Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Transkript

1 Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden

2 Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon exakt uppskattning av resttermen skriver man resttermen på formen B(x)x n, där B(x) är en begränsad funktion för x nära 0. När man Maclaurinutvecklar flera funktioner får man resttermer B 1 (x)x n, B 2 (x)x m osv. För att slippa hålla reda på olika B i, brukar man beteckna B(x)x n med O(x n ). Detta uttalas stort ordo av x n då x 0 och betyder att den term man avser är av storleksordningen x n för x i en omgivning av 0. Mer exakt betyder f (x) = O(x n ) att f (x)/x n C för en konstant C och alla x 0 som ligger i en omgivning av 0. Följande räkneregler gäller: O(x n ) O(x m ) = O(x n+m ) och om n m, så är O(x n ) ± O(x m ) = O(x n ). Detta är lätt att se: Om f (x) = O(x n ), g(x) = O(x m ), så är uttrycket f (x) x n g(x) x m = f (x)g(x) x n+m begränsat

3 f (x) ± g(x) och om n m, så är begränsat (eftersom x n x m för x nära 0, så g(x)/x n g(x)/x m ). Nedan kommer en sammanställning av de Maclaurinutvecklingar vi härledde förra gången: x n e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! + O(x n+1 ) ln(1 + x) = x x x x n ( 1)n 1 n + O(x n+1 ) sin x = x x 3 3! + x 5 5! + x 2n 1 ( 1)n 1 (2n 1)! + O(x 2n+1 ) cos x = 1 x 2 2! + x 4 2n x + ( 1)n 4! (2n)! + O(x 2n+2 ) arctan x = x x x 5 2n 1 x + ( 1)n 1 5 2n 1 + O(x 2n+1 )

4 Och här samma sammanställning med summationstecken: n e x x k = k! + O(x n+1 ) ln(1 + x) = k=0 n ( 1) k 1 x k k=1 k + O(x n+1 ) n sin x = ( 1) k 1 x 2k 1 (2k 1)! + O(x 2n+1 ) k=1 n cos x = ( 1) k x 2k (2k)! + O(x 2n+2 ) arctan x = k=0 n ( 1) k 1 x 2k 1 2k 1 + O(x 2n+1 ) k=1 Vi noterar att sin x och arctan x är udda funktioner och utvecklingen innehåller bara uddagradstermer medan cos x är jämn och utvecklingen innehåller bara termer av jämn grad.

5 Det här är ingen slump. Vi erinrar oss om att en funktion kallas udda om f ( x) = f (x) för alla x och jämn om f ( x) = f (x) för alla x. Om f är udda, så gäller f ( x) = f (x) även för x = 0. Alltså är f (0) = f (0), dvs. f (0) = 0. Derivatan av f ( x) är lika med f ( x) (den inre derivatan, derivatan av x, är 1). Det följer att derivatan av en udda funktion är jämn: deriverar vi f ( x) = f (x), får vi f ( x) = f (x), dvs. f ( x) = f (x). På samma sätt får vi att derivatan av en jämn funktion är udda: deriverar vi f ( x) = f (x), får vi f ( x) = f (x), dvs. f ( x) = f (x). Så Maclaurinutvecklar vi en jämn funktion, är alla dess derivator av udda ordning udda, och därför är de lika med 0 då x = 0. Alltså blir det inga uddagradstermer. För en udda funktion är det tvärtom: alla derivator av jämn ordning är udda, därför blir det inga termer av jämn grad.

