1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

Transkript

1 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller jz + + ij Im z Re z (A3/B2, 2008{03{27, 2) 2. (a) Los ekvationen z 2 + 4iz i = 0: Losningarna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita ut i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller de bada olikheterna jz + ij 2 och Im z 0. (B2, 2007{2{0, ) 3. Forklara varfor det ar rimligt att deniera att e x+iy = e x (cos y + i sin y): 4. Visa med hjalp av Eulers formler att sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x; sin 3 x = 4 3 sin x sin 3x : 5. (a) Los ekvationen z 2 (2 + 6i)z + 6i 7 = 0. (b) Om a ar ett komplext tal kan man deniera p a som den losning z till ekvationen z 2 = a som uppfyller < arg z. Berakna 2 2 p p p3 i och + i utifran denna denition. Svara pa polar form. 6. (a) Vektorn z = p + i roteras vinkeln =6 medurs kring origo i 3 + i det komplexa planet. Bestam absolutbeloppet och argumentet for resultatet.

2 (b) Ekvationen z 5 + 2z 4 + 5z 3 + 8z 2 + 6z + 40 = 0 har roten + 2i. Los ekvationen fullstandigt. Svara pa formen a + bi. (A2, 2007{2{, 4) 7. (a) Ekvationen z 4 6z 3 + 8z 2 30z + 25 = 0 har roten + 2i. Los ekvationen fullstandigt. (b) Beskriv med en bild alla komplexa tal z som uppfyller foljande tre villkor: jz ij ; 4 arg z ; Re z 2 (A2, 2008{03{0, 2) 8. (a) Bevisa att om det komplexa talet ar ett nollstalle till ett polynom p(z) med reella koecienter sa ar ocksa ett nollstalle till p(z). (b) Faktorisera polynomet p(z) = + z + z 2 + : : : + z 7 i reella faktorer av minimal grad. (992{0{09, 6) 9. Samtliga rotter till ekvationen z 4 4z 3 + 6z 2 24z + 20 = 0 ligger pa linjen genom punkterna och +2i. Los ekvationen fullstandigt. (998{04{6, 6) 0. Rotterna till ekvationen z 4 + 6z z z = 0 ar belagna pa en rat linje. Minst en av rotterna ar icke{reell. Los ekvationen. (999{04{09, 6)

3 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Primitiva funktioner delkurs B2. (a) Skriv upp och visa formeln for partiell integration. (b) Bestam en primitiv funktion till e x cos 2x. (999{08{23, 4) 2. Bestam en primitiv funktion till var och en av foljande funktioner: (a) sin 2 x (b) x (c) x 2 4 (2007{08{20, ) 3. Bestam foljande primitiva funktioner: (a) Z p x x dx (b) Z arcsin x dx (998{2{6, ) 4. Ange en primitiv till var och en av foljande funktioner. (a) cos 2 ; (b) tan x; (c) x sin x 2 ; x (d) p 4x 2 ; (e) x cos x; (999{04{3, ) 5. Bestam alla primitiva funktioner till funktionerna (a) f (x) = 2x + 5 2x + 5 x 2 ; (b) g(x) = + 4x 5 x 2 + 4x + 5 : (2002{03{09, ) 6. Bestam alla primitiva funktioner till funktionerna (a) f (x) = 2x 6 x 2 + 8x 20 ; (b) g(x) = x 2 + 8x + 20 : 2x 6 (2003{03{0, 2)

4 7. Bestam alla primitiva funktioner till: (a) x 2 sin x; (b) x ln 2 : x (2003{04{25, ) 8. Bestam alla primitiva funktioner till (a) ep x p ; (b) x x 2 + 5x + 6 ; (c) x2 cos x: (2004{04{6, )

5 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Integraler delkurs B2. (a) Formulera och bevisa analysens huvudsats. 2 da t 2 (b) Lat f (t) = 6 2t da t > 2: Z x Ange ett uttryck for funktionen S(x) = f (t) dt; x. (Svaret ska ges utan integraltecken.) Skissera aven grafen till S. (B2, 2007{2{0, 5) 2. (a) Lat f vara kontinuerlig i a x b. Anvand integralkalkylens medelvardessats for att bevisa analysens huvudsats: Z d x f (t) dt = f (x); a < x < b: dx a (b) Dilogaritmfunktionen Li2 introducerades av L. Euler (707{783). For < x < kan funktionen Z denieras av x ln( t) Li2(x) = dt: 0 t Visa att Li2(x) + Li2( x) = 2 Li 2(x 2 ) da < x < : (999{03{3, 6) 3. Berakna Z =2 dx; =2 x till exempel genom att gora variabelbytet x = cos 2 t. (998{04{2, 3) 4. Bestam foljande integraler: (a) Z 2 0 Z 5x + 7 x 2 + 3x + 2 dx; 2 (b) 0 cos 3 x dx: (A3/B2, 2008{05{22, 3)

6 5. Berakna integralen Z 6 (x + 2)(x + )(x 2 + 2) dx: 6. Visa att den generaliserade integralen Z 7 6x 2 + 5x + dx ar konvergent och berakna dess varde. (995{08{2, 3) 7. (a) Visa att foljande generaliserade integral ar konvergent: Z 0 + x 2 dx: (b) Visa att foljande generaliserade integral ar divergent: Z + x + x 2 dx: (c) Berakna foljande andliga gransvarde: Z t + x lim t! t + x 2 dx: 8. Kurvorna y = (A3/B2, 2008{05{22, 3) p + x 2, x 0, och y = p2 x, x 0, avgransar tillsammans med y-axeln ett begransat omrade. (a) Berakna omradets area. (b) Berakna volymen av den kropp som bildas da omradet roterar kring x-axeln. (A3/B2, 2008{03{27, 3; 999{08{23, ) 9. (a) Berakna integralen I n = Z n (Har ar n ett positivt heltal.) 0 x x 2 + dx:

7 (b) Beteckna med s n summan nx k=0 k k 2 + : Uppskatta (dvs. nn olikheter for) s n uppat och nedat med uttryck som innehaller I n. (c) Berakna gransvardet s n lim n! n : (998{04{2, 5) 0. Anvand integraluppskattning for att visa att n 3 3 n X k 2 (n + )3 : 3 k=. Ett plan delar ytan av ett klot i forhallandet :2. I vilket forhallande delas klotets volym av samma plan? (998{08{24, 5) 2. En yta av nedanstaende form roterar kring y-axeln. Visa att rotationsvolymen = produkten av den genererande ytans area och langden av dess tyngdpunkts vag under ett varv. (Guldins regel) y (a; b) y = f (x) (Tyngdpunkten ges av x T = m Z (x T ; y T ) x x dm.) (999{04{3, 6)

8 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Dierentialekvationer delkurs B2. Los dierentialekvationen y 0 (x) 2x 2 3x y(x) = x + : x x + (998{2{6, 4) 2. Los dierentialekvationen (x + )y 0 + xy = (x + )e x ; y(0) = 2; x > : (999{04{3, 2) 3. Fallskarmshopparen Fia paverkas av tyngdkraften mg samt av en bromsande kraft (vindmotstand) som antas vara proportionell mot hennes fart i kvadrat. Detta leder till dierentialekvationen m dv dt = mg kv2 ; dar tyngdaccelerationen g ar 9; 8 m/s 2 och k ar en positiv konstant. I det ogonblick Fia hoppar ar hennes fart v noll, och v far sa smaningom ett vasentligen konstant varde som uppmats till 49 m/s. Bestam v(t) vid en godtycklig tidpunkt t. (998{2{6, 6) 4. Los dierentialekvationen f 000 f Ledning: Infor funktionen u = f 00 f 00 f 0 2 = 0: f 0 som ny obekant. (998{04{2, 6) 5. Lat a vara en reell konstant och lat y a (t) beteckna losningen till begynnelsevardesproblemet y ay 0 + y = 0; y(0) = 0; y 0 (0) = : Visa att lim t! y a(t) = 0 om och endast om a > 0.

9 6. Los begynnelsevardesproblemet y 00 2y 0 + 5y = 5x 2 + x; y(0) = 0; y 0 (0) = 5: Svaret ska ges pa reell form. (B2, 2007{2{0, 3) 7. (a) Los ekvationen y 00 + y = sin 2x. (b) Bestam alla losningar, som ar udda funktioner. (998{08{24, )

