Svar till tentan

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematisa institutionen Sigstam, Styf Prov i matemati Alla program o frist urs ENVARIABELANALYS Svar till tentan Del A Bestäm alla punter P 0 på urvan y = x + sådana att tangenten, till urvan, i P 0 går genom origo. Svar. Tangenten till y = f (x) i punten (a, a + a + ) har ritningsoefficient a +. Då tangenten sa gå genom origo, blir dess evation y = (a + )x. Tangenten sa ocså gå genom punten (a, a + a + ), vilet ger sambandet a + a + = (a + )a, dvs a =. a = ger punten P 0 = (, 3), och a = ger punten P 0 = (, ). Bestäm, om det existerar, gränsvärdet sin πx lim x ln x. Svar. Uttrycet är av typen 0 0, så l Hopitals regel går att använda. Man får svaret π. 3 Partialbråsuppdela uttrycet x 3 + x. Svar. Fatorisera nämnaren x 3 + x = x(x + ), och ansätt x 3 + x = A x + Bx + C x +, där A, B och C är onstanter som sa bestämmas. Liheten ger sambandet = A(x + ) + x(bx + C), som medför att A =, B = och C =. Svar. x 3 + x = x x Bestäm alla primitiva funtioner till x x +. Svar. Sriv x x + som x + x x och integrera termvis. + Svar: C + x + ln x + arctan x ln(x + ), (onstant C).

2 5. Beräna ln x. () x Svar. ( ln ). (Använd partiell integration.) 6. Beräna integralen e. genom användande av substitutionen u = e x. Lösning. Med den givna substitutionen får vi du = u, dvs = du u. Vidare gäller e x =, så vi får: u e = du u u + = du + u = ln + u + C = ln + e x + C. Svar. ln + e x + C. 7. Avgör, med hjälp av en lämplig triangel, om det är sant att cos (arctan x) =, x R. () x + Lösning. Låt t = arctan x. Då är tan t = x, vilet illustreras i en rätvinlig triangel med ateterna och x. En sådan triangel har hypotenusan + x, och i samma triangel utläser vi att cos t =. + x 8. Lös differentialevationen y + y = 0. Svar. y = A + Be x, där A och B är onstanter. (Den arateristisa evationens rötter är 0 och.) 9. Bestäm en lösning till differentialevationen y + y = x + e x. Lösning. Vi söer en partiulärlösning y P. Ansätt y P = Cx + Dx + Exe x, där C, D och E är onstanter. Detta ger C =, D = och E =. Svar. En partiulärlösning är y P = x x xe x. 0. Lös differentialevationen y + y = x + e x under begynnelsevilloren y(0) = y (0) = 0.

3 Lösning. Motsvarande homogena differentialevation y + y = 0 har lösningen y H = A + Be x. (Uppgift 8). Den allmänna lösningen ges av y = y H + y P = A + Be x + x x xe x. Insättning av begynnelsevärdena i y och i y ger A = 3 och B = 3. Svar. y = x x + 3 e x (x + 3).. Visa att funtionen f (x) = x x, x > e, är inverterbar. Lösning. Använd logaritmis derivering. Då fås f (x) = f (x) ( ln x). x För x > e så blir detta uttryc negativt, vilet innebär att funtionen är strängt avtagande i det efterfrågade intervallet. Därför är funtionen inverterbar där.. Låt f vara som i uppgift. Bestäm inversens derivata i punten. (Dvs bestäm g ( ), där g = f.) Lösning. Sö först a så att f (a) =. Eftersom = / så har vi a =. Beräna f (): Nu gäller att f () = f () ( ln ) = 4 g ( ) = f () = ln. ( ln ). 4 Del B 3. Lös differentialevationen xy + y = ln x med villoret y() =. Lösning. Evationen är linjär av första ordningen och löses med integrerande fator. Sriv först evationen på formen y + y x = ln x x. En primitiv funtion till är ln x varför den x integrerande fatorn (IF) blir e ln x = x. Efter multipliation med IF an evationen srivas d ( yx ) = x ln x. Därför gäller yx = x ln x = [... partiell integration... ] = x och y = ln x 4 + C x. Villoret y() = medför att C = 5 4. Svar. y = ln x x. ln x x 4 + C,

4 4. Bestäm, om det existerar, gränsvärdet lim t 0 ( e t ) sin t t arctan t + cos t genom att Maclaurinutvecla de ingående funtionerna. Lösning. Maclaurinutvecling av täljaren T ger och utvecling av nämnaren N ger T = ( t + O(t 3 ) ) ( t + O(t ) ) = t + O(t 3 ), N = t ( t + O(t 3 ) ) + t + O(t4 ) = t + O(t 4 ). Förorta med t och brået an srivas T N = + O(t) + O(t ) / Svar. 4. = 4, då t Undersö urvan y = x3 + 3x 4 x + med avseende på definitionsmängd, asymptoter, extrempunter och onvexitet. Gör en urvsiss. Lösning. Brået an fatoriseras y = x3 + 3x 4 x + = (x )(x + ) () och vi ser att funtionen är definierad för x =. Nära x = (på båda sidor) är funtionsvärdena negativa. Gränsvärdena av funtionen då x närmar sig blir. Alltså är linjen x = en lodrät asymptot, neråt på båda sidor. Med polynomdivision visas att y = 3x + 5 x. Därför gäller att + y () = 3x + 5 x 0, då x ±. + Alltså är linjen y = en sned asymptot åt båda håll. Derivering m hj a votregeln ger y = (x + )(x + x + 4) () 3. Fatorn x + x + 4 sanar reella nollställen, så y = 0 x =. Tecenstudietabellen behöver innehålla punterna (derivatans nollställe) och x = (punt där funtionen är odefinierad). Tecenstudietabell:

5 x x x + x () y + 0 odef. + y max odef. Funtionen har ett loalt max vid x =, med värdet y = 0. För att undersöa onvexitet deriverar vi en gång till. Efter förortningar får man y = 6 x + 3 () 4, så y = 0 x = 3. För x < 3 gäller att y > 0, så urvan är onvex där. För x > 3 gäller att y < 0, så i både intervallet ( 3, ) och i intervallet (, ) är urvan onav. 6. Avgör för var och en av följande serier om den är onvergent eller divergent: (a) sin = (b) = ( ) Lösning. (a) När är stort så är nära 0, och för h nära 0 gäller att sin h h. Vi har a = sin = 3/, varför vi provar att jämföra med serien b där b = 3/. Denna serie är onvergent (p-serie) eftersom 3 >. Vi måste undersöa voten a. b a b = sin = sin = sin 3/, a enligt ett änt standardgränsvärde, då. Eftersom lim b onvergent, så följer nu att a är onvergent. (b) För termen a gäller (med ett standardgränsvärde) ( ) ( a = = ) e =, då. e Eftersom termerna inte går mot 0, så måste serien vara divergent. Svar. (a) Konvergent. (b) Divergent. = < och b är