SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

Transkript

1 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre första uppgifterna, som utgör del A, kan ersättas med resultat från den löpande examinationen. Bonuspoäng tillgodoräknas vid de upp till två första tentamina man skriver under läsåret. Kontrollskrivning i svarar då mot uppgift i (i =, 2) och seminarierna mot uppgift 3. Godkänd kontrollskrivning ger 3 poäng på motsvarande uppgift och väl godkänd kontrollskrivning ger 4 poäng. Varje godkänt seminarium ger poäng på uppgift 3. Det är maximum av resultatet från den löpande examinationen och resultatet på motsvarande uppgift på tentamen som räknas. De tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del C. För de högsta betygen, A och B, krävs vissa poäng på del C. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B C D E Fx Total poäng varav från del C 6 3 För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!

2 2 SF625 Envariabelanalys Tentamen DEL A. Visa att för alla (reella) värden på x. 2 x + x Beräkna den obestämda integralen sin x 5 3 cos x dx, dvs finn alla primitiva funktioner till funktionen sin x. 5 3 cos x 3. a. (3p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y 6y + 8y = 2 + 8x. b. (p) Bestäm den lösning som satisfierar y() = 3, y () = 5. DEL B 4. Betrakta funktionen Beräkna integralen f(x) = { x 2, x < x ln x, x e. för alla värden på a i intervallet [, e]. f(x) dx 5. Bestäm gränsvärdet lim x sin(x 3 ) + ln( + x 3 ). arctan x x 6. En 5 m lång stege står lutad mot en vägg. Stegens nedre ände är 3 m från väggen. Stegen glider och nedre änden rör sig med hastigheten,2 m/s över golvet, vinkelrätt ut från väggen. Hur snabbt rör sig stegens övre ände längs med väggen?

3 SF625 Envariabelanalys Tentamen DEL C 7. Bevisa att om funktionen f har lokalt maximum i en inre punkt x i definitionsintervallet och om f är deriverbar i x så är f (x ) =. 8. Ange en Riemannsumma som approximerar integralen + x dx med ett fel som till beloppet är mindre än,5. Motivera ordentligt felets storlek. Du behöver inte beräkna Riemannsummans värde. 9. Låt Beräkna gränsvärdet F (x) = x sin(t 3 ) cos t dt. F (x 2 ) lim. x x 8

4 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. Visa att för alla (reella) värden på x. 2 x +x 2 2 Metod (standard): Låt f(x) = x. Vi skall visa att V +x 2 f, f:s värdemängd, är innehållen i intervallet [, ]. 2 2 f är definierad och deriverbar för alla reella x. Vi finner värdemängden med en värdetabell. Regeln för derivatan av en kvot ger f (x) = (+x2 ) x 2x = x2. Dess nollställen är (+x 2 ) 2 (+x 2 ) 2 x = ±. Tabell: x f (x) + f(x) ց 2 ր 2 ց under och står för gränsvärdena då x ±. De är väsentliga när man avgör vilka värden f antar. De är båda eftersom f är en rationell funktion med lägre grad i täljaren än i nämnaren. Ur tabellen ses att V f = [, ], så saken är klar, 2 2 x för alla reella värden påx. 2 +x 2 2 Graf (olika skalor på x- ochy-axlarna): Metod 2 (speciell) Eftersom+2x+x 2 = (+x) 2 och 2x+x 2 = ( x) 2 för alla reellaxär2x (+x 2 ) och+x 2 2x.+x 2 >, så vi kan dividera dessa olikheter med2(+x 2 x ) och får och x. Saken är klar. +x x 2 Olikheterna visade ovan.

5 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Beräkna den obestämda integralen sinx 5 3cosx dx, dvs finn alla primitiva funktioner till funktionen sinx. 5 3cosx Eftersom derivatan av cos x nästan är sin x (bara tecknet skiljer), förenklas integralen av variabelbytet t = cosx. Det gersinxdx = dt och den obestämda integralen blir sinx 5 3cosx dx = 5 3t dt = 3 ln 5 3t +C, där C är en godtycklig konstant. Insättning av t = cosx ger ln 5 3cosx + C och 3 eftersom cosx är5 3cosx > för alla reella x, så 5 3cosx = 5 3cosx. Den obestämda integralen ges av ln(5 3cosx)+C,C en godtycklig konstant. 3