10 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, delkurs B2 Tillampningar till dierentialekvationer. Dierentialekvationen x 00 + ax = 4 sin 2t utgor modell for den odampade rorelsen av en kropp fastsatt i en fjader, da den utsatts for en yttre periodisk kraft. (Har ar a en positiv konstant.) (a) Bestam a sa att resonans intraar, dvs. sa att hogerledet 4 sin 2t utgor en losning till motsvarande homogena ekvation x 00 + ax = 0 (b) Los den inhomogena ekvationen fullstandigt for detta varde pa a. (998{04{2, 4) 2. I ett rum startar en brand som konsumerar luftens syre. Mangden syre i luften ar fran borjan 20 g. I en modell antar vi att branden gor att syre konsumeras med en hastighet som ar proportionell mot syremangden i kvadrat. Tva experiment gors. (a) For att bestamma proportionalitetskonstanten gors ett experiment da rummet ar helt stangt sa att inget nytt syre kan komma in. Man uppmater att syremangden minskar till halften nar det har brunnit i 5 minuter. Bestam proportionalitetskonstanten och ange hur syremangden beror av tiden. (b) I det andra experimentet ar rummet inte helt stangt, sa syre kommer att tillforas med en konstant hastighet av g=min medan det brinner. Ange hur syremangden beror av tiden. Vad hander med syremangden efter lang tid? (2006{03{07, 6) 3. En vattentanks vaggar bestar av ytan som uppstar da kurvan y = x 4 roteras runt y-axeln. (a) Berakna volymen av vattnet som en funktion av djupet y. (b) Antag att ett litet hal gors i botten av tanken. Anvand nu Torricellis lag och kedjeregeln for att visa att vattennivan sjunker med konstant hastighet i denna tank. Torricellis lag sager att vattenvolymen andras med en hastighet som ar proportionell mot kvadratroten ur djupet. (A3/B2, 2008{05{22, 6)

11 4. En klotformig doftkula har som ny diametern 8 cm. Pa grund av avdunstning minskar doftkulans volym pa ett sadant satt att volymminskningen hela tiden ar proportionell mot doftkulans area. Efter en manad har diametern minskat till 6 cm. Hur mycket aterstar av kulan efter 3 manader? (997{2{9, 6) 5. For en viss bakteriekultur vet man foljande: Maximala antalet bakterier ar M miljoner, dar M = 0. Vid en godtycklig tidpunkt t dygn ar antalet bakterier y(t) miljoner, dar y(t) andras med en hastighet som ar proportionell mot produkten av y(t) och (M y(t)). Vid tiden t = 0 dygn ar antalet bakterier miljon. Efter dygn ar bakterieantalet 2 miljoner. (a) Stall upp en dierentialekvation for y. (b) Los dierentialekvationen och bestam proportionalitetskonstanten. (c) Kontrollera att lim y(t) = M. (2004{2{3, 6) t!

12 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, delkurs B2 Maclaurins och Taylors formler. Satt f(x) = cos 2x. (a) Berakna maclaurinpolynomet p 2 (x) av ordning 2 till f(x). (b) Visa att jf(x) p 2 (x)j om jxj Satt f(x) = ln( + 3x). (2005{08{22, 4) (a) Berakna maclaurinpolynomet p 2 (x) av ordning 2 till f(x). (b) Visa att jf(x) p 2 (x)j 0 5 om 0 x 0 2. (A4, 2008{03{25, 3) 3. Satt f(x) = 3p + x. (a) Ange maclaurinpolynomet p 2 (x) av ordning 2 till f(x). (b) Ange felet i approximationen f(x) p 2 (x) pa Lagranges form. (c) Visa att jf(x) p 2 (x)j 5 8 x3, om x 0. p 3 (d) Berakna ett narmevarde till :09 med ett fel vars storlek ar mindre an (998{03{4, 3) 4. (a) Skriv upp Maclaurins formel med maclaurinpolynomet av ordningen 2 och med tillhorande restterm pa Lagranges form. (b) Visa olikheten cos x + x2 2 x 4 24 (999{04{3, 5) 5. (a) Berakna maclaurinpolynomet av grad 2 till f(x) = ( + 3x) =3. (b) Berakna gransvardet lim x!0 ( + 3x) =3 e x : x 2 cos x (2002{2{6, 2)

13 6. Berakna gransvardet lim x!0 sin 2 (x) sin(x 2 ) : (2004{08{23, 3) 7. Berakna Z sin x x dx med ett fel som ar hogst Bestam ett narmevarde till integralen 0 Z 0 sin p x dx sadant att felet ar mindre an (Du maste visa att ditt varde har onskad precision.) (205{08{7, 6b)