a k . Serien, som formellt är följden av delsummor

Transkript

1 Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara beant från teorin för generaliserade integraler i Kapitel 3.6 i boen, och vi ommer ocså att utnyttja sambandet mellan serier och sådana integraler från Kapitel 3.7. S. Serier Vi påminner om att en serie definieras utifrån en talföljd ( ) 0. Serien, som formellt är följden av delsummor n s n =, allas onvergent om denna följd (s n ) 0 har ett (ändligt) gränsvärde då n ; detta gränsvärde allas seriens summa. Som vi onstaterade på sidan 202 i boen så måste då termerna 0 då. Vi börjar med att bevisa detta påstående. Sats S.. Om serien är onvergent så gäller det att 0 då.

2 2 Kapitel S. Mer om serier Bevis. Antag att seriens summa är A, dvs. att lim n s n = A. Vi har då att a n = n n = s n s n A A= 0 då n. Exempel S.. Vi an nu diret onstatera att exempelvis serien är divergent, eftersom lim + = 0. + y= f (x) En intressant notering är att en motsvarighet till Sats S. inte gäller för (generaliserade) integraler; 0 f (x) dx an vara onvergent trots att f (x) inte går mot 0 då x. Vi an exempelvis låta f vara sådan att området under grafen består av återommande staplar som smalnar av tillräcligt snabbt för att den sammanlagda arean sall tolas som ändlig. Om lim x f (x) existerar så måste gränsvärdet doc vara 0. Omvändningen till Sats S. är inte sann; det rävs även att termerna går mot noll tillräcligt fort för att serien sall varonvergent. Vi har sett i Exempel 3.9 att serien n är divergent, trots att termerna = / går mot 0. Divergensen av denna hänger samman med divergensen av motsvarande generaliserad integral. Vi repeterar resultatet som detta bygger på (Sats 3.4 i boen). Sats S.2 (Cauchys integralriterium). Antag att funtionen f (x) är positiv och avtagande för x, samt integrerbar på [, X] för varje X >. Då är serien och den generaliserade integralen f () respetive f (x) dx antingen bådonvergenta eller båda divergenta. Som vi onstaterade i Anmärning 3.6 an vi översätta ett antal resultat som gäller för generaliserade integraler så att de i stället gäller för serier. Vi formulerar nu serieversionerna av Sats 3.0 och Sats 3.2 i boen:

3 S.. Serier 3 Sats S.3. Antag att 0 b för all 0. Då gäller: () b onvergent onvergent, (2) divergent b divergent. Notera att vi an byta ut villoret 0 mot 0, för något heltal 0. Sats S.4. Antag att följderna ( ) 0 och (b ) 0 är positiva. Om lim = A 0 b (A ändligt) så är serierna och b antingen bådonvergenta eller båda divergenta. I fallet då ( ) 0 och (b ) 0 är avtagande följer resultaten i satserna diret av Cauchys integralriterium tillsammans med just Sats 3.0 och Sats 3.2. Vi an ocså bevisa Sats S.3 och Sats S.4 (för godtycliga positiva följder) genom att i stort sett opiera bevisen för Sats 3.0 respetive Sats 3.2; utför gärna detta som övning. Vi har för serier ocså en motsvarighet till del () i Sats 3.: Sats S.5. α onvergent α>. Om α>0 så är följden (/ α ) avtagande, och satsen följer av Cauchys integralriterium tillsammans med Sats 3.. För övriga α går inte termerna mot 0, och Sats S. ger då att serien är divergent. Vi återvänder för ett ögonblic till den geometrisa serien x på sidan 203 i boen, och påminner om följande resultat:

4 4 Kapitel S. Mer om serier x är onvergent med summan x precis då < x<. För termerna = x i denna serie gäller det att a = x = x, och även att + = x+ x = x, (S.) i det första fallet då voten x är positiv. Det är ibland användbart att jämföra en allmän serie med den geometrisa, genom att undersöa uttrycen i (S.). Vi studerar därför nu två onvergensriterier där just a respetive + / används. Sats S.6 (Cauchys rotriterium). Antag att 0 för all, och att gränsvärdet lim a = A existerar (ändligt). Då är serien onvergent om A< och divergent om A>. Bevis. Antag först att A<, och välj ett B sådant att A< B<. Att gränsvärdet existerar innebär att så småningom ommer godtycligt nära A; speciellt finns det ett heltal 0 sådant att < B då > 0. Det gäller att 0 < B 0 < B, och eftersom 0<B< ger att B är onvergent så följer det nu av Sats S.3 att även serien är onvergent. I fallet A> så får vi att a >, dvs. >, då > 0 för något 0. I detta fall går alltså inte termerna mot 0, och är divergent enligt Sats S..

5 S.. Serier 5 Sats S.7 (d Alemberts votriterium). Antag att 0 för all, och att gränsvärdet + lim = A existerar (ändligt). Då är serien onvergent om A< och divergent om A>. Bevis. Vi antar först att A <, och väljer igen ett B sådant att A < B <. Nu finns det ett 0 sådant att + < B, dvs. + < B, då > 0. Upprepad användning av den andra oliheten ger, för > 0, att < B < B 2 2 <...<B 0 0 = B B 0 0 = C B, med onstanten C = B 0 0. Eftersom C B = C B är onvergent ger nu Sats S.3 att även är onvergent. I fallet A> så får vi att + >, dvs. + >, då > 0 för något 0. Speciellt ser vi att termerna inte går mot noll, och divergensen följer av Sats S.. Exempel S.2. Vi undersöer nu onvergensen av (. 2 ) Eftersom termerna innehåller exponenten så provar vi om rotriteriet går att tillämpa. Vi beränar gränsvärdet ( lim ) a = lim = lim 2 2 = 2 <. Här har vi använt att = e ln / = e ln e 0 = då. (S.2) Serien är alltså onvergent enligt Sats S.6.

