SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

Transkript

1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: Författare: Viktor Cheng

2 INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3 Övrigt...4 DEL II: TENTAMEN...5 Funktionsundersökningar...6 Gränsvärden...7 Primitiva funktioner... 0 Generaliserade integraler... 3 Funktion = konstant... 6 Sida av 8 Senast reviderad:

3 DIVERSE KNEP Egenskaper hos integranden och intervallet Om integranden är jämn kring origo, dvs. om f(x) = f( x) och om integrationsintervallet [a, b] är symmetriskt kring origo så medför det att f(x) dx = f(x) = f(x). Exempel: (Tenta uppgift ) Beräkna x dx. Integranden är en jämn funktion och integrationsintervallet är symmetriskt kring origo =/ x = x för x 0/= x 0 x dx = x = dx = [ x 0 ] 0 b a = ( 0) = 4. 0 a 0 b Om integranden i stället är udda kring origo, dvs om f(x) = f( x) och om integrationsintervallet [a, b] är symmetriskt kring origo så medför det att f(x) dx = 0. Exempel: Beräkna sin x dx. Integranden är en udda funktion och integrationsintervallet är symmetriskt kring origo sin x dx = 0. Kontroll: sin x dx = [ cos x] = = cos() + cos( ) = cos() + cos() = 0. Uppdelning av bråk Gör om täljaren till nämnaren (nästan). Separera och förenkla. Exempel: Beräkna x+ x dx. Täljaren är nästan lika med nämnaren, så när som en konstant på +. Skriv om täljaren. x + x + x dx = dx = x x x + x dx = = + dx = x + ln(x ) + C. x b a Sida 3 av 8 Senast reviderad:

4 ÖVRIGT Olikheter som är användbara för uppskattning, t.ex. vid gränsvärdesberäkning eller beräkning av (generaliserade) integraler: Olikhet Villkor Triangelolikheten x + y x + y - Omvända triangelolikheten : x y x y - sin x < x < tan x 0 < x < π/ ln x x x > 0 Trigonometriska identiteter som är användbara vid beräkning av gränsvärden eller primitiva funktioner: sin x = sinxcosx cos x = cos x sin x Eulers formler sin x = cos x = cos x + cos x sin x = eix e ix i cos x = eix + e ix Sida 4 av 8 Senast reviderad:

5 DEL II: TENTAMEN Sida 5 av 8 Senast reviderad:

6 FUNKTIONSUNDERSÖKNINGAR Hans Lundmark (MAI) har skrivit en utförlig checklista för funktionsundersökningar. Länk: Eftersom checklistan är väldigt utförlig kommer denna del endast att behandla lite kompletterande material om extrempunkter. Lokala extrempunkter är antingen minimipunkter eller maximipunkter. Alla lokala extrempunkter är något av följande: ) Stationära punkter till funktionen, dvs. där f (x) = 0. ) Punkter där funktionens derivata är odefinierad Exempel: derivatan av f(x) = x existerar inte i punkten x = 0 (se höger- respektive vänsterderivata). Dock har f(x) ett lokalt (t.o.m. globalt) minimumvärde i x = 0. 3) Ändpunkter till definitionsmängden Exempel: f(x) =, definierad på [, [, är strängt avtagande på hela intervallet och x antar därför sitt största värde i den vänstra ändpunkten x =, som är en lokal och global maximumpunkt. f(x) kommer förvisso att gå mot 0 då x (högra ändpunkten) men värdet 0 antas aldrig och därmed finns ingen minimumpunkt. För att hitta lokala extrempunkter behöver man alltså enbart undersöka punkter av ovanstående typer. Globala extrempunkter kan delas in i två fall: ) inga globala extrempunkter finns ) åtminstone en global extrempunkt finns (i vilket fall den också är en lokal extrempunkt). För att avgöra extrempunktens egenskaper behöver man föra ett resonemang kring funktionens egenskaper och /eller undersöka gränsvärden när funktionen går mot oändligheten eller ändpunkterna i definitionsmängden. ) Visa att inga globala extrempunkter existerar Exempel: f(x) = x 3 ± då x ± så inga globala extrempunkter finns. Om varje värde från till + antas finns inget värde som är större /mindre än alla andra. ) Visa att en lokal extrempunkt också är en global extrempunkt Exempel: f(x) = x har en lokal maximumpunkt i x = 0 och eftersom funktionen är strängt avtagande för alla reella x följer att x = 0 även måste vara en global maximumpunkt. Sida 6 av 8 Senast reviderad:

