Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).
|
|
|
- Torbjörn Öberg
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen f( har gränsvärdet A, då går mot talet a om följande gäller: Till varje ε > 0 (oavsett hur litet ε är finns det ett tal δ > 0 sådant att. funktionen f( är definierad för ( a δ, a ( a, a δ.. (0< a < δ f( A< ε Vi skriver då a f ( A (eller f( A då a Anmärkning. Talet δ i ovanstående definition är ( i allmänt beroende av ε så att vi kan skriva δ( ε istället. Anmärkning. Uttrycket 0< a < δ kan skrivas på ekvivalent sätt a < δ, a eller ( a δ, a ( a, a δ. Anmärkning. Lägg märke till att i ovanstående definition, på grund av kraven a, spelar det inte någon roll om funktionen f( är definierad i punkten a (Om f( är definierad i a då spelar det inte någon roll vilket värde funktionen har i punkten a På liknade sätt definieras ensidiga gränsvärden aa ff(, ff( aa samt gränsvärden då, och. (Vi anger definitioner för de här fallen samt oegentliga gränsvärden i slutet av den här stencilen Eempel. Visa med hjälp av definitionen att ( 0 av 0
2 Lösning: Låt ε > 0 vara ett reellt tal. Vi undersöker uttrycket f( A ssssss (* Eftersom är mindre än ε om är mindre än ε/ ser vi att vi kan t e välja δ ε ; då gäller f( < ε ε om 0 < 0 < δ. Vi har bevisat, enligt definitionen att 0 (. Vi ser att det är svårt att beräkna gränsvärden med hjälp av definitionen men, med hjälp av definitionen, härleds nedanstående räkneregler, som därefter används vid beräkning av olika typer av gränsvärden. Räkneregler:. Om aa ff( 0 och funktionen gg( är begränsad i en omgivning till punkten a [dvs. det finns ett konstant tal M så att gg( MMi omgivningen] då gäller aa ff(gg( 0. Om aa ff( A och gg( B, där A och B är reella tal, aa då gäller : ( ff( gg( AB aa ( ff( gg( AAAA aa ( ff( aa gg( AA BB, oooo BB 0. Om ff( gg( i en omgivning till a då är ff( gg( aa aa gränsvärdena eisterar. (om. INSTÄNGNINGSREGELN. Om ff( h( gg( och dessutom f ( g( A då är även h( A > a > a > a Anmärkning: Instängningsregeln framgår från egenskap eftersom av 0
3 f ( h( g( f ( h( g( A h( A Därför h( A > a > a > a > a > a Uppgift. Bevisa, med hjälp av definitionen, ovanstående räkneregler. ( Beviset finns i de flesta analysböcker Ensidiga gränsvärden. I nedanstående uppgifter betecknar vi enligt följande: aa Vänstergränsvärdet av funktionen f( i punkten aa aa Högergränsvärdet av funktionen f( i punkten aa Eempel. fförr < Låt f( fförr fförr > y Bestäm 0 a ff(, bb ff( ooooh cc ff( Svar: aa ff( bb ff( cc ff( Om de två ensidiga (enkelsidiga gränsvärden är lika av 0
4 ff( AA aa ff( AA aa då och endast då gäller ff( AA aa ( Alltså, llllll aa ff( eisterar endast om de ensidiga gränsvärdena är lika. Definition aanta att funktionen f ( är definierad i ett öppet intervall runt punkten a. Funktionen ff( är kontinuerlig i punkten a om aa Annars är den diskontinuerlig i punkten a. ff( ff(aa Eftersom aa ff( ff(aa är ekvivalent med aa ff( aa ff( ff(aa har vi en ekvivalent definition Definition b Funktionen ff( är kontinuerlig i punkten a om ff( ff( ff(aa aa aa I teoretiska problem används ofta följande ε-δ definition av kontinuerliga funktioner: Definition e Funktionen ff( är kontinuerlig i punkten a om till varje ε > 0 finns det ett tal δ > 0 sådant att ( a < δ ( f( f(a< ε Vänsterkontinuerlig och högerkontinuerlig funktion Definition c Funktionen ff( är vänsterkontinuerlig i punkten a om ff( ff(aa aa Definition d Funktionen ff( är högerkontinuerlig i punkten a om ff( ff(aa aa av 0
5 KONTINUITET I ETT INTERVALL OCH PÅ HELA DEFINITIONSMÄNGDEN Definition f En funktion är kontinuerlig i intervallet (a, b om den är kontinuerlig i varje 0 i (a, b.en funktion är kontinuerlig i intervallet [a, b] om den är kontinuerlig i varje 0 i (a, b samt högerkontinuerlig i a och vänsterkontinuerlig i b. Vi säger att en funktion är kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i hela definitionsmängden. Elementära funktioner: De elementära funktionerna är polynom, rationella funktioner, potensfunktioner, eponentialfunktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner, inversa trigonometriska funktioner och alla kombinationer av dessa med hjälp av de fyra räknesätten och sammansättning. ln( sin Eempelvis är y är en elementär funktion medan 8 fförr < f( fförr är inte elementär. fförr > VIKTIGT: Sats: Alla elementära funktioner är kontinuerliga funktioner ( i sina definitionsmängder. n Alltså är y, n positivt heltal, n y, 0 n positivt heltal, p y, > 0 p ett reellt tal (men ej heltal, y sin, y cos, sin π cos y tan(, nπ, y cot(, nπ, cos sin y, y, y e, y a, a > 0, y arcsin,, y arccos,, y arctan, y arccot kontinuerliga funktioner (i sina definitionsmängder. Samma gäller med alla kombinationer av dessa med hjälp av de fyra räknesätten och sammansättning Om ff( och gg( är kontinuerliga då är av 0
6 ff(gg(, ff( gg( och ff( gg( ddärr gg( 0 också kontinuerliga funktioner. Eempelviss är en kontinuerlig funktion om ±. Eempel Bestäm. ff(. ff(. ff(. ff( ( oooo dddddd ffffffffff och avgör om ff( är kontinuerlig i punkten då fförr < a f ( / fförr fförr > fförr < b f ( fförr fförr > Svar: a. ff(. ff( /. ff( y. Eftersom de ensidiga gränsvärden är lika ff( ff( finns det 0 ff(. Funktionen är inte kontinuerlig i punkten eftersom, t e, ff( ff(. b. ff( 6 av 0
7 . ff(. ff(. Eftersom dem ensidiga gränsvärden är lika ff( ff( finns det ff(. y Funktionen är kontinuerlig i punkten eftersom ff( ff( ff(. Eempel. ( Viktigt eempel Låt ff(. Funktionen ff( är inte f(/ definierad i punkten 0. Bestäm med hjälp av funktionens graf följande gränsvärden a 0 c bb 0 dd Svar: aa 0 Alternativt kan vi skriva om 0. { Vi kan använda föregående resultat som minnesregel " "; endast som 0 minnesregel eftersom det är inte definierat att dela med 0. } bb 0 Alternativt kan vi skriva om 0. 7 av 0
8 { Vi kan memorera resultat som " 0 " men endast som minnesregel eftersom det är inte definierat att dela med 0. } c dd 0 0 { Vi kan memorera resultat som " 0"} Beräkning av gränsvärdena I samband med beräkning av gränsvärdena kallar vi följande uttryck för obestämda uttryck: 0 0,, 0,, 00,, 0. När vi får ett obestämt uttryck vid direkt beräkning av ett gränsvärde, skriver vi om funktionen, förenklar och därefter försöker igen beräkna gränsvärdet. Ibland krävs det kompletterande undersökningar, variabelbyten, L Hospitals regel o dyl. Nedan finns några eempel. A Rationella uttryck där går mot ett reellt tal Eempel. Beräkna följande gränsvärde >. Lösning: Om vi substituerar direkt i 0 får vi det obestämda uttrycket. 0 Därför förkortar vi först bråket med. [ Vi kan faktorisera täljaren och nämnaren, och förkorta bråket därefter. Alternativt, kan vi dela täljaren och nämnaren med (-.] > ( ( > ( > Svar: > Eempel. Beräkna följande gränsvärde 8 av 0
9 > Lösning: Om vi substituerar i. får vi det obestämda uttrycket 0 0. Detta betyder att både, täljaren och nämnaren är delbara med (-. Det är inte uppenbart hur vi ska faktorisera täljaren. Därför delar vi ( med (- ( polynomdivision och får ( / (- ( kontrollera själv Nu har vi ( ( > ( ( > > Svar: Uppgift. Beräkna följande gränsvärden: Svar: 0 / -/ -/ 0 6 -/ /0-0 / /7 / B Rationella uttryck där går mot Vid beräkning av gränsvärdena där går mot utnyttjar vi ofta att av 0
10 00 om Eempel 6. Beräkna a > b > c > Lösning: Vi bryter ut i täljaren den potens som har störst eponent och samtidigt nämnarens största potens och därefter förkortar bråket. ( Alternativ: Man kan i början förkorta bråket med största potensen > b ( ( ( med förkortar > > 0 ( ( > c ( ( ( med förkortar > > > ( ( ( ( med förkortar a > > 0 av 0
11 Svar: a b 0 c Uppgift. Beräkna följande gränsvärden: a 00 > 00 b > 00 c > d > e > f > a Lösning: 00 > 00 > 00 ( 00 ( 00 > 00. Svar: a / b 0 c d e f 0 C Rotuttryck Eempel 7. Beräkna följande gränsvärde Lösning: >. (Anmärkning: Om vi substituerar får vi uttrycket 0. Därför förenklar vi uttrycket 0 först och substituerar efter förenkling. Eempel 8. Beräkna följande gränsvärde a > b > c 6 > Lösning: av 0
12 a > ( ( ( > > ( ( ( > b ( ( > > ( ( > ( ( ( > ( ( 8 c 6 > > 6 ( > (6 ( > ( ( > ( 8 Svar a b 8 c 8 Uppgift. Beräkna följande gränsvärde a 0 b c d a Lösning: 0 0 ( ( ( ( 0 ( 0 Svar a / b c -/ d 60 Standardgränsvärdet av 0
13 ssssssss ( AAAAAA: VVVVVVVVVVVVVV ärr ii rrrrrrrrrrrrrrrr. 0 Eempel. Beräkna ssssss 0 Lösning: Direkt substitution ger ett obestämt uttryck 0 0. VVVV ssssssssssssssssssssssss tt (ssssss ärr eeeeeeeeeeeeeeeeeeee mmmmmm tt/. Dessutom 0 ärr eeeeeeeeeeeeeeeeeeee mmmmmm tt 0 tt 0 ssssssss tt/ tt 0 ssssssss tt ssssssss [eeeeeeeeeeeeeeee, ssssssssssssssssssssännnnnnärrrrrrrr] tt 0 tt Svar: ssssss / 0 Uppgift. Beräkna följande gränsvärden aa 0 ssssss(8 bb ssssss(tt tt 0 ssssss(8tt cc tttttt(yy yy 0 ssssss(yy dd yy 0 tttttt(yy ssssss(yy ee ssssss(hssssssss h 0 h Tipps för d Använd formeln ssssssss ssssssss cccccc( aabb ssssss(aabb ff ssssssss ππ ππ ssssss(aa g aa aa Lösning ( Lägg märke till att, för alla uppgifter, direkt substitution ger det obestämda uttrycket 0. 0 a 0 ssssss( ssssss(8 8 8 bb ssssss(tt tt 0 ssssss(8tt tt 0 ssssss(tt tt ssssss(8tt tt 8 av 0
14 tttttt(yy c yy 0 ssssss(yy d Svar: / yy 0 ssssss(yy ccccccyy ssssss(yy yy 0 ccccccyy ssssss(yy yy ssssss(yy yy ssssss(hssssssss cccccc( e h 0 h h 0 h ssssssh h [cccccc( h ssssss h h 0 h ] cccccc( 0 cccccccc Anmärkning: Vi har faktiskt i upp. e härlett och bevisat att derivatan av ssssssss är cccccccc. f För att få det standardgränsvärdet substituerar vi ππ tt och får ππ ssssssss ππ tt 0 ssssss(tt ππ tt [ vvvv tttttt bbbbbbbb ttttå pppppppppppppppp ππ] ssssss(ttππ tt 0 tt [ffffffffffffff: ssssss(ππ tt ssssssss] ssssss(tt tt 0 tt ssssss(aa g aa aa [ Substitution aa tt ] ssssssss tt 0 tt Uppgift 6. Kan man bestämma tal a så att funktionen ff( blir kontinuerlig i punkten om fförr < a f ( fförr aaaa fförr > aaaa fförr < b f ( fförr fförr > aaaa fförr < c f ( fförr fförr > a Lösning : av 0
15 Vänstergränsvärde i punkten : [ Lägg märke till att < ii detta fall, för, och därför väljer vi f(. ] Högergränsvärde i punkten : ff( ( ( Lägg märke till att > den här gången, för, och därför väljer vi f( a. Funktionens värde i punkten : ff( aaaa aa ff( Funktionen är kontinuerlig i punkten om Detta är sant om a. ff( ff( ff( Alltså är funktionen f( kontinuerlig i punkten om a. Svar : a Funktionen f( är kontinuerlig i punkten om a. b Funktionen f( är kontinuerlig i punkten om a. c Det finns inte a så att funktionen f( blir kontinuerlig i punkten. Här anger vi definitioner av olika typer av gränsvärden: FORMELLA DEFINITIONER AV HÖGER_ OCH VÄNSTERGRÄNSVÄRDEN Definition. ( Högergränsvärde Låt A och a vara reella tal. Vi säger att funktionen f( har högergränsvärdet A, då går mot a om följande gäller: Till varje (" litet tal" ε > 0 finns det ett tal δ > 0 så att. funktionen f( är definierad för (a, a δ. (a, a δ f( A< ε av 0
16 Vi skriver då a f ( A Definition. ( Vänstergränsvärde Låt A och a vara reella tal. Vi säger att funktionen f( har vänstergränsvärdet A, då går mot a om följande gäller: Till varje ( " litet tal" ε > 0 finns det ett tal δ > 0 så att. funktionen f( är definierad för (a δ, a och (a δ, a f( A< ε Vi skriver då a f ( A OBEGRÄNSADE FUNKTIONER. OEGENTLIGA GRÄNSVÄRDEN I ovanstående definitioner har vi antagande att A är ett tal. Nu definierar vi funktionens oegentliga gränsvärden och. Låt a vara ett reell tal. Låt f vara en reell funktion med definitionsmängden D f. Antag vidare att varje omgivning av punkten a innehåller andra punkter än a som ligger i funktionens definitionsmängd D f. Definition. Vi säger att funktionen f(, då går mot Till varje ( "stort tal" M > 0 finns det ett tal δ > 0 så att. funktionen f( är definierad för (a, a δ och. (a, a δ f( > M a om följande gäller: Vi skriver då a f ( Definition 6. Vi säger att funktionen f(, då går mot Till varje tal M < 0 finns det ett tal δ > 0 så att. funktionen f( är definierad för (a, a δ a om följande gäller: 6 av 0
17 och : (a, a δ f( < M Vi skriver då a f ( Om vi i de två ovanstående definitionerna ersätter (a, a δ med (a δ, a får vi definitioner för oegentliga gränsvärden då går mot a : a f ( och Eempel: Låt f ( ( a f (. Då gäller f (, f ( ( Den vertikala linjen kallas funktionens lodrät ( vertikal asymptot. GRÄNSVÄRDEN DÅ ± Definition 7a. Låt A vara ett reell tal. Vi säger att funktionen f( har gränsvärdet A, då går mot om följande gäller: Till varje ε > 0 finns det ett tal M > 0 så att. funktionen är definierad för > M och > M f( A < ε Vi skriver då f ( A På liknande sätt definieras betydelse av uttrycket f ( A. 7 av 0
18 Definition 7b. Låt A vara ett reell tal. Vi säger att funktionen f( har gränsvärdet A, då går mot om följande gäller: Till varje ε > 0 finns det ett tal M så att. funktionen är definierad för < M och. < M f( A < ε Vi skriver då f ( A Eempel: Låt sin f ( Då gäller f ( 0 och f ( 0. ( Den horisontella ( vågräta linjen y0 kallas funktionens vågrät ( horisontell asymptot. Eempel: Låt f ( sin I det här fallet eisterar inte gränsvärdet av f ( sin då > eftersom i varje interval ( b, antar funktionen f ( sin alla värden mellan och Eempel. Bevisa med hjälp av definitionen att > Bevis: Låt ε >0. Vi försöker finna ett (stort tal M ( som beror av ε så att 8 av 0
19 < ε för alla >M. Vi har < ( om > Sista gäller om > ( som vi kan anta eftersom ->. Alltså < Istället ε < kan vi därför lösa enkla olikheten ε < Eftersom ε < om ε > kan vi ta, ma( ε M. Då blir ε < < för >M. Alltså för varje ε >0 finns det M [Vi kan välja t e, ma( ε M ] sådant att < ε om M >. Enligt definitionen betyder detta att > vilket skulle bevisas. Uppgift 7. Bevisa med hjälp av definitionen att > Tips. Se ovanstående eempel Till slut anger vi definitionen för uttrycken av typ ± ± ( f. Definition 8. Vi säger att funktionen f( går mot då går mot om följande gäller: Till varje tal K > 0 ( oavsett hur stort är K finns det ett tal M > 0 så att. funktionen är definierad för >M av 0
20 och. > M f( >K Vi skriver då f ( Definition. Vi säger att funktionen f( går mot då går mot om följande gäller: Till varje tal K finns det ett tal M > 0 så att. funktionen är definierad för >M och. > M f( < K Vi skriver då f ( På liknande sätt definieras uttryck f ( och f ( Eempel: Låt f (. då gäller f ( och f (. 0 av 0
Ensidiga gränsvärden. I nedanstående uppgifter betecknar vi enligt följande:
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Ensidiga gränsvärden. I nedanstående uppgifter betecknar vi enligt följande: aa Vänstergränsvärdet av funktionen f( i punkten aa aa Högergränsvärdet av funktionen f( i punkten
Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+
lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
TMV225 Kapitel 3. Övning 3.1
TMV225 Kapitel 3 Övning 3. Bestäm gränsvärdet och bestäm δ som funktion av ε. a) lim 3 [ 2 3 + 5] Vi har givet att 3, och då funktionen är kontinuerlig får vi gränsvärdet ȳ 5 genom att stoppa in. Per definition
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Tips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.
ASYMPTOTER Definition. Den räta linjen är en lodrät (vertikal) asmptot till funktionen om å dvs om minst en av följande påståenden gäller lim, lim, lim lim Tips : Vertikala asmptoter kan finnas bland definitionsmängdens
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)
GRAFRITNING För att skissera (rita) grafen till en funktion y f () undersöker vi först några viktiga egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med och y-aeln, gränsvärdena f ( ), f ( )
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 5 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Teorifrå gor kåp
Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
INVERSA FUNKTIONER DEFINITION. (invers funktion) Låt ff vara en funktion av en reell variabel med definitionsmängden DD ff och värdemängden VV ff. Vi säger att funktionen ff är inverterbar om ekvationen
Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003
Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot.................... 4 2.2 Gränsvärden då går mot a.....................
601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.
Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning
Modul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.
Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater
ubbelintegraler. -koordinater UBBELINTEGRALER. Rektangulära ( koordinater efinition. Låt zf(, vara en reell funktion av två variabler och. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) i ändligt antal
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim
Tentamen (TEN) i MATEMATIK, HF 7 dec 7 Tid :-7: KLASS: BP 7 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Denna lapp lämnar du in
5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Några viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
III. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Gränsvärdesberäkningar i praktiken
Gränsvärdesberäkningar i praktiken - ett komplement till kapitel i analsboken Jonas Månsson När man beräknar gränsvärden använder man sig av en rad olika strategier beroende på det givna problemet. Avsikten
Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b
Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:
Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller avbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
SF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde
Lösning : Substitution
INTEGRALER AV RATIONELLA FUNKTIONER Viktiga grundeempel: Eempel. (aa 0) aaaabb aaaabb = tt = aa aa = aa llll tt CC llll aaaa bb CC aaaa bb = tt aaaaaa = = aa Eempel. (aaaabb) nn (nn, 0) (aaaa bb) nn =
Hjälpmedel: Endast bifogade formelblad (miniräknare är inte tillåten) Inga toabesök eller andra raster under den här kontrollskrivningen.
Kontrollskrivning i Matematik 1, HF1903, oktober 017, kl 815 1000 Version A Hjälpmedel: Endast bifogade formelblad (miniräknare är inte tillåten Inga toabesök eller andra raster under den här kontrollskrivningen
Kontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
SF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
TENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 8 jan 08 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Erik Melander, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
1 Primitiva funktioner
Primitiva funktioner Definition. F ( är en primitiv funktion till f( om F ( f(. Antag att vi har hittat en primitiv funktion F ( till f(. Finnsdetflerprimitivafunktionerochvilken form har de i så fall?
TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic
TENTAMEN 8 jan 0 Tid: 08.5-.5 Kurs: Matematik HF90 (6H90) 7.5p Lärare:Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras
Tentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning XII Mikael P. Sundqvist Vad handlar gränsvärden om? Det är en kamp mellan epsilon (ε) och delta (δ) analystens främsta verktyg! Klicka här för bild på Barry Simon Gränsvärde av f (x) då x +
f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L - 00 S 600 = 3 3 5 3850 = 5 7 847 = 7 största gemensamma delare till 600 och 3850: 5 minsta gemensamma multipel till 3850 och 847: 5 7 S a) +6+9 b)
Lektion 1, Envariabelanalys den 8 september ε < 1 < ε för alla x > N. ( ) I vårt exempel är f(x) = 1/x, så vi ska alltså ta fram ett N så att
Lektion, Envariabelanals den 8 september 999 = 0 Låt oss rita ut alla punkter i talplanet som har -koordinat nära det förmodade gränsvärdet 0 Vi får då en mängd som i figuren till höger Med nära 0 menar
LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Ledtrå dår till lektionsuppgifter
Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
6.2 Implicit derivering
6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
ARCUSFUNKTIONER. udda. arcsin(x) [-1, 1] varken udda eller jämn udda. arccos(x) [-1, 1] [ 0, π ] arctan(x) alla reella tal π π. varken udda eller jämn
![ARCUSFUNKTIONER. udda. arcsin(x) [-1, 1] varken udda eller jämn udda. arccos(x) [-1, 1] [ 0, π ] arctan(x) alla reella tal π π. varken udda eller jämn](/thumbs/88/115194752.jpg "ARCUSFUNKTIONER. udda. arcsin(x) [-1, 1] varken udda eller jämn udda. arccos(x) [-1, 1] [ 0, π ] arctan(x) alla reella tal π π. varken udda eller jämn")
Arcusunktioner ARCUSFUNKTIONER Deinitionsmängd Värdemängd derivatan udda/jämn arcsin() [-, ] [, ] arccos() [-, ] [ 0, ] arctan() alla reella tal (, ) arccot() alla reella tal ( 0, ) + + udda varken udda
INTEGRALER AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER. Viktiga trigonometriska formler vid beräkning av integraler: (F1) (F2) (F3)
INTEGRALER AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER Vikiga rigonomeriska formler vid beräkning av inegraler: ssssss + cccccc = cccccc ssssss = cccccc ssssssssssssss = ssssss cccccc = +cccccc ssssss = cccccc ssssssssssssssss
TENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 6 april 08 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Erik Melander, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008
TENTAMEN TEN i HF006 och HF008 Moment TEN (analys) Datum 5 april 09 Tid 8- Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma 4 poäng För betyg A,
Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
x 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.
TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella
Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.
OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras
Matematik 1. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och
LOGARITMEKVATIONER. Typ 1. och. Typ2. Vi ska visa först hur man löser två ofta förekommande grundekvationer
LOGARITMEKVATIONER Vi ska visa först hur man löser två ofta förekommande grundekvationer Typ 1. log aa ff(xx) = nn och Typ2. log aa ff(xx) = log aa gg(xx) När vi löser logaritmekvationer måste vi tänka
För att uttrycka den primitiva funktionen i den ursprungliga variabeln sätter vi in θ = arcsin 2x. Lektion 14, Envariabelanalys den 23 november 1999
Lektion 4, Envariabelanalys den november 999 6.. Beräkna d 4. Det första vi observerar i integralen är uttrycket i nämnaren, 4. När ett uttryck av den här typen förekommer i en rationell integrand kan
Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar
1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger
TNA003 Analys I för ED, MT, KTS
TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Några saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Tentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Lösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA 26-3-3. Funktionen f() = + 3 2 ln( + 3 2 ) är definierad för alla R oc ar derivatan f () = 3 vilket ger följande teckentabell: 2 6 + 3 2 = 92 2 + 3 + 3 2 = 9( )( 3 ) + 3 2, 3 +
VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER
Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan
ORTOGONALA VEKTORER OCH ORTONORMERADE (ORTONORMALA) BASER I R n INLEDNING ( repetition om R n ) Låt RR nn vara mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs RR nn {(aa, aa,, aa
MA2047 Algebra och diskret matematik
MA047 Algebra och diskret matematik Något om trigonometriska funktioner Mikael Hindgren 7 oktober 08 Enhetscirkeln Definition (Vinkelmåttet radianer) l.e. Den vinkel som motsvarar en båge med längden l.e.
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.:
MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats. Formulera
Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
arcsin(x) udda ( x) varken udda eller jämn alla reella tal ( 0, ) 1. y=a 1 x udda/jämn Värdemängd derivatan Definitionsmängd Arcusfunktioner
ARCUSFUNKTIONER Deinitionsmängd Värdemängd arcsin( [-, ] [, ] arccos( [-, ] [00, ] arctan( alla reella tal (, arccot( alla reella tal ( 0, derivatan udda/jämn udda varken udda eller jämn udda varken udda
Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22
Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.
Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 13 jan 2014
TENTAMEN HF00 och HF008 TEN jan 04 Anals och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Richard Eriksson Anals och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och anals,
Lösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA4 7-3-7. Funktionen f() 5 arctan + 4 arctan(/), med den föreskrivna definitionsmängden D f { R : > }, ar derivatan f () 5 + () + 4 ( / ) + (/) + 4 4 + + (4 + 6 ) ( + )( + 4 ) Detta
en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir
Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4
e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Uppgift 1. (3p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( x) c) Bestäm inversen till funktionen h ( x)
Tentamen TEN, (analysdelen) HF9, Matematik atum: aug 9 Skrivtid: : - 8: Eaminator: Armin Halilovic 8 79 8 Jourhavande lärare: Armin Halilovic 8 79 8 För godkänt betyg krävs av ma poäng Betygsgränser: För