6 6 Kapitel S. Mer om serier Kvotriteriet är lämpligt att använda då termerna innehåller faulteter av summationsindex: Exempel S.3. Serien x! är onvergent för alla värden på x. Detta följer av Sats S.7 eftersom det för varje fixt x gäller att + = x + (+)! x! = x 0< då. + Om du läst Kapitel.3 så vet du nog att serien onvergerar mot e x. Observera att Sats S.6 och Sats S.7 inte ger någon vägledning då gränsvärdet A är lia med. För serierna och är respetive gränsvärde, både då vi försöer tillämpa rotriteriet (använd me- 2 toden i (S.2) för gränsvärdesberäningen) och votriteriet, men enligt Sats S.5 är den första av dessa serier divergent medan den andra är onvergent. De onvergensriterier vi sett hittills gäller endast för positiva serier, dvs. serier med ice-negativa termer. Precis som för generaliserade integraler så säger vi att serien är absolutonvergent om är onvergent, och vi har ocså en motsvarighet till Sats 3.3 i boen: Sats S.8. Varje absolutonvergent serie är onvergent. Satsen an bevisas genom att diret översätta beviset av Sats 3.3, så vi avstår från detta. Vi säger ocså att en serie är betingat onvergent om den är onvergent men ej absolutonvergent. Exempel S.4. Vi har i Exempel.2 sett att Men samtidigt är ( ) = ln2. (S.3) ( ) = divergent enligt Sats S.5. Serien i (S.3) är alltså ett exempel på en betingat onvergent serie.

7 S.. Serier 7 Serien i (S.3) är en alternerande serie, dvs. en serie där varannan term är positiv och varannan negativ. För en sådan serie är det ett tillräcligt villor för onvergens att termerna går mot noll, om de samtidigt har avtagande absolutbelopp. Detta är innehållet i följande sats. Sats S.9 (Leibniz riterium). Antag att är en alternerande serie. Om + och lim = 0 så är serien onvergent. Som tidigare räcer det att oliheten gäller för all större än något 0. Det är inte svårt att övertyga sig om att resultatet i satsen är sant genom att rita en figur: s s 3 a a 2 a 3 s 2 Eftersom termerna har alternerande tecen, avtagande absolutbelopp och går mot noll så ommer delsummornas värde att svänga in mot seriens summa. Övertyga dig ocså, genom att studera figuren, om att följande feluppsattning gäller: Om serien är onvergent med summa A så gäller det för en approximation med den n:te delsumman s n att A s n a n+. Vi ger nu även ett strit bevis för satsen. Bevis av Sats S.9. Antag att den första termen a är positiv. Vi inför betecningen c =, och studerar delsummor med ett jämnt antal termer: 2n s 2n = = a + a 2 + a 3 + a a 2n + a 2n = = c c 2 + c 3 c c 2n c 2n = (c c 2 )+(c 3 c 4 )+...+(c 2n c 2n ).

8 8 Kapitel S. Mer om serier Eftersom termerna har avtagande absolutbelopp så är differensen i varje parentes positiv, och vi ser att följden (s 2n ) är växande. Genom att i stället gruppera termerna enligt s 2n = c (c 2 c 3 ) (c 4 c 5 )... (c 2n 2 c 2n ) c 2n så ser vi att följden är uppåt begränsad av c. Då varje växande uppåt begränsad talföljd har ett gränsvärde så existerar lim n s 2n = A. För att studera delsummor s 2n+ med ett udda antal termer så sriver vi s 2n+ = s 2n + a 2n+. Eftersom termerna går mot 0 får vi även här att lim s 2n+= lim s 2n + lim a 2n+ = A+0= A. n n n Sammantaget ger 2 detta att serien är onvergent med summan A. Vi avslutar med någrortommentarer. Som vi nämnt på sidan 330 i boen så an varje summa ses som arean under en trappfuntion, där varje term motsvaras av en stapel med höjd och bredd. Jämförelsen är ocså rimlig för serier, om vi tillåter oss oändligt många staplar. Att en serie är absolutonvergent innebär då att summan av alla stapelareor an tolas som ändlig. I en betingat onvergent serie är den totala arean oändlig, men de olia stapelareorna, ränade med tecen, tar ut varandra så att resultatet blir ändligt. Man an visa att det för en absolutonvergent serie inte har någon betydelse i vilen ordning man väljer att summera termerna; man får alltid samma summa. För en betingat onvergent serie är det däremot väsentligt i vilen ordning termerna står. Det är till och med så att vi an omordna termerna i en betingat onvergent serie så att den resulterande serien onvergerar mot en godtycligt given summa, eller divergerar mot + eller. Detta resultat allas ibland Riemanns omordningssats. Se Sats R.3 i Mer om reella tal och ontinuitet här i nätmaterialet. 2 Här måste manegentligengå tillbaa på gränsvärdesdefinitionen, något vi avstår från.