7 GRÄNSVÄRDEN Direkt gränsövergång brukar ge upphov till gränsvärden som är odefinierade. Generellt försöker man undvika detta genom att göra om uttrycket till en produkt eller summa av standardgränsvärden och sedan använda vanliga räkneregler för gränsvärden. Oftast är det lättare att manipulera uttrycket rent algebraiskt först och därefter göra gränsövergång. Metoder: Omskrivning eller variabelbyte för att få rätt gräns. Faktorisering eller bryta ut den dominerande termen Förlängning med konjugat (oftast vid rotuttryck) eller bråk. Exempel: (Tenta uppgift 3) Undersök lim x 0 esin x ln( 3x). Dela upp faktorer. Förläng med bråk. Flytta om termer för tydlighetens skull. e sin x ln( 3x) = (esin x ) ln( 3x) = sin x = (e sin x ) sin x ln( 3x) 3x 3x. e sin x sin x 3x sin x ln( 3x) 3x. e sin x är en variant av et, då t 0. sin x t 3x ln( 3x), då t 0. ln(+t) är en inverterad variant av t e sin x sin x, då x 0. 3x ln( 3x) = ln( 3x) 3x = då x 0. Notera att då x 0. sin x 3x = 3 sin x x och sin x x sin x 3x 0. = 3 sin x x 3 = 3 då x Delresultaten ger tillsammans svaret: e sin x = då x 0. ln( 3x) 3 3 Sida 7 av 8 Senast reviderad:

8 (Tenta uppgift ) Undersök lim x π cos x 4x π. Notera att nämnaren är på formen (a b ), som ju är lika med (a b)(a + b). Bryt ut en faktor 4 från nämnaren. Då fås (x + π ) respektive (x π ), vilket påminner om cos (x + π ) respektive cos (x π ), dvs en fasförskjuten sinusfunktion. Detta används i omskrivningen nedan. x π är fel gräns. Standardgränsvärden berör oftast fallet x 0. cos x 4x π = cos x (x π)(x + π). cos x (x π)(x + π) = = 4 cos x (x π ) (x + π ). 4 cos x (x π ) (x + π ) = 4 cos x 4 (x π ) (x + π ) = π ) cos (t + (t)(t + π). Sätt därför t = x π x = t + π x + π = t + π. t 0 då x π, vilket är rätt gräns. Omskrivning m h a cos (t + π ) = sin t. 4 Uppdelning av faktorer och användning av standardgränsvärdet sin t t då t 0. π ) cos (t + t(t + π) = 4 sin t t(t + π). 4 sin t t(t + π) = 4 sin t t t + π 4 π = π, då t 0. 4 Svar ska alltid ges i den ursprungliga variabeln om inte annat anges. lim x π cos x 4x π = 4 π. Sida 8 av 8 Senast reviderad:

9 (Tenta uppgift ) Undersök lim x ln(x +x0) e +ln x. e a+b = e a e b x x > 0. e ln x = x, för x > 0. ln( x + x 0 ) = ln(x + x 0 ) e +ln x e eln x ln( x + x 0 ) = ln(x + x 0 ) e e ln x e x Bryt ut den dominerande termen x. ln( x + x 0 ln ( ) x ( + x0 )) x = e x e x ln(a b) = ln a + ln b Separera till två olika bråk. ln ( x ( + x0 )) x e x ln x + ln ( + x0 ) x ln x = e x e x = ln x + ln ( + x0 x ) e x ln ( + + e x x 0 x ) ln a b = b ln a ln x e x x ln = e x = ln e x a 0 då x, för a >. ax ln ( + x0 ) x = ln ( + x0 e x ) x e x ln( + 0) 0 0, då x. Delresultaten ger tillsammans svaret: ln( x + x 0 ) ln e +ln x e + 0 = ln, då x. e Sida 9 av 8 Senast reviderad:

10 PRIMITIVA FUNKTIONER I allmänhet försöker man skriva om den integrand man fått till en form som har en känd standardprimitiv. Oftast måste flera olika metoder kombineras, t.ex. omskrivning + variabelbyte eller kvadratkomplettering + variabelbyte + partiell integration. Trigonometriska uttryck Metoder: Omskrivning med hjälp av trigonometriska identiter Omskrivning med hjälp av Eulers formler Variabelbyte med hjälp av lämplig innerderivata Exempel: (Tenta uppgift ) Beräkna cos 3 x dx. Upprepad partiell integration blir jobbigt. Skriv därför om m h a trigonometriska ettan sin x + cos x =. cos 3 x dx = (cos x) (cos x) dx = = ( sin x) (cos x)dx Innerderivata hittad. (sin x) = (cos x). Förbered för variabelbyte. t = sin x dt = cos x dx Genomför variabelbyte. ( sin x) (cos x)dx = ( t ) dt Beräkna primitiv funktion i variabeln t. ( t ) dt = t t 3 Byt tillbaka till variabeln x. t t C 3 + C = sin x sin3 x 3 + C Svar: cos 3 x dx = sin x sin3 x 3 + C Sida 0 av 8 Senast reviderad:

11 Polynom polynom eller polynom elementär funktion Metoder: Variabelbyte med hjälp av lämplig innerderivata Faktorisering + partialbråksuppdelning Partiell integration (+ skjuta in en :a framför vid behov) Exempel: (Tenta uppgift ) Beräkna x 3 e x dx. x är nästan derivatan av x 3, vilket antyder att variabelbyte kan vara rätt väg. Skriv om integranden och förbered för variabelbyte. Genomför variabelbyte. Partiell integration i variabeln t. Byt tillbaka till variabeln x. Svar: Sätt t = x dt = x dx dt = x dx. OBS: t 0. x 3 e x dx = x e x x dx x e x x dx = tet dt tet dt = (tet e t dt) = = (tet e t ) = et (t ) + C et (t ) + C = e x (x ) + C x 3 e x dx = ex (x ) + C Sida av 8 Senast reviderad:

12 Funktioner eller uttryck med polynom inuti Metoder: Variabelbyte ( ersätt den jobbiga delen med en ny variabel ) Faktorisering + partialbråksuppdelning Förlängning med konjugat Kvadratkomplettering + variabelbyte Exempel: (Tenta uppgift 3) Beräkna arctan x dx. Eftersom x är det som orsakar mest besvär kan det vara en bra idé att byta ut det. Genomför variabelbyte. Partiell integration i variabeln t. Välj att hitta en primitiv till t eftersom det är enklare än att hitta en primitiv till arctan(t). Behandla den obestämda integralen separat. Använd uppdelning av bråk och beräkna en primitiv. Sätt ihop de två obestämda integralerna Byt tillbaka till variabeln x. Förenkla och svara: Sätt t = x t = x t dt = dx. OBS: x 0 t 0. arctan( x) dx = arctan(t) t dt. arctan(t) t dt = = t arctan(t) t + t dt t + t dt = + t dt = + t = dt = t arctan(t) + C + t t arctan(t) t + t dt = = t arctan(t) t + arctan(t) + C t arctan(t) t + arctan(t) + C = = x arctan( x) x + arctan( x) + C arctan x dx = = (x + ) arctan( x) x + C Sida av 8 Senast reviderad:

13 GENERALISERADE INTEGRALER En generell metod för att handskas med generaliserade integraler är att:. Undersöka de områden som ger upphov till problem i integralen. o Jobba runt dessa områden m h a uppdelning, omskrivning, faktorisering etc.. Hitta en primitiv funktion till integranden. 3. Omvandla den generaliserade integralen till ett gränsvärde. o Inför lämpliga ersättningsvariabler och räkna på som vanligt 4. Göra gränsövergång och utvärdera resultatet. 5. Det sista steget ger också svar på frågan om huruvida integralen kan beräknas ö h t (konvergens / divergens) och vad svaret i så fall blir. Exempel: (Tenta uppgift 5) Beräkna den generaliserade integralen ( 0 x π cos x sin x )dx. Vilka områden/gränser ger problem? Beräkna primitiv funktion först. Använd att f (x) dx = ln f(x) med f(x) = sin x. f(x) Integralen är generaliserad i ändpunkten x = 0 pga. att integranden är obegränsad där. ( x cos x ) dx = ln x ln(sin x) + C. sin x ln a ln b = ln a b. ln x ln(sin x) = ln x sin x. Inför nu de relevanta gränserna. Omvandla till gränsvärde. Inför även en ersättningsvariabel R för x 0 +. R sin R då R 0+ är en inverterad variant av sin t t, då t 0. π ( x 0 cos x sin x ) dx lim [ln x R 0 + sin x ] = R = lim R 0 + [ln π π sin π = ln π ln = ln π. π =... = lim [ln x R 0 + sin x ]. R ln R sin R ] Sida 3 av 8 Senast reviderad:

14 (Tenta uppgift 4) Beräkna 4 (x 3)(+ x 3) dx och 3 (x 3)(+ x 3) dx. Vilka områden/gränser ger problem? Eftersom (x 3) förekommer på två ställen är det en bra kandidat för variabelbyte. Genomför variabelbyte. Notera att t = ( t). Alltså är t en bra kandidat för variabelbyte. Genomför variabelbyte. Partialbråksuppdelning ger följande: Använd att ln a ln b = ln a b. Utför uppdelning av bråk. Återgå till variabeln x. Inför de relevanta gränserna. Inför även en ersättningsvariabel R för -gränsen. Insättning och vanliga gränsvärdesräkningar ger följande: Eftersom f(x) dx är generaliserad i båda 3 ändpunkter, dela upp integralen i två delar. Inför en ersättningsvariabel S för ändpunkten x = 3. När S 3 + går hela uttrycket mot oändligheten. Denna delintegral är alltså divergent. Det innebär att hela integralen är divergent. Integralerna är generaliserade i en respektive båda ändpunkter (obegränsat intervall då x och obegränsad integrand då x = 3). Sätt t = x 3 dt = dx. OBS: Man kan utan större problem anta att t > 0. Se det som att man låter t 0 +. dx = (x 3)(+ x 3) t(+ t) dt. Sätt s = t s = t s ds = dt. OBS: t > 0 s > 0. s dt = ds = t(+ t) s (+s) s(+s) ds. ds = ds = ds s(+s) s +s s +s = = (ln s ln( + s)) + C. (ln s ln( + s)) = ln = ln + s + s = ln ( ). + x 3 s + s = = ln ( + s ) = dx = = 4 (x 3)(+ x 3) = lim [ ln ( )] R. R + x 3 4 lim [ln ( ) ln ( ) = R + R 3 + = (ln ln ( )) = ln = ln dx = (x 3)(+ x 3) 4 (x 3)(+ x 3) dx. 3 4 (x 3)(+ x 3) dx = = 3 (x 3)(+ x 3) = lim [ ln ( )] 4 S 3 + = + x 3 S = ln 4 ln(0) ln (x 3)(+ x 3) dx är divergent. dx Sida 4 av 8 Senast reviderad:

