Lösning av trigonometriska ekvationer

Transkript

1 Lösning av trigonometriska ekvationer Uppsala universitet 06 Per Engström Inledning För att lösa problem i som innehåller trigonometriska funktioner kan mab bahöva lösa trigonometriska ekvationer. De är ekvationer där den okända variabeln ligger inuti en trigonometrisk funktion, eempelvis som har oändligt många lösningar. sin = Jag har därför slängt ihop det här kompendiet som en kort repetition av det vi lärde oss om trigonometriska ekvationer i baskursen. Enkla trigonometriska funktioner För att göra det här pedagogiskt tittar vi på enklast möjliga ekvationer först och fokuserar på detaljer, så kan vi fokusera på hur vi löser svårare problem senare. De enklaste ekvationerna är de där högerledet är 0. Sinus Vi börjar med att titta på den enklaste möjliga ekvationen: sin = 0. Om vi tittar på enhetscirkeln ser vi att sin bara antar värdet 0 för = 0 och =. Eftersom sin är periodisk med perioden kan vi lägga till valfritt antal hela varv till lösningarna för att få nya lösningar. Eempelvis är = + = 3 en lösning. Det finns alltså oändligt många lösningar. Vi kan beskriva det med ett obestämt heltal n Z som symboliserar antalet hela varv vi har lagt till. Vi har då två lösningsmängder som baserar sig på varsin ursprungslösning: 0 + n n Z} + n, n Z}. I det här enkla fallet kan vi förenkla lösningen något. Om vi börjar skriva upp lösningar ser vi snabbt ett mönster...,,, 0,,, = n för n Z

2 som ger oss den ekvivalenta lösningsmängden n n Z}. Cosinus Vi kan snabbt lösa ekvationen cos = 0 genom att återigen titta på enhetscirkeln för att se lösningarna = och =. Även cosinus har perioden, så lösningsmängden kan skrivas } + n n Z } + n n Z =..., 3,,, 3,... som kan förenklas till } + n n Z Tangens För att lösa tan = 0 använder vi oss av identiteten tan = sin cos vilken är 0 endast om täljaren är 0, vilket ger oss samma lösningar som sinusproblemet ovan. För nollskiljda högerled ärsitutionen lite mer komplicerad, så vi tittar på det härnäst. Typ normalsvåra trigonometriska funktioner Nu ska vi försöka lösa ekvationer där högerledet kan vara vilket tal som helst (så länge det ligger i funktionens värdemängd, i alla fall). Sinus Vi vill nu lösa den lite mer komplicerade ekvationen sin = a för något a. För att vara konkret säger vi att a =. Vi tittar i en teckentabell och ser att på enhetscirkeln är vinkeln = 6 = 60 en lösning. Finns det fler? Om vi tittar lite närmare på enhetscirkeln ser vi att det finns två vinklar där sin = y = som vi ser i den här bilden.

3 y (cos v, sin v) v u (cos u, sin u) Den ena är = 6 = 30 och den andra är = 6 = = 50 = 5 6. Det är generellt så att sinus har två lösningar på enhetscirkeln. Den ena i högra halvcirkeln och en i vänstra. De kommer ge upphov till varsin lösningsmängd som generellt inte kan förenklas. De två lösningarna förenas med evationen v = u. Enda undatagen är u = v = och u = v = I det här eemplet får vi den slutgiltiga lösningen } 6 + n n Z som endast ger en lösningsmängd. } 5 + n, n Z 6 Den generella lösningen När vi löser ekvationen sin = a får vi två lösningsmängder som vi sedan tar unionen av. De två mängderna kan beskrivas som = arcsin a + n n, m Z = arcsin a + m Detta ger oss samtliga lösningar. Funktionen arcsin ger oss alltid lösningen i det högra halvcirkeln. Cosinus Även cosinus har två lösningar. I fallet med sinus skilde sig de två lösningarna genom v = u. För cosinus har vi istället v = u. som vi kan övertyga oss med följande figur

4 y (cos u, sin u) u v (cos v, sin v) Det är även så att cosinus har två lösningar på enhetscirkeln, med undantagen u = v = 0 och u = v =. Den generella formeln är = arccos a + n n, m Z = arccos a + m Funktionen arccos ger oss alltid lösningen i övre halvcirkeln. Tangens Tangens skiljer sig från sinus och cosinus i att den har perioden istället för. Den har även bara en lösningmängd. För tan = a gäller generellt = arctan a + n, n Z. Annat argument än Hittils har alltid argumentet varit precis. Vad händer om vi har sin = eller cos = istället? I de fallen ser lösningarna likadana ut, men vänsterledet ser ut som argumentet. Vi kan då lösa för. De två lösningarna är således = 6 + n = = m n, m Z = + n = 5 + m n, m Z och = 3 + n = 3 + m n, m Z = = ( 3 + n) = ( 3 + m) n, m Z.

5 Uttryck med kvadrater Säg att vi har ett uttryck sin sin = 4. Vi kan lösa sådana ekvationer genom att göra ett variabelbyte sin = u och får då ett polynom u u = 4. som vi kan lösa. I det här fallet får vi lösningarna u = och u = 3. Detta kommer ge upphov till fyra lösningsmängder, två för varje rot, sin = och sin = 3. Det vill säga } } } } n n Z 6 + n n Z 3 + n n Z 3 + n n Z Tänk på att vi kan få falska rötter här, eftersom u för en giltig lösning. Blandade trigonometriska funktioner Om vi har flera olika trigonometriska funktioner i samma uttryck behövr vi använda identiteter för att skriva om det. Betrakta sin = cos 3. Det finns en identitet som säger att sin ( v) = cos v, vilket ger oss ( ) sin = sin 3. Detta ger två fall. Antingen är argumenten lika (upp till period) eller så skiljer de sig enligt v = u. = 3 + n = ( 3) n, m Z + m som har lösningarna = n = + m n, m Z Detta kan visualiseras på enhetscirkeln, blå för den övre och röd för den undre lösningen. y