6 Entydighet Sats (entydighet av Maclaurinutvecklingar). Låt f vara n + 1 gånger kontinuerligt deriverbar i en omgivning av 0. Om f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n + O(x n+1 ), så är a 0 = f (0), a 1 = f (0), a 2 = f (0)/2!,..., a n = f (n) (0)/n!, dvs. a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n är Maclaurinpolynomet för f. Bevis (kan hoppas över). Maclaurins formel ger a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n + O(x n+1 ) = f (x) = f (0) + f (0)x + f (0) x f (n) (0) x n + O(x n+1 ). 2! n! Låter vi x 0, får vi a 0 = f (0). Nu kan vi ta bort dessa termer från vänster- och högerledet. Dividerar vi med x, får vi a 1 + a 2 x + + a n x n 1 + O(x n ) = f (0) + f (0) 2! x + + f (n) (0) x n 1 + O(x n ). n!

7 Igen, låter vi x 0, får vi a 1 = f (0). Så fortsätter vi och i sista steget får vi a n + O(x) = f (n) (0) n! Två viktiga konsekvenser: + O(x). Detta ger a n = f (n) (0). n! Låt n vara givet. Maclaurinpolynomet av grad n är det enda polynom sådant att resttermen är O(x n+1 ). För alla andra polynom kommer resttermen vara av storleksordningen O(x m+1 ), m < n. Med andra ord, Maclaurinpolynomet ger den bästa approximationen för x nära 0. Om f (x) = p n (x) + O(x n+1 ) (p n polynom av grad n), så måste p n vara Maclaurinpolynomet. Det här har vi redan utnyttjat vid utvecklingen av arctan x. Vi har ju inte beräknat derivatorna utan fått utvecklingen på ett annat sätt. Det är först med satsen ovan som vi med säkerhet kan säga att detta var just Maclaurinutvecklingen.

8 Numeriska beräkningar Förra gången har vi beräknat närmevärden för e och e 1/10. Nedan kommer några exempel till. Eftersom vi vill ha ett närmevärde, räcker det inte med resttermen på ordo-form utan vi måste kunna göra en rigorös uppskattning av felet. Exempel. För sin x är resttermen R 2n+1 (x) = ( 1) n x 2n+1 cos θx (2n + 1)!. Så R 2n+1 (x) x 2n+1 /(2n + 1)!. Approximerar vi sin 0, 1 med 0, 1 (dvs. tar x = 0, 1 och n = 1), blir felets absolutbelopp x 3 /3! = 0, 1 3 /6, en rätt bra approximation. Tar vi n = 2, får vi sin 0, 1 0, 1 0, 1 3 /6, och felets absolutbelopp blir 0, 1 5 /5! < 10 7.

9 För ln(1 + x) är resttermen R n+1 (x) = ( 1) n (1 + θx) n+1 x n+1 n + 1. Om x 0, är R n+1 (x) x n+1 n + 1. Tar vi n = 1, x = 0, 1, får vi ln 1, 1 0, 1 och felets absolutbelopp är 0, 1 2 /2 = , dvs. vi får 2 korrekta decimaler. Tar vi i stället x = 1 och vill ha 2 korrekta decimaler (dvs. R n+1 (1) 1/(n + 1) 1/200), måste vi ta n + 1 = 200, alltså nästan 200 termer. Exempel. Vi vill beräkna ett närmevärde till 5. Eftersom 4 = 2, ligger det nära till hands att antingen Taylorutveckla f (x) = x kring punkten a = 4 eller Maclaurinutveckla f (x) = 4 + x. Vi väljer det senare och vi tar n = 2.

10 Låt f (x) = (4 + x) 1/2. Då är f (x) = 1 2 (4 + x) 1/2, f (x) = 1 4 (4 + x) 3/2, f (x) = 3 8 (4 + x) 5/2. Så (4 + x) 1/2 = f (0) + f (0)x + f (0) 2 x 2 + f (θx) x 3 = x 1 64 x (4 + θx) x 3. 5/2 Sätter vi x = 1 och utnyttjar att (4 + θ) 5/2 4 5/2, får vi /4 1/64 med ett fel R3 (1) 1/ sin x Exempel. Beräkna ett närmevärde till dx. 0 x Vi approximerar sin x med x x 3 /6 och får 1 x x 3 /6 1 dx = (1 x 2 /6) dx = x Absolutbeloppet för felet i sinus-termen är x 5 /5! = x 5 /120. Så felet vi begår vi integrationen är till beloppet 1 x dx =

11 Beräkning av gränsvärden För att beräkna gränsvärden räcker det med att ha resttermen på ordo-form. Metoden förklaras nedan med ett enkelt exempel: sin x x Exempel. Beräkna gränsvärdet lim. x 0 x 3 sin x x = (x x 3 /6 + O(x 5 )) x = x 3 /6 + O(x 5 ) = x 3 x 3 x 3 1/6 + O(x 2 ) 1/6 då x 0. Så gränsvärdet är 1/6. Hur många termer i Maclaurinutvecklingen bör man ta? Generellt gäller att tar man för många termer, så blir det inte fel men man får kanske räkna mer än nödvändigt. Tar man för få termer, så går det inte att beräkna gränsvärdet. I exemplet ovan, om vi tar sin x = x + O(x 3 ), ser räkningarna ut på följande sätt: sin x x x 3 = (x + O(x 3 )) x x 3 = O(x 3 ) x 3.

12 Det enda vi kan säga om högerledet är att det är begränsat för x nära 0. Gränsvärdet kan vara vilket tal som helst (inklusive 0), men här kan vi inte ens avgöra om det finns något gränsvärde. Här följer två exempel till.

13 Exempel. Beräkna gränsvärdet lim x 0 ln(1 + x 2 ) x 2 x sin 2x 2x 2. ln(1 + t) = t t 2 /2 + O(t 3 ). Ersätter vi t med x 2, får vi ln(1 + x 2 ) = x 2 x 4 /2 + O(x 6 ) och ln(1 + x 2 ) x 2 = x 4 /2 + O(x 6 ). Vi ser att vi tog lagom många termer eftersom vi har beräknat lägstagradstermen i täljaren exakt. Tar vi en term mindre i utvecklingen av ln(1 + t), får vi ln(1 + x 2 ) = x 2 + O(x 4 ) och ln(1 + x 2 ) x 2 = O(x 4 ), dvs. vi har ingen kontroll över lägstagradstermen i täljaren. sin t = t t 3 /6 + O(t 5 ). Sätter vi t = 2x, får vi sin 2x = 2x (2x) 3 /6 + O(x 5 ) och x sin 2x 2x 2 = 2x 2 4x 4 /3+O(x 6 ) 2x 2 = 4x 4 /3+O(x 6 ). Nu kan vi beräkna gränsvärdet: ln(1 + x 2 ) x 2 = x sin 2x 2x 2 x 4 /2 + O(x 6 ) 4x 4 /3 + O(x 6 ) = 1/2 + O(x 2 ) 4/3 + O(x 2 ) 1/2 4/3 = 3 8.

14 ( 1 Exempel. Beräkna gränsvärdet lim x 0 x 1 ) 2 sin 2. x Här ser vi att både 1/x 2 och 1/ sin 2 x går mot då x 0. Vi börjar ( med en omskrivning: 1 lim x 0 x 1 ) sin 2 x x 2 2 sin 2 = lim x x 0 x 2 sin 2 x. Nu kan vi Maclaurinutveckla och vi får: sin 2 x x 2 = (x x 3 /6 + O(x 5 )) 2 x 2 = x 2 x 4 /3 + O(x 6 ) x 2 = x 4 /3 + O(x 6 ) x 2 sin 2 x = x 2 (x + O(x 3 )) 2 = x 2 (x 2 + O(x 4 )) = x 4 + O(x 6 ) sin 2 x x 2 x 2 sin 2 x = x 4 /3 + O(x 6 ) x 4 + O(x 6 ) Det sökta gränsvärdet är lika med 1 3. = 1/3 + O(x 2 ) 1 + O(x 2 ) 1 3.