6 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen a. (3p) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y 6y +8y = 2+8x. b. (p) Bestäm den lösning som satisfierary() = 3, y () = 5. Karakteristiska ekvationen för motsvarande homogena ekvation är r 2 6r +8 =, med rötterna r = 4, r 2 = 2, så den homogena ekvationens allmänna lösning är y h (x) = C e 4x +C 2 e 2x. För en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen görs ansatsen y(x) = Ax + B. Insättning i ekvationen ger 6A + 8(Ax + B) = 8Ax + ( 6A + 8B) = 8x + 2. Identifikation av koefficienterna ger A =, 6A+8B = 2 så B = och y p (x) = x+. Den allmänna lösningen till ekvationen är alltså y(x) = y h (x)+y p (x) = C e 4x +C 2 e 2x +x+, vilket gery (x) = 4C e 4x +2C 2 e 2x +. Konstanterna C och C 2 bestäms av villkoren på y() och y (), så C +C 2 + = 3 och 4C +2C 2 + = 5, vilket gerc =, C 2 = 2 och lösningen y(x) = 2e 2x +x+. a. Den allmänna lösningen äry(x) = C e 4x +C 2 e 2x +x+, b. Den sökta lösningen äry(x) = 2e 2x +x+.

7 4 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL B 4. Betrakta funktionen Beräkna integralen f(x) = { x 2, x < xlnx, x e. för alla värden på a i intervallet [,e]. f(x)dx Eftersom f(x) definieras av olika uttryck i de två intervallen får vi skilja på två fall för a, beroende på om alla x i integrationsintervallet uppfyller x < eller inte. Fall : Om a är f(x)dx = [ ( x 2 )dx = x x3 3 ] a = a a3 3. Fall 2: Om a e ger en partialintegration i den andra integralen f(x)dx = ( x 2 )dx+ [ ] a = ( 3)+ x 2 lnx 3 2 = 2 + a2 3 2 lna (a2 ) = + a xlnxdx = x 2 2 x dx = 2 3 +(a2 2 lna ) [ lna a2 4. ] a x 2 = 4 f(x)dx = { a a 3 3, a < + a2 2 2 lna a2 4, a e.

8 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Bestäm gränsvärdet lim x sin(x 3 )+ln(+x 3 ). arctanx x Vi använder Maclaurinutveckling av täljaren och nämnaren. Den kända utvecklingen sint = t+t 3 B (t) ger sin(x 3 ) = x 3 +x 9 B(x). P.s.s. ger ln(+t) = t+t 2 C (t) attln(+x 3 ) = x 3 +x 6 C(x). Vidare vet vi attarctanx = x x3 3 +x5 D(x). Här är, som vanligt, B (t),c (t) begränsade funktioner i en omgivning av t = och B(x),C(x),D(x) begränsade i en omgivning av x =. Tillsammans ger de (då x kan vi förkorta med x 3 ) sin(x 3 )+ln(+x 3 ) arctanx x Det ger sin(x 3 )+ln(+x 3 ) lim x arctanx x = x3 +x 9 B(x)+x 3 +x 6 C(x) x x3 3 +x5 D(x) x = lim x 2+x 6 B(x)+x 3 C(x) 3 +x2 D(x) = 2+x6 B(x)+x 3 C(x). 3 +x2 D(x) = 2 3 = 6. Alternativt kan man använda l Hospitals regel (fast det egentligen krävs en sådan lite starkare form av regeln som nämns i en anmärkning i kursboken nämnarens derivata är ju noll för x = ). sin(x 3 )+ln(+x 3 ) lim x arctanx x = lim x 3(cos(x 3 )(+x 3 )+)(+x 2 ) ( )(+x 3 ) +x 3 cos(x 3 ) 3x 2 + 3x2 = lim x +x 2 = 3(+) ( ) = = 6 Gränsvärdet är 6.

9 6 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen En 5 m lång stege står lutad mot en vägg. Stegens nedre ände är 3 m från väggen. Stegen glider och nedre änden rör sig med hastigheten,2 m/s över golvet, vinkelrätt ut från väggen. Hur snabbt rör sig stegens övre ände längs med väggen? Låt, som i figuren, x vara avståndet mellan väggen och stegens nedre ände, y avståndet mellan golvet och stegens övre ände ochlstegens längd. Stegen glider, så x (och därmed y) beror av tiden t. Vi vet hur snabbt x växer, dvs dess t-derivata ẋ är känd. Vi söker hastigheten för den övre änden, dvs ẏ. Pythagoras sats ger x 2 + y 2 = l 2, vilket gäller för alla t. Om man deriverar båda leden (implicit derivering) får man 2xẋ + 2yẏ =, vilket ger (då y ) att ẏ = x yẋ. y l x Insättning av givna värden l = 5 m, x = 3 m (så y = l 2 x 2 = 4 m) och ẋ =,2 m/s ger ẏ = 3,2 =,5 m/s. (ẏ < betyder att den övre änden rör sig nedåt.) 4 Alternativt (lite längre) kan man i detta fall uttrycka y som en funktion avx(y ) som y(x) = l 2 x 2. Kedjeregeln ger sambandet mellanẋochẏ: ẏ = d dt y(x(t)) = y (x)ẋ. (y står alltså för d y(x) ochẏ för d y(x(t)).) dx dt Medy(x) ovan får many (x) = 2x 2 = x l 2 x 2 l, så ẏ = x x 2 x 2 l ẋ = 2 x 2 yẋ, som ovan. Stegens övre ände rör sig nedåt med hastigheten,5 m/s.