15 (Tenta uppgift 4) Beräkna den generaliserade integralen dx x(x x). Vilka områden/gränser ger problem? Beräkna primitiv funktion först. Faktorisera integrandens nämnare. Förbered ett variabelbyte inför partialbråksuppdelning. Variabelbyte + uppdelning i faktorer. Partialbråksuppdelning ger följande: Integralen är generaliserad i ena ändpunkten pga. obegränsat intervall (x ). x(x x) dx = x x x dx. Sätt t = x t = x t dt = dx. OBS: x t. x x x dx = = t t t t dt = = t (t + )(t ) dt. t (t + )(t ) dt = = t + t t + dt = = ln(t ) ln(t + ) + t + C. Använd att ln a ln b = ln a b. ln(t ) ln(t + ) + t = = ln ( t t + ) + t. Återgå till variabeln x. ln ( t t + ) + t = ln ( x x + ) + x. Inför nu de relevanta gränserna. Inför även en ersättningsvariabel R för -gränsen. Förkorta bort R i täljare och nämnare och gör gränsövergång. Förläng med konjugatet vid beräkning av +. R R R dx = lim x(x x) = lim R [ln ( x lim [ln ( x R = lim R ) + ]. x+ x R ) + ] = x+ x R [ln ( + R ) + R = 0 +0 ln(3 ) = = ln(3 ). dx = x(x x) ln ( + ) ]= Sida 5 av 8 Senast reviderad:

16 FUNKTION = KONSTANT Frågor av typen Antal lösningar för varje värde på den reella konstanten a. Metod:. Samla alla variabler i t.ex. VL och alla konstanter i HL.. Bilda en funktion f(x) av VL 3. Utför en funktionsundersökning av f(x) o Görs i syfte att lista ut hur funktionens graf ser ut 4. Rita in den räta linjen y = HL och undersök antalet lösningar (skärningspunkter med grafen) 5. I vissa fall är frågan omvänd, dvs hur många lösningar fås för ett godtyckligt HL? Dock skiljer sig inte själva tillvägagångssättet. Tanken är att dela upp en ekvation i två delar: en funktion f(x) och en konstant c. Den räta linjen y = c motsvarar konstanten. (Antalet) skärningspunkter mellan y = f(x) och y = c motsvarar (antalet) lösningar till ekvationen f(x) = c. Ibland går det inte att se grafiskt exakt var de skär varandra men det går alltid att räkna ut exakta värden. Exempel på uppdelning av ekvation i funktion f(x) och konstant c. Exempel på antal skärningspunkter mellan y = f(x) och y = c för olika värden på konstanten c. Ekvivalent med antalet lösningar till ekvationen f(x) = c för olika värden på c. Sida 6 av 8 Senast reviderad:

17 Exempel: (Tenta uppgift 6) Bestäm alla tal c > 0 sådana att ekvationen ln(c (x 3)) exakt två olika lösningar. x = har Undersök ekvationen. Konstanten är inbakad med variabeln. Förbered för att separera dessa. ln(c(x 3)) x = har ett uppenbart problem vid x = 0, alltså x 0. ln(t) endast definierad för t > 0 och eftersom c > 0 så måste även (x 3) > 0 x > 3. Detta är striktare än kravet på x 0, som därmed blir överflödigt. Skriv om ekvationen. Lös ut konstanten och separera. ln(c(x 3)) x =... ln c = x ln(x 3) Bilda funktion av HL. f(x) = x ln(x 3). OBS: x > 3. Beräkna derivatan f (x) m h a kedjeregel och faktorisering. f (x) = x (x 3)(x + ) = x 3 x 3 Skapa teckentabell. Undersök gränsvärden. f(x) då x 3 + f(x) då x 3 f(x) ± då x ± ty: Misstänker att x ln x ± då x ± eftersom ln-termen växer långsammare än x. Detta visas genom faktorisering och standardgränsvärdet ln t t 0 då t. x ln(x 3) = x ln (x ( 3 x )) = = x ln x ln ( 3 x ). x ln x = x ( ln x ) ± då x ±. ln ( 3 x) ln = 0 då x ±. x Sida 7 av 8 Senast reviderad:

18 Rita grafen till funktionen m h a informationen från funktionsundersökningen. Det finns två skärningspunkter mellan linjen y = ln c och y = f(x), motsvarande två (olika) lösningar till f(x) = ln c, endast om ln c = f(3). Sätt in det kända x-värdet i ursprungliga ekvationen för att lösa ut motsvarande värde på c. Svar: ln c = x ln(x 3) och x = 3 ln c = 3 ln(6) c = e 3 ln (6) = e3 e ln (6) = e3 6. Ekvationen ln(c (x 3)) = har exakt två olika lösningar om c = e3 6. x Sida 8 av 8 Senast reviderad: