Analys o linjär algebra. Fortsatt analys.. p.1/81

Transkript

1 Analys o linjär algebra Fortsatt analys. p.1/81

2 Konvergenshastighet Har sett att bisetion och fixptsiteration, under lämpliga förhållanden, ger en följd, dvs onvergerar mot en lösning till den givna ev. eller. Kan onvergens vara olia snabb? som. p.2/81

3 Konvergenshastighet Exempel: y y = x y = g(x) y y = x y = g(x) _ x x _ x 1 x x 1 x 0 x 0 x Ju flacare grafen är för onvergens. Extrem/trivialfallet onvergens i ett enda steg nära, ju snabbare onstant ger.. p.3/81

4 Konvergenshastighet Ju mindre Lipschitz onstant har, ju snabbare onvergens: T.ex. ger att resulterande avstånd till bättre) i varje iteration. dvs en ny decimal fixeras i varje iteration! ger att avståndet tiondelas, halveras (eller. p.4/81

5 Konvergenshastighet Även bisetion ger (i princip) en halvering av avståndet till i varje steg: x j _ x X j _ x j+1 x X j+1 x j+2 _ x X j+2 Decasetion: ger på samma sätt en tiondelning av resterande avst. till i varje iteration, see AMBS avsn p.5/81

6 Konvergenshastighet Konvergens sådan att med! allas linjär. Varje ny decimal räver samma antal ytterligare iterationer. iteration, ger en ny decimal per 3-4 iterationer. Kan det bli bättre? ger en ny decimal per. p.6/81

7 Konvergenshastighet : med lösning Exempel:, dvs onvergensen blir snabbare där och snabbare. Eftersom säger vi att vi har vadratis onvergens. Antalet fixerade decimaler fördubbla här i varje iteration! Kan mera allmänt säges gälla om. p.7/81

8 ! $ " " Konvergenshastighet Ett mindre trivalt :, med lösning Exempel: # # " "!! #! " % % " dvs vadratis onvergens! Notera att i fall med vadratis onvergens är det inte lia ristist att onstanten, som, men det är ju förstås heller ingen #, är här nacdel!. p.8/81

9 ' ( Konvergenshastighet y y = x 1 y = + _x 2 x g(x) _ x x Fixptsiteration onv. vadratist om grafen horizontell i fixpunten. helt Exempel: Har sett att välja lämpligt? )(. Hur. p.9/81

10 , - ( / (,, - ( Konvergenshastighet Har att )( (, " ( " väljas så att funtionen framför, dvs. Obs: Det ideala För onvergens måste är, och helst valet + " " oänd! Vad man an göra är att välja ej möjligt ty 4 (. p.10/81

11 5. p.11/81 Konvergenshastighet Grafis tolning: y = f(x) xj x j 1 x x j+1 och Den strecade linjen genom punterna ges ju av för med

12 Konvergenshastighet Notera att denna metod inte ritigt är ngn fixpunts iteration där ju högerleded bara sall bero på föregående, och inte som här på de två föregående -värdena. Metoden ger i alla fall vadratis onvergens. Frågor att jobba vidare med: Hur hitta lämpliga Hur hitta rätt lösning? och? 6. p.12/81

13 Konvergenshastighet Example: Antag att vi söer lösn till Hur hitta alla lösningar? Vilen metod är bäst? Vad an menas med bäst?. p.13/81

14 8 7 Resume Resume: Har betratat allmänna ev. av typ och, och försöt närma oss/onstruera lösningar till dessa m.h.a. bisetion resp fixpunts-iteration. Exempelvis an vi vilja lösa ev. m.h.a. bisetion: Finner att är positivt, och att är negativt. Söer vidare och beränar mittpuntsvärdet som är negativt, osv. 8 : 9 j x j f(x j ) Xj f(x j ) p.14/81

15 ? 5 => Resume Efter 4 iterationer har vi onstruerat den första decimalen i, dvs funnit att vi fixera en andra decimal, osv..efter ytterligare 3-4 iterationer an 7 Följden (lisom 6 ) är en s.. Cauchy följd, s.a. <; om bara 5> = ;. Här gäller ju och därmed p.15/81

16 ;?? A ;?? Resume j (1/2) 1 ε j För som i figure gäller om bara 5> =. ; med. Mindre räver större. p.16/81

17 : 5 => Resume Varje Cauchyföljd definierar succesivt fler och fler decimaler i ett bestämt reellt tal. Om t.ex. och har 7:e decimalen 5, så gäaller detta även för alla följande med i följden till 5. (Viss tvesamhet an råda om 8:e decimalen i är 0 eller 9, vilet an räva att vi g till senare innan decimal 7 i an p.17/81

18 Resume Hur ränar man med, och hur vet vi att löser den givna ev.? Löste problemet elegant genom att definiera lim lim CBEDF G H. p.18/81

19 K I K I,. p.19/81 Resume, dvs är Lipschitz Gäller då att följden har ett gränsvärde? Ja, (t.ex.) om ontinuerlig, dvs med för alla K I K JI fås som an bli atuella. tillräcligt stora, så att 5 = om bara 5 => om ;!

20 N M L K I K K O 5 Resume ty och Speciellt gäller detta för JI K JI 7 8 K7 K I I 7 I JI med K I K P I 7 7 ty Slutligen gäller att lim då! 6 6 Q Bisetion ger alltså alltid en onvergent följd som tillför en ny decimal i var 3:e-4:e iteration.. p.20/81

21 K Resume Fixpuntsiteration onvergent om ontration, dvs om JI I K med Ju mindre, ju snabbare onvergens.. p.21/81

22 R R 4 R L R L S R S L 4 R Resume Funtioner: Betecningen betyder att funtionen tar (emot/an matas med, vissa) reella tal och ger reella värden, dvs. är mängden av de för vila är definierat, dvs precis de man tillåts stoppa in i funtionen. är mängden av motsvarande värden., dvs. p.22/81

23 R R 4 R 4 R L R L T! Resume Med antyds att är definierad för (vissa) par av reella tal med ett reellt värde. Obs: betecnar här ingen produt i vanlig mening. Ex:. R2T R2U. p.23/81

24 Resume Har speciellt mött polynomfuntioner I I I IWV V sum V I I fallet I I I V ger detta en s.. geometris summa X V sum V som an beränas genom mult. m. : X V dvs X sum V V för Y. p.24/81

25 9 Z 9 9 Z [ Derivata och integral Fous:, hitta! Lösn an vara (ett enda) tal, som i Dinner Soup med, eller ett talpar som i Dinner Soup/Ice cream problemet, (eller taltripel, eller..,) eller en funtion som i Dinner Soup med variabel budget ($) för sopp inöp, dvs ev med lösn. Det oberoende variabeln (här ( )) an t.ex. ocså vara tiden, och den beroende variabeln t.ex. en motsvarande sträca.. p.25/81

26 R R R R ^ ^ R R Derivata och integral Kommande fous:? eller allmännare? ingår, och där, och. R T 4 av funtionen resp om 4 där även derivatan är en given funtion, här allmännare ^ R T 4. p.26/81

27 Derivata och integral Notera att även dessa ev an srivas på formen, t.ex. med dvs F G B D. p.27/81

28 Derivata och integral Nu inställer sig flera frågor: Vad menas med Hur beränas Hur beränas? från givet att??. p.28/81

29 Derivata och integral Exempel: Bilresa Trollhättan-Töcsfors, via Tösse, sträcan efter tid : x (m) 180 affepaus i Tösse t (h) Vilen har hastigheten Vad menas med hastighet? Hur beränas varit? givet hastigheten?. p.29/81

30 _ Derivata och integral I detta fall: v (m/h) t (h) Erinrar oss att hastigheten är derivatan av sträcan, dvs att, där är tillsottet i sträca per tidsenhet vid tiden. Olarheten vad gäller hastigheten vid resp leder oss att söa precisera begreppet deriverbarhet. 9. p.30/81

31 _ ` c ` Derivata och integral Lösningen på problemet hur man an beräna för, dvs beräna sträcan hastigheten, ges av integralen a` a` ` a` _ a` givet givet ` c a` _ b där representerar tillsott i sträca vid tiden ett ort tidsintervall, och representarar summan av alla dessa tillsott från tiden till. ` c a` ` c a` _ b under. p.31/81

32 Derivata och integral integration m 0 derivering. p.32/81

33 