10 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL C 7. Bevisa att om funktionen f har lokalt maximum i en inre punkt x i definitionsintervallet och om f är deriverbar ix så är f (x ) =. Eftersom x är en inre punkt i f:s definitionsmängd finns ett tal h > sådant att alla x med x h < x < x +h tillhör definitionsmängden. Eftersom f har ett lokalt maximum i x finns h med h h > sådant att f(x ) f(x) för alla x medx h < x < x +h. Då gäller för allaxmedx < x < x +h att f(x) f(x ) x x (eftersomf(x) f(x ), x x > ) och för alla x medx h < x < x att f(x) f(x ) x x (eftersomf(x) f(x ), x x < ). Eftersom f är deriverbar i x är f (x ) = lim x x f(x) f(x ) x x = lim x x + f(x) f(x ) x x = lim x x f(x) f(x ) x x. Enligt ovan är högergränsvärdet och vänstergränsvärdet (gränsövergång i olikhet), så f (x ) ochf (x ). Det betyder att f (x ) =, saken är klar. Påståendet visat ovan.

11 8 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Ange en Riemannsumma som approximerar integralen +x dx med ett fel som till beloppet är mindre än,5. Motivera ordentligt felets storlek. Du behöver inte beräkna Riemannsummans värde. Låtf(x) = och tag ett heltal n >. +x Vi delar in intervallet[,] med punkternax k = k, k =,,...,n. Då är = x n < x < < x n =. Den Riemannsumma för integralen som svarar mot valetξ k = x k är n n R = f(x k )(x k x k ) = f(x k ) n = n f(x k ) n k= och den som svarar mot ξ k = x k är n R 2 = f(x k )(x k x k ) = k= k= n f(x k ) n = n k= k= n f(x k ). f är en strängt avtagande funktion (f (x) = < ), så för alla x i ]x (+x) 2 k,x k [ gäller f(x k ) > f(x) > f(x k ). Det följer att (eftersomf(x k ) > x k n R > +x dx > R 2. k= x k f(x)dx > f(x k ) n ) MenR R 2 = (f(x n ) f(x n )) = (f() f()) = ( ) =, så genom att dra n n 2 2n R 2 från olikheten fås 2n > +x dx R 2 > och genom att dra alla led i olikheten från R (och byta > mot<) fås < R +x dx < 2n. Det betyder att omn = uppfyller både R ochr 2 villkoret (,5 = 2 ). T.ex. k= + k och + k k=.

12 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Låt Beräkna gränsvärdet F(x) = x sin(t 3 ) 3+2cost dt. F(x 2 ) lim. x x 8 Eftersomlim x x 2 F(u) = är det sökta gränsvärdetlim u (sammansättning av gränsvärden). u 4 Eftersom både täljaren och nämnaren är deriverbara hur många gånger som helst och båda är då u =, kan vi använda l Hospitals regel, så F(u) F (u) lim = lim u u 4 u 4u. 3 Enligt analysens huvudsats ärf (u) = sin(u3 ) 3+2cosu, så F(x 2 ) lim x x 8 sin(u 3 ) = lim u (3+2cosu) 4u = lim sin(u 3 ) 3 u u 3 (3+2cosu) 4 = = (3+2) 4 = 2. (Om man inte byter till u = x 2 i gränsvärdet får man använda kedjeregeln för att beräkna d dx F(x2 ) = F (x 2 ) 2x, med F som ovan.) Man kan också använda Maclaurinutveckling. sin(t 3 ) = t3+t5 B(t), vilket gerf(x) = x4+x6 C(x) (tyf(x) < g(x) x 3+2cost 5 2 f(t)dt < x g(t)dt) ochf(x 2 ) = x8 2 +x2 D(x) etc. (B, C, D begränsade funktioner nära ). Gränsvärdet är 2.