TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

Transkript

1 TNA004 Analys II Tentamen Lösningssisser. y ( ) y( ) e är linjär av första ordningen. Välj integrerande fator Multipliation av (*) med IF ger oss IF ln( ) e d e (Obs! ty vi har y(0) 0 ). ( ) y y e 0 C Villoret y ( 0) 0 ger 0 C. e e Svar: y e y d d e C ( ) y e e d [partiell integration] e ( ) y e C.. På intervallet 0 har vi att cos sin. Området D är då det område där en tunn retangel är utritad. a) Då området D roterar ett varv ring y-aeln ommer retangeln i figuren att generera ett cylindrist sal (rör) vars volym är dv π(cos sin )d Den söta volymen är alltså V π (cos sin )d [partiell integration] Svar: Volmen är π π v.e. π π b) Då retangeln roterar ett varav ring -aeln får vi en cirulär siva med hål. Sivans tjocle är d, dess yttre radie är R() cos och dess inre radie (hålets radie) är r() sin. Volymelementets volym är alltså dv π(cos sin )d π cos d Den söta volymen är då Svar: Volmen är v.e. V π cos d π 3. a) e sin cos 4 arctan O( ) O( ) 4 + O( ) O( ) 3 + O( ) 3 + O( ) O() 3 + O( )

2 Svar: Gränsvärdet är lia med 8. b) ty då får vi ln( + ) + p() O( ) + p() ln( + ) + p() Svar: p() O( ) O( ) 3 p() O( ) För differentialevationen y () y () 4y () + 4y() (3 )e får vi den arateristisa evationen r r 4r r, r, r, vilet ger oss evationens homogena lösning y C e + C e + C e. För att finna en partiulärlösning för HL (3 )e gör vi ansatsen som ger y z()e y (z + z)e, y (z + z + z)e, y (z + 3z + 3z + z)e Insättning i evationen y () y () 4y () + 4y() (3 )e ger, efter förenling och division med e 0, differentialevationen z + z 3z 3 ( ), och vi gör här ansatsen z (A + B + C) A + B + C och får z 3A + B + C, z 6A + B, z 6A Insättning i ( ) ger 6A + A + 4B 9A 6B 3C 3 som ger villoren A 9A 3 3 A 6B 0 B 6A + 4B 3C 3 C 9 vilet innebär att y e. Vi får därmed den allmänna lösningen: y() y + y Svar: y() C e + C e + C e + + e 5. a) Serien ( ) sall undersöas. Serien är alternerande och vi har (I) 0 då och

3 (II) a ( )ln( ) a (trivialt). Enligt Leibniz riterium är alltså den alternerande serien ( ) onvergent, v.s.v. b) sin ln Maclaurinutvecla O 5 O 4 O O a 4 Låt b. Då gäller att a 0 O 0, och eftersom b är en onvergent b jämförelseserie (ty ) så är den givna serien onvergent enligt Jämförelseriteriet på gränsvärdesform. Svar: Serien är onvergent c) Vi använder votriteriet för att få villor för absolutonvergens. a a + ( + ) ( + ) < < < < Enligt votriteriet är serien absolutonvergent om < < och divergent för < eller >. Vi undersöer seriens ev. onvergens för resp.. ger oss serien ( ) + ( ) ( ) + + Här går inte termerna mot 0 då. Alltså är serien divergent. ger oss serien som är divergent av samma säl som ovan. Svar: Potensserien är onvergent för ],[.

4 6. Eftersom + cos v 3 sin v för 0 v, så är r + cos v den yttre urvan i detta intervall. Arean av ett plant område som begränsas av en polär urva r r(v) och strålarna α och β är A (r(v)) dv, där areaelementet an motiveras utifrån en lämplig figur, se t.e. ursboen sid. 34 eller motsvarande. (Anm: Figur med lämpliga ommentarer sall finnas i en fullständig lösning). Eftersom + cos v 3 sin v för v 0 eller v så är detta de integrationsgränser som behövs för beräningen av det besrivna området. Vi har de respetive areaelementen: och får den söta arean dv ( + cos v) dv och dv (3 sin v) dv A ( + cos v) dv (3 sin v) dv (4 + 4 cos v + cos v sin v sin v)dv (cos v + 4 cos v + 6 sin v 5)dv Svar: Söt area är 5 v.e. sin v + 4 sin v 6 cos v 5v 5 5π 4 7. Vi gör ansatsen y() c c + c + c + c + och får y () c c + c + 3c + och y () ( )c < R onvergensradien (tills vidare oänd). De givna villoren ger oss y(0) c, y (0) c 0. Insättning i den givna differentialevationen ger oss: y () + y () + y() 0 ( )c + c + c 0 ( + )( + )c + c + c 0 [( + )( + )c + ( + )c ] 0 [för alla 0] c ( + )( + )c + ( + )c 0 + ( + )( + ) c c + c, 0,,, 3, 4, c + 6c +, där Med får vi c 0 +, Med och c får vi c 3 + c 0, vilet innebär att alla c med udda inde är 0.

5 Med får vi På samma sätt får vi Alltså har vi Alltså (via ansatsen) för < R. c 4 + c 8! c 3!, c 4!, c ( )! y() c + c + c + c ( )! Vi undersöer onvergensradien R via votriteriet: () a ( + )! a! Alltså är, enligt votriteriet, onvergensradien R. Vi ser även att serien onvergerar mot e ty Svar: y() ()!! ( + )! + 0 (< ) då för alla R. y() ( ) e! med onvergens mot e för alla R.