika med noll Bx + C = 0 x = C B Avläsning i figur ger Amplitud: 3 A = 3 Period 4π Period = 2π B B = 2π period = 2π 4π = 1 2 Förskjutning i x-led: 0 C = 0 Förskjutning i y-led: 2 D = 2 Insättning ger y = A sin(bx + C) + D y = 3 sin ( 1 2 x + 0) + 2 y = 3 sin x Svar: y = 3 sin x 2 + 2
19 Avläsning i figur ger Amplitud: 2 A = 2 Period 2π Period = 2π B B = 2π period = 2π 2π = 1 Förskjutning i x-led: π 6 x = C B C = Bx C = 1 ( π 6 ) = π 6 Förskjutning i y-led: 2 D = 2 Insättning ger y = A sin(bx + C) + D y = 2 sin (1 x + π 6 ) + 2 y = 2 sin (x + π 6 ) + 2 Svar: y = 2 sin (x + π ) + 2 = 2 sin(x + 30 ) + 2 6
20 2329 Varje cosinus funktion y = cos x kan skrivas som en sinusfunktion mha identiteten cos(x) = sin(x + 90 ) sinus ligger 90 efter cosinus y = cos(2x + 60 ) + 1 y = sin(2x ) + 1 y = sin(2x ) + 1 Vi ser att graferna för funktionerna f(x) = cos(2x + 60 ) + 1 g(x) = sin(2x ) + 1 överlappar varandra. Svar: y = sin(2x ) + 1
21 2330 Vår uppgift är att hitta den trigonometriska funktion f(x) som uppfyller de tre villkoren f ( π 6 ) = 2 f (π 2 ) = 3 f(π) = 1 Alla trigonometriska funktioner kan skrivas som en sinusfunktion på formen f(x) = A sin(bx + C) + D vilken innehåller fyra obekanta A, B, C och D För att lösa den krävs fyra samband men vi har endast tre, så för att komma vidare måste vi anta någon av A, B, C eller D. För att beräkningarna ska bli så enkla som möjligt när vi ställer upp ett ekvationssystem så antar vi både B och C. Sålunda sätt B = 1 och C = 0 (vi antar ingen förändring av perioden och ingen förskjutning i x-led) f(x) = A sin(1 x + 0) + D f(x) = A sin x + D 2 = A sin π 6 + D 3 = A sin π 2 + D { 1 = A sin π + D sedan tidigare vet vi att sin π 6 = 1 2 sin π 2 = 1 { sin π = 0 insättning ger 2 = A 1 { 2 + D 3 = A 1 + D 1 = A 0 + D 2 = A { 2 + D (1) 3 = A + D (2) D = 1 (3) (3) i (2) ger A = 2 Lösning { A = 2 D = 1 f(x) = 2 sin x + 1 Testa de tre villkoren, extra viktigt då vi gjort antagandena B = 1 och C = 0 f ( π 6 ) = 2 VL = 2 = 2 sin π = = 2 = HL f ( π 2 ) = 3 VL = 3 = 2 sin π = = 3 = HL f(π) = 1 VL = 1 = 2 sin π + 1 = = 1 = HL Svar: f(x) = 2 sin x + 1
22 EXTRA 1 Om vi ser vår uppgift som ett geometriskt problem så innebär det att finna en trigonometrisk funktion vars graf går igenom de tre punkterna i koordinatsystemet. I Geogebra kan man tänka sig att göra en prövning. Att pröva med en obekant är enkelt. Att pröva med två obekanta är svårt. Att pröva med fler än två obekanta utan ytterligare information kan betraktas som praktiskt omöjligt, så vi måste som ovan antaga att B = 1 och C = 0 och sedan justera värdena på A och D.
23 EXTRA 2 I de flesta matematikprogram och räknare finns verktyg för att finna (trigonometriska) funktioner som passar till givna punkter. I Geogebra används kommandot FitSin[< list of points >] Det krävs dock att vi känner minst fyra punkter då det generella uttrycket som beskriver trigonometriska funktioner f(x) = A sin(bx + C) + D innehåller fyra obekanta konstanter A, B, C och D. Om vi känner, eller lyckas gissa, ytterligare en punkt till exempel ( 3π, 1) fås i Geogebra nedanstående funktion och graf. 2
24 2331 För att visa att f(x) = g(x) används identiteten sin x = cos(90 x) vinkeln x och (90 x) är komplementvinklar f(x) = sin(x + 10 ) = använd identitet ovan cos(90 (x + 10 )) = ta bort inre parentes cos(90 x 10 ) = cos(80 x) = bryt ut ett minustecken cos( (x 80 )) = cos( x) = cos x cos(x 80 ) = g(x) Grafen visar att f(x) och g(x) sammanfaller Kommentar: Vissa trigonometriska funktioner kan förskjutas med en viss vinkel så att en ny trigonometrisk funktion fås, som uttrycker precis samma sak. sin(x + 90 ) = cos x (sinus ligger 90 efter cosinus, därför ökas vinkeln x med 90 ) cos(x 90 ) = sin x (cosinus ligger 90 före sinus, därför minskas vinkeln x med 90 )
2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat
2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln
Läs merFall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π
48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =
Läs mersin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x
33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merAvsnitt 5, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 5:1 5:1 Avsnitt 5, introduktion. Radianer Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2
Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.
Läs mera3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.
MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 juni Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan
Läs merTrigonometriska funktioner och deras derivata
Trigonometriska funktioner och deras derivata Tid: 80 minuter Hjälpmedel: Grafräknare, Formelblad & Linjal 1. 2 1 1,5 π 2π Amplituden är "höjden" på kurvan från jämviktsläget. Här gäller att amplituden
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs mera (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.
TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x) a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x) a har lösningar endast om a (eftersom sin( x ) ) Exempelvis, ekvationen sin( x) saknar lösningar Uppgift
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 4 GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merMatematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer
Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande
Läs merUppgiftshäfte Matteproppen
Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merockså en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x ) = a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x ) = a har lösningar endast om a (eftersom sin( x )
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merGeometri och Trigonometri
Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner
Läs merRumsuppfattning är förmågan att behandla sinnesintryck av former
Güner Ahmet & Thomas Lingefjärd Tredimensionellt tänkande Tredimensionella matematiska representationer är inte särskilt vanliga i skolans matematikkurser, med undantag för kurs 3 5 i gymnasiet. Varför
Läs mer2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad
146 a v = 38 v = 38 omvandlingsfaktor rad v = 38 180 rad v = 0.663 rad v 0.7 rad c v = 90 v = 90 omvandlingsfaktor rad v = 90 180 rad v = 5.061 rad v 5.1 rad b v = 196 v = 196 omvandlingsfaktor rad v =
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merRäta linjens ekvation & Ekvationssystem
Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs mer5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2
MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 5 november 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merVektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)
1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 6..019 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 2b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs mer7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.
MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 1 januari 01 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag
Hans Thunberg KTH Matematik SF66 Perspektiv på matematik Tentamen 0 oktober 0 kl 08.00.00 Svar och lösningsförslag () Bestäm ekvationen för den cirkel som passerar genom punkten (, 4) och har sin medelpunkt
Läs merKomplexa tal. Sid 1: Visa att ekvationerna på sid 1 saknar reella lösningar genom att plotta funktionerna.
Komplexa tal Komplexa tal stötte vi på redan i kurs 2 i samband med lösningar till andragradsekvationer. Detta är startpunkten för denna ganska omfattande aktivitet om komplexa tal, som behandlas i kurs
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merTrigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003
Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 1 Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mervux GeoGebraexempel 2b/2c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 2b/2c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 31 Repetition Lekt 9 Bestäm största värdet av 5 sin v + 12 cos v. Staffan Lundberg M0038M
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 1c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merBlock 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd
Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs merRepetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner
Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merTentamen i Matematik, del B, för Tekniskt basår
Tentamen i Matematik, del B, för Tekniskt basår Kurskod: MVE45 B Telefonvakt: tel. Datum: 4 augusti 016 Tid för tentamen: 14.00-18.00 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser: Betyg : 0-1, Betyg 4: - 41, Betyg 5:
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merTentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19
Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Tillåtna hjälpmedel: Godkänd räknare, bifogad formelsamling. Jourtelefon:
Läs mer14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.
PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade
Läs merLaboration 2, M0043M, HT14 Python
Laboration 2, M0043M, HT14 Python Laborationsuppgifter skall lämnas in senast 19 december 2014. Förberedelseuppgifter Läs igenom teoridelen. Kör teoridelens exempel. Teoridel 1 Att arbeta med symboliska
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 005. Anvisningar NATIONELLT
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merEn samling funktionspussel för gymnasienivå
En samling funktionspussel för gymnasienivå ü Pusslenas idé Det är lätt att snabbt rita många funktionsgrafer med en grafisk räknare, men hur är det med elevernas vana och förmåga att utläsa information
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merInstitutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning
Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning
Läs mervux GeoGebraexempel 1b/1c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 1b/1c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs mer5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor
5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merInociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson
Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner i Förord Detta är en inociell lösningsmanual
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 2c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merLaboration 1. Ekvationslösning
Laboration 1 Ekvationslösning Sista dag för bonuspoäng, se kursplanen. Kom väl förberedd och med välordnade papper till redovisningen. Numeriska resultat ska finnas noterade. Båda i laborationsgruppen
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merOptimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut
Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går
Läs merför Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår
Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare
Läs mer2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x
Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merx) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten > 4 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3( ) < (3 + ), och uttrck lösningen som ett intervall
Läs merHantera andragradskurvor del 2
Hantera andragradskurvor del I den första aktiviteten om andragradsfunktioner tittade vi på hur utseendet på kurvorna när vi hade olika värden på k, a och b i ut- trcket k ( x a) b. Se nedan. Vi ser att
Läs merLösning av trigonometriska ekvationer
Lösning av trigonometriska ekvationer Uppsala universitet 06 Per Engström per.engtrom@math.uu.se Inledning För att lösa problem i som innehåller trigonometriska funktioner kan mab bahöva lösa trigonometriska
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs mer