Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Transkript

1 Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: kl Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 4 poäng från uppgifterna 9, varav minst 3 poäng från uppgifterna 7 9. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maimalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 04 (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 9 minst 50% ( poäng) från uppgift 0 3, för betyg 5 minst 75% (8 poäng). Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift 9 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 4 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 7 9. Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng. (D.). Låt oss definiera en funktion f genom f() = ln. (a) Vad är (största möjliga) definitionsmängden D f för f? (b) f är inverterbar. Ange ett uttryck för f (). (c) Vad har f för definitionsmängd, D f? Lösningsförslag: (a) u är definierad endast för u 0 och ln 0, så ln är definierad endast för. Definitionsmängden för f är alltså D f = [, ). (b) För y i D f har vi y = f () = f(y) = ln y = ln y y = e. Alltså är f () = e. (c) Definitionsmängden för f är värdemängden (range) för f. f är en väande kontinuerlig funktion, eftersom f () = (ln ) / = ln > 0

2 för alla i D f. Vi noterar att ln + då + så värdemängden för f är därför intervallet [f(), + ) = [0, + ), vilket alltså är definitionsmängden för f : D f = [0, + ). (D.). (D.) 3. Låt f() = + 4 = ( + ) ( )( + ). Ange följande gränsvärden, om de eisterar. (Ange endast värde, eller att gränsvärdet inte eisterar, motivering behövs inte. Gränsvärdet kan vara ett tal, + eller.) (a) lim f() + (b) lim f() (c) lim f() (d) lim f() (e) lim f() + (f) lim f() Lösningsförslag: Notera att f() = (a) lim f() = + + (b) lim f() = (c) lim f() eisterar inte (d) lim f() = lim (e) (f) lim f() = + lim f() = Ekvationen lim + lim = ( ), för. 4 =. ( ) ( ) ( ) + = ( ) ( ) ( ) + = y y + = 0 definierar en kurva i y-planet. Hur stor är tangentlutningen d i punkten (, y) = (, 0) Lösningsförslag: Vi använder implicit derivering. För punkter (, y) som följer kurvan y y + = 0 gäller att 0 = d d ( y y + ) = y d = (y + ) d d, så Med (, y) = (, 0) har vi då d = y +. d = 0. (,y)=(,0) 3

3 (D.) 4. Låt f() =. Vilket är det största respektiva minsta värde som f() antar på intervallet [, ], och för vilka värden på antas de? Motivera väl. Lösningsförslag: En kontinuerlig funktion f() (som denna) tar alltid, på ett slutet och begränsat intervall ett största och ett minsta värde, och det kan bara antas (i) i intervallets ändpunkter, (ii) där funktionen inte är deriverbar eller (iii) där derivatan är noll. Vi har att f() = / för > 0 = ( ) / för < 0, 0 för = 0, så f / för > 0 () = ( ) / för < 0, men f (0) är inte definierad, eftersom f() f(0) = = + då 0 +, och = då 0. Vi ser att f () = 0 antingen, om > 0 och / =, vilket är fallet om =, eller om < 0 och ( ) / =, vilket inte kan inträffa. Vi kan också notera att f () < 0 om < 0 eller >, medan f () > 0 om 0 < <. f() har alltså ett lokalt minimum då = 0 och ett lokalt maimum då =. Vi har därmed som kandidater för minimum, f(0) = 0 och f() =, där f(0) = 0 är minst. Maimum kan vara antingen f( ) = + = 3 eller f() = =. Största värdet är alltså f( ) = 3. Sammanfattning: Det minsta värdet f() antar på intervallet [, ] är f(0) = 0 och det största är f( ) = 3. (D3.) 5. Utveckla den obestämda integralen e d. Lösningsförslag: Vi gör variabelsubstitutionen u =. Då är du d =, så d = du och e d = där C är en allmän konstant. e u du = [e u ] = [ e ] = e + C, 4

4 (D3.) 6. Beräkna värdet av den bestämda integralen (t + ) ln(t + ) dt. Lösningsförslag: Vi gör en partiell integration. (t + ) ln(t + ) dt = ln(t + ) d dt (t + t) dt = [ ln(t + ) (t + t) ] d dt ln(t + ) (t + t) dt = [ (t + t) ln(t + ) ] t + t t + dt = [ (t + t) ln(t + ) ] t dt [ ] = (t + t) ln(t + ) t = 6 ln 3 ln + = ln Bestäm, för > 0, y > 0, den lösning till differentialekvationen som uppfyller villkoret y() =. d = 3y Lösningsförslag: Differentialekvationen är separabel. d = 3y y = 3 d y = 3 + C y = 3 C. Vi ser att C = y + 3. Med (, y) = (, ) har vi då att C = + 3 =. Den sökta lösningen är alltså y = Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen + y =. d 5

5 Lösningsförslag: Differentialekvationen är linjär. För att kunna lösa den med integration multiplicerar vi med en integrerande faktor e /. d + y = e / d + / e y = e / d ( ) e / y = e / d e / y = e / d e / y = e / + C y = + Ce / Den allmänna lösningen till differentialekvationen är alltså y = + Ce /, där C är en allmän konstant. 9. (a) Bestäm den allmänna lösningen y = y() till den homogena differentialekvationen 4y + 4y + 7y = 0. (b) Bestäm lösningen y = y() till begynnelsevärdesproblemet 4y + 4y + 7y = 50e, y(0) = y 0 = 0, y (0) = v 0 =. Lösningsförslag: (a) Den homogena linjära differentialekvationen är ekvivalent med 4y + 4y + 7y = 0 (*) y + y y = 0. För homogena differentialevationen är linjärkombinationer av lösningar också lösningar, och en andra ordningens homogen linjär differentialekvation har ett lösningsrum av dimension två. y = e r löser differentialekvationenen om och endast om r + r om Den har alltså den allmänna lösningen r = ± 4 = ± i. y = e (A cos + B sin ), = 0, dvs där A och B är allmänna konstanter. Lösningen kan också skrivas på komple form som y = C e ( +i) + C e ( i). (b) Den allmänna lösningen till den inhomogena linjära differentialekvationen 4y + 4y + 7y = 50e (**) 6

6 fås genom att addera den allmänna lösningen till den homogena differentialekvationen (*) i (a) till en partikulärlösning till (**). För att hitta en partikulärlösning gör vi ansatsen Då är y p = Ce och y p = 4 Ce, så y = y p = Ce. 4y + 4y + 7y = 4 4 Ce + 4 ( Ce ) + 7Ce = 5Ce, som ska vara lika med 50Ce, vilket är fallet om C =. Vi har alltså en partikulärlösning y = y p = e och den allmänna lösningen är då y = e + e (A cos + B sin ). Kvar att bestämma koefficienterna A och B så att begynnelsevillkoren är uppfyllda. Vi har y(0) = + A och y = 4e e (A cos + B sin ) + e ( A sin + B cos ), så y (0) = 4 A + B, så begynnelsevillkoren motsvarar ekvationrna + A = 0, 4 A + B = som har lösningen A =, B =. Den sökta lösningen är alltså y = e + e ( cos + sin ). 7

7 Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms. 0. Bestäm ett algebraiskt uttryck för en rationell funktion f med följande egenskaper: nämnaren är av grad två; f() är definierad för alla undantaget = och = 3; kurvan y = f() har lodräta asymptoter = och = 3; kurvan y = f() har asymptoten y = då ± ; f(0) = 0; f() har ett lokalt maimum då =. Lösningsförslag: De första tre villkoren ger att f() = g() ( )( 3), för något polynom g(). Fjärde villkoret uppfylls om g() = + a + b, där femte villkoret bestämmer b = 0. Man får också se till att g() inte har eller 3 som faktor, eftersom de kan förkortas mot motsvarande faktor i nämnaren. a kan alltså inte vara eller 6. De funktioner somm uppfyller villkoren är alltså f() = + a ( )( 3), där a kan vara ett godtyckligt tal, skiljt ifrån och 6.. En ringformad maskindetalj konstrueras enligt figur. Den kan alltså beskrivas som att området mellan kurvan y = 4 π ln och linjerna y = 0, = och = roteras kring y-aeln. Vad har detaljen för volym, uttryckt i koordinatsystemets volymenhet? Lösningsförslag: Volymen kan bestämmas antingen med skalmetoden eller med skivmetoden. Skalmetoden. På radien har ett skal höjden 4 π ln, så vi får volymen som integralen π 4 π ln d = 8 ln d p.i. av 8 = [ 4 ln ] = = 4 d = 6 ln 4 d = 6 ln [ ] = = 6 ln (8 ) = 6 ln 6. = 8

8 Arean är alltså 6 ln 6 volymenheter. Skivmetoden. En skiva på höjden y har arean så volymen ges av integralen A(y) = π π (e πy 4 ) ) = π (4 e πy, 4 ln π 0 A(y) = 4 ln π Arean är alltså 6 ln 6 volymenheter. 0 π ) (4 e πy = π ] [4y e πy y= 4 ln π y=0 = 6 ln 6. Avgör ifall den generaliserade integralen arctan är konvergent, och i så fall, vad den har för värde. Lösningsförslag: Vi behöver studera ifall integralen arctan har ett gränsvärde då b +, och vad detta i så fall är. arctan d p.i. av = arctan d d d = [ arctan ] =b = d arctan d d ( = arctan b + π b 4 ) + ( + ) d. För att bestämma restintegralen behöver vi göra en partialbråksuppdelning av ( +). Vi ansätter ( + ) = A + B + C + = A( + ) + B + C (. + ) Koefficienterna ska då uppfylla ekvationerna A + B = 0, C = 0, A =. Vi har alltså ( + ) d = ( ) [ d = ln ] b + ln( + ) = ln b ln(b +)+ ln. Vi noterar till för förskräckelse att vi har en differens mellan två termer som båda går mot + då b + : ln b och ln(b + ). Kan vi formulera om, så vi ser ifall vi har ett gränsvärde? Vi utnyttjar egenskaperna hos logaritmfunktionen. ln b ln(b + ) = ln b (b + ) / = ln ( + b ln = 0 då b +. ) Sammanfattar vi har vi alltså att integralen är konvergent och att arctan ( d = lim arctan b + π b b 4 + ln ( + b ) + ) ln 9 = π 4 + ln.

9 3. Bestäm, för, lösningen f() till integralekvationen f() tf(t) dt =. Tips: Derivera för att överföra ekvationen till en differentialekvation, och bestäm från integralekvationen begynnelsevärdet f(). Lösningsförslag: Integralekvationen ger för = ekvationen f() f() =, tf(t) dt =. (*) och efter derivering differentialekvationen f () + f() f() =. Integralekvationen är alltså ekvivalent med den linjära differentialekvationen tillsammans med begynnelsevillkoret f() =. f () + f() =, (**) För att lösa differentialekvationen multiplicerar vi med en integrerande faktor e P (), där P () = Vi kan alltså som integrerande faktor ta = = d (ln ). d e ln = e. Multiplicerar vi (**) med denna får vi ekvationen d d (e f()) = e som efter integrering ger e f() = e d = e + C och alltså att f() = + C e. Begynnelsevärdet f() = bestämmer C genom ekvationen vilket ger oss den sökta lösningen + Ce = C = e, f() = + e e = e. v0.6, 4 april 04/SK&JS 0