TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

Transkript

1 TENTAMEN TEN i HF006 och HF008 Moment TEN (analys) Datum 5 april 09 Tid 8- Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma 4 poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna Uppgift (4p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) e sin( 5) + cos( 8) b) (p) Beräkna gränsvärdet lim 4 + 5e c) (p) Beräkna gränsvärdet lim + 9e + 8 sin() d) (p) Bestäm derivatan till funktionen f ( ) (Du behöver inte förenkla + arcsin() svaret i frågan d) Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) (p) ( 4 + 5)ln( ) d (Tips: part in 5 0 b) (p) (sin + sin + sin ) cos d (Tips: substitution) Uppgift (4p) a) (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten för funktionen y ln() b) (p) Bestäm approimativt ln(0) och uppskatta felet Tips: Taylors formel kring punkten a är ( n) f ( a) f ( a) f ( a) n f ( ) f ( a) + f ( a)( a) + ( a) + ( a) + + ( a) + R!! n! ( n+ ) f ( c) n+ där R ( a) och c är ett tal som ligger mellan a och ( n + )! Var god vänd Sida av 0

2 Uppgift 4 (p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 0, 0 y sin( ) roterar kring -aeln Uppgift 5 (4p) Vi betraktar differentialekvationen 4 6 y y y a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen b) Ange lösningen på eplicit form c) Bestäm eventuella singulära lösningar till ekvationen Uppgift 6 (4p) Bestäm strömmen i( i nedanstående LRC krets L R C i( U om induktansen L henry, resistansen R 40 ohm, kapacitansen C 400 farad och spänningen U 40 volt Dessutom gäller följande begynnelsevillkor för strömmen i ( 0) 0 och laddningen q ( 0) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( + < 0 Uppgift 7 (4p) Låt f( ) ln > 0 a) Bestäm funktionens definitionsmängd b) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär c) Bestäm eventuella asymptoter till f () d) Rita funktionens graf Lycka till Sida av 0

3 FACIT Uppgift (4p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) e sin( 5) + cos( 8) 4 b) (p) Beräkna gränsvärdet lim + 5e c) (p) Beräkna gränsvärdet lim + 9e + 8 sin() d) (p) Bestäm derivatan till funktionen f ( ) (Du behöver inte förenkla + arcsin() svaret i frågan d) a) Notera att e, sin( 5) och cos( 8) är definierade för alla Från 0 0 har vi 5 Svar a: 5 b) 4 0 lim typ, l'h lim lim Svar b: 0 c) e e lim ( förkorta med 8 ) lim e e Svar c: 5 d) sin() f ( ) + arcsin() Sida av 0

4 f '( ) cos() ( + arcsin()) sin() ( + arcsin()) 4 Svar d: Se ovan Rättningsmall: p för varje del Rätt eller fel Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) (p) ( 4 + 5)ln( ) d (Tips: part in 5 0 b) (p) (sin + sin + sin ) cos d (Tips: substitution) a) f( ) ln( ), g ( ) 4+ 5 (4 5)ln( ) d + f ( ), g ( ) + 5 ( + 5 )ln( ) ( + 5 ) d ( + 5 )ln( ) ( + 5) d ln( )( + 5 ) 5+ C b) Substitutionen: sin v, cos d dv : v v v (sin + sin + sin )cos d ( v + v + v ) dv C 6 6 sin sin sin C 6 Rättningsmall: p för varje del (Ingen avdrag den här gången om man glömmer konstanten C i svare Uppgift (4p) a) (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten för funktionen y ln() b) (p) Bestäm approimativt ln(0) och uppskatta felet Tips: Taylors formel kring punkten a är ( n) f ( a) f ( a) f ( a) n f ( ) f ( a) + f ( a)( a) + ( a) + ( a) + + ( a) + R!! n! ( n+ ) f ( c) n+ där R ( a) och c är ett tal som ligger mellan a och ( n + )! Sida 4 av 0

5 Vi beräknar funktionen och derivator i punkten f ( ) ln( ) f ( ) f ( ) f ( ) f () ln 0 f () f () f ( c) c Värdena substituerar vi i formeln för Taylors polynom (av ordning ) ( a) T 4 ( ) f ( a) + ( a) f ( a) + f ( a)! och får ( ) T ( ) 0 + ( ) + ( )! Detta ger ( ) T ( ) ( ) b) Med hjälp av a-delen får vi (0 ) 064 ln(0) T (0) (0 ) ( n+ ) f ( c) n+ f ( c) 08 Felet R ( a) (0 ) 08 ( n + )!! 6 c c Notera att 0 < c < och därmed < < c Därför 08 R < (Uppenbart måste vi ha större ordning om vi vill ha mer c 0 precist resultat ( ) Svar: a) T ( ) ( ) ( + ) 64 b) ln( 0), med feluppskattning R < Rättningsmall: a) Korrekta derivator upp till f ( ) ger p Allt korrekt p b) p för ln( 0) och p för en korrekt uppskattning av R Sida 5 av 0

6 Uppgift 4 (p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 0, 0 y sin( ) roterar kring -ael Lösning b cos( ) sin( ) ( ) sin ( ) π π sin() V f d d d π π π [ ] 0 a 0 0 sin() Svar: V π [ ] Rättningsmall: Korrekt till V π sin ( ) d ger p Allt korrektp 0 Uppgift 5 (4p) Vi betraktar differentialekvationen 4 6 y y y a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen b) Ange lösningen på eplicit form c) Bestäm eventuella singulära lösningar till ekvationen a) Vi löser ut y och separerar variabler: dy d dy d y y y ( ) Vi delar med dy ( y 4 y (som vi kan göra om y 0 dvs om y ± ) och får 6 + ) d Härav dy 4 ( + y 6 ) d eller arcsin( y ) + + C (den allmänna lösningen på implicit form) 5 b) Från y 7 arcsin( ) + + C har vi Sida 6 av 0

7 y sin( + + C) (den allmänna lösningen på eplicit form) c) Direkt kontroll i den ursprungliga ekvationen visar att y och y år också lösningar Lösningarna y och y singulära lösningar eftersom vi inte kan få dem från den allmänna lösningen y sin( + + C) för något C-värde Svar: a) arcsin( y ) + + C b) y sin( + + C) c) Två singulära lösningar y och y Rättningsmall: ap Korrekt variabelseparationp Allt korrektp b+p, c+p Uppgift 6 (4p) Bestäm strömmen i( i nedanstående LRC krets L R C i( U om induktansen L henry, resistansen R 40 ohm, kapacitansen C 400 farad och spänningen U 40 volt Dessutom gäller följande begynnelsevillkor för strömmen i ( 0) 0 och laddningen q ( 0) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + Ri( + q( u( dt C dvs ( efter subst L, R och C) i ( + 40i( + 400q( 40 (ekv ) Sida 7 av 0

8 Vi eliminerar q ( genom att derivera ekvationen (notera att q ( i( ) Vi får i ( + 40i ( + 400i( 0 (en homogen DE) Härav i( 0t 0t Ce + Cte För att bestämma C och C använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) 0 och q ( 0) Första villkoret kan vi använda direkt: Vi substituerar i( 0) 0 i lösningen i( 0t 0t Ce + Cte och får C 0 (ekv a) För att få ett villkor som innehåller i (0) substituerar vi q ( 0) (och i(0)0) i startekvationen i ( + 40i( + 400q( 40 (ekv ) Vi får i ( 0) + 40i(0) + 400q(0) 40 dvs i ( 0) som ger i ( 0) 60 Eftersom har vi i( 0 e 0t + C te 0t C te 0t i ( 0t 0t 0t ( C te ) C e C te 0 som med i ( 0) 60 ger C 60 Alltså gäller i( 60te 0t Svar: i( 0t 60te Allternativ lösningsmetod: Vi kan lösa ekvationen L q ( + Rq ( + q( u(, C där q( är en obekant funktion, och därefter bestämma strömmen i ( q ( Rättningsmall: Sida 8 av 0

9 Korrekt till i ( + 40i( + 400q( 40 (eller till en ekvivalent ekvation med enbart q ( ) ger p 0t 0t Korrekt till i( C e + C te ger totalt p Korrekt i ( 0) 60 ger +p Allt korrekt 4p + < 0 Uppgift 7 (4p) Låt f( ) ln > 0 a) Bestäm funktionens definitionsmängd b) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär c) Bestäm eventuella asymptoter till f () d) Rita funktionens graf a) Funktionen är definierad om 0 b) Vi undersöker separat : + b f( ), < 0 och f ( ) ln, > 0 Vi har f ( ) 0 om ± Endast ligger i intervallet < 0 Med hjälp av andraderivatan f ( ) har vi f ( ) < 0 dvs punkten är en mapunkt (Notera att f ( ) b, f ( ) ln 0 + e Från ( f ) har vi f ( e ) e > 0, dvs punkten e är en minpunkt e c) c) Först undersöker vi delen < 0 : + Funktionen f( ) +, < 0 har en sned asymptot y, då går mot, och en vertikal (lodrä asymptot i punkten 0 eftersom f ( ) då 0 c)nu undersöker vi delen > 0 dvs f ( ) ln, > 0 lim( ln ) betyder att funktionen saknar höger horisontell asymptot lim( ln ) visar att funktionen saknar horisontell asymptot Sida 9 av 0

10 ln lim( ) lim(ln ) visar att funktionen saknar höger sned asymptot ln Slutligen lim ( ln ) lim ( ) { typ, l' Hospital} lim ( ) lim ( ) Med andra ord går f ( ) mot 0 om går mot 0 + d) Från ovanstående analys får vi följande graf: Rättningsmall: ap bbcc05p dp (poängsumman för uppgiften avrundas uppåt till ett heltal) Sida 0 av 0