LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

Transkript

1 Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot önskat resultat. Jag bifogar i texten som följer några länkar till en sida som heter Quizlet. Där finns förberett så kallade flashcards med vilka du effektivt kan träna på standardgränsvärden och derivator/primitiver. Rekommenderar även att du tar och tittar på kortserien om integrationsmetoder och tricks, då det är dem metoder som tas upp där som du behöver behärska. Fortsätt scrolla ner i dokumentet för att se vilka områden som är nödvändiga att ha koll på för att klara tentan och även förslag på uppgifter att göra. LYCKA TILL! //Mattehjälpen

2 Rita grafer: När det gäller att rita grafer har MAI gjort en bra guide som du bör kolla på. Skippa det om sneda asymptoter och andraderivata. Vad jag starkt rekommenderar är att du till dig själv, på egen hand, formulerar ett recept som du alltid följer när du gör funktionsundersökningar/ritar grafer, då man i princip alltid använder samma tillvägagångssätt. - Det är mycket viktigt att ha koll på definitionsmängderna för olika funktioner samt vilka y-värden (värdemängden) som olika funktioner antar. - Det är stor skillnad på definitionsmängd för f(x) = ln(1+x) och g(x) = ln 1+x. I g(x) kan x vara alla värden förutom -1 medan i f(x) måste x > Titta på vad arctan x går mot då x går mot oändligheten samt vad ln x går mot x då x går mot 0 respektive oändligheten (är ganska vanligt att man behöver känna till dessa.). - Det är bra om du har en relativt tydlig bild av hur respektive standardfunktion ser ut grafiskt, då det kan hjälpa dig avgöra om det du ritat är rimligt. Jag tänker då framförallt på y = arctan x, ln x, roten ur x, x k (k något heltal <=4), e x, sin/cos x. Reflektera också över vilka funktioner som är dominerande i olika intervall. Är det möjligt att- utan att rita- få en ungefärlig bild i huvudet av hur y = ln x + arctan x ser ut i intervallen 0 < x < 1, 1 <= x < 5, 5 < x? (OBS: 5 valdes helt godtyckligt, det finns ingen särskild logik bakom varför just 5). - Var tydlig med att i ditt svar skriva exakt det dem frågar efter, så att du inte skriver som svar en vertikal asymptot plus extrempunkter när de endast frågar efter extrempunkter. - Se till att du har full koll på vad en vertikal respektive horisontell asymptot är. När du har en nämnare innehållandes x så kommer du få en vertikal asymptot om det är något x-värde som gör att nämnaren är lika med 0. - Om du ska bestämma antalet skärningar en kurva har med en horisontell linje y = k, börja då med att rita ut grafen för kurvan. När det är gjort kommer det vara relativt lätt att avgöra antal skärningspunkter. Derivator av elementära funktioner och dess primitiver: Förslag på uppgifter att göra: (1) (1) (1) (OBS! Största/minsta värdet finns alltid i intervallet eller i någon av intervallets ändpunkter) (2) (1) (1, 5) (1) (1)

3 Gränsvärden: Det är superviktigt att ha koll på alla standardgränsvärden när man ska lösa gränsvärdesuppgifterna. Jag bifogar dem nedan i en screenshot. De flesta av dessa finns på Quizlet. Standardgränsvärden: Det är framför allt de 6 första ovan som brukar testas på tentan, enligt min erfarenhet. Tips på bra grejer att försöka med då gränsvärden beräknas, eller rent generellt: - Bryt ut dominerande faktor i täljare respektive nämnare. - Skriv ner alla standardgränsvärden och se om du kan hitta något std.grv. som du eventuellt kan få till i gränsvärdet som ska beräknas. (vanligt). - Faktorisera täljare eller nämnare i hopp om att kunna stryka bort något jobbigt. - Använd logaritmlagarna om det är gränsvärde som t.ex. innehåller flera ln(.). - Om det är massa roten ur med, förläng med konjugatet. (a + b) = (a + b)(a - b)/(a-b) = (a 2 - b 2 )/(a-b). Detta har då gjort att man fått bort roten ur i täljaren och kan sedan ofta bryta ut dominerande faktor från nämnaren för att få fram något vettigt. - Om du bryter ut x 2 ur roten ur(x 2 ) så får du beloppet av x, (inte bara x). Detta spelar roll om x t.ex. går mot minus oändligheten eftersom att du om du inte ersätter beloppet av x med -x kommer att få teckenfel. - En rekommendation, om du har ett gränsvärde där x går mot minus oändligheten, gör då direkt ett variabelbyte där du säger att t = -x. Då kommer du få ett nytt gränsvärde i t där t går mot oändligheten => mindre risk för teckenfel. - Kom ihåg att en begränsad funktion (typ cos x) gånger en funktion som går mot 0 då x går mot 0 kommer att ha att ha gränsvärdet 0.

4 Ta även en titt på hastighetstabellen i boken för att få en bild över vilka funktioner som växer snabbast då x går mot oändligheten. Förslag på uppgifter (Gränsvärden): (3) (2a,b) (2a,b) (2) (2) (3) (3) (2) (2c) (5)

5 Bestämma primitiv/räkna ut integral: Viktigt att tänka på: - Om en integral har gränser innebär det att du ska räkna ut den, ditt svar skall alltså vara ett tal (förutsatt att integralen inte är divergent). - Om det står bestäm EN primitiv funktion, då ska inte konstanten C vara med i svaret eftersom det gör att du får oändligt många primitiver. Omvänt gäller om det står Bestäm alla primitiva funktioner till. - Låt säga att du har en bestämd integral (med integrationsgränser). Om du i framtagandet av den primitiva gör något/några variabelbyten så måste du komma ihåg att ändra gränserna när du gör variabelbytet, förutsatt att du inte gör som jag rekommenderar... - Alt2. Bestäm först den primitiva funktionen utan gränser, och sedan när du är färdig med det, då beräknar du integralen med gränser. Då kan du efter att du skrivit upp integralen med gränser direkt skriva vad den primitiva är, med gräns a och b t.ex., och sedan beräkna den. - Om du har en obestämd integral och tar fram den primitiva genom att göra variabelbyten, kom ihåg att i slutet alltid byta tillbaka till den variabel du började i. Detta är ett MÅSTE, annars kan du vara säker på att poäng dras J - Kom ihåg att Eulers regler för att skriva om sin kx och cos kx är väldigt användbara vid integrering (se flashcards för mer info). Integrationsmetoder och tricks: Förslag på uppgifter: (1) (3) (2) (2a,b) (3) (3) (2) (2c) (5) (Dela upp integralen i två delar genom att välja intervallen smart, för att bli av med beloppet av x)

6 Beräkna integral om konvergent eller visa divergent: Tanken vid dessa typer av uppgifter är att som vanligt försöka bestämma en primitiv och sedan sätta in gränserna. Blir resultatet ett tal är integralen konvergent, annars är den divergent. Så här föreslår jag att ni attackerar problemet: 1) Strunta i gränserna och bestäm först och främst en primitiv funktion (Utan konstant C). 2) Ni kommer många gånger vid dessa uppgifter se att det i den primitiva funktionen är en hel del ln( ). Dessa ln kan och bör ofta slås ihop med hjälp av logaritmlagar. 3) Avgör i vilka punkter integralen är generaliserad. Den kommer alltid att vara generaliserad i oändligheten men om nedre gränsen är t.ex. 0 och det i integranden delas på t.ex. x, då innebär det att integralen kommer vara generaliserad även i 0. Du vill bara ha en generaliserad punkt per integral, så om det är så att integralen är generaliserad i två punkter, dela upp den. T.ex. 0 till 1 och 1 till oändligheten hade varit passande i detta fall. 4) Ersätt respektive generaliserade punkt med en bokstav, t.ex. b. Beräkna nu på vanligt sätt respektive integral och sätt in bokstaven som gräns istället för den generaliserade punkten. När du har fått fram ett uttryck för integralens värde, då låter du bokstaven gå mot den generaliserade punkten. Ex. Efter massa förenkling har du till slut: ln(1 + 1/b) + 8. Låt nu b gå mot den generaliserade punkten, i detta fall oändligheten. ln(1 + 1/b) + 8 à 8 då b à oändligheten. 5) För att en integral som är generaliserad i två punkter ska vara konvergent så krävs det att bägge integralerna (som har varsin generaliserad punkt) är konvergenta. Det räcker alltså med att en del-integral är divergent för att ursprungsintegralen ska vara divergent. Förslag på uppgifter: (4) (4) (4) (5) (4) (4) (5) (5)

7 Definitioner: På varje tenta brukar det komma någon teori-uppgift. Kolla igenom gamla tentor för att se vad som kan vara bra att ha koll på. Nedan kommer några förslag på grejer som återkommer med jämna mellanrum. - Använda derivatans definition för att härleda derivatan av en funktion (3c) - Vad som gäller om f är kontinuerlig i en punkt (3) - Vad som gäller om f är deriverbar i en punkt (5) (5) Även bevisa produktregeln. Jag bifogar även målbeskrivning för kursen som kan vara bra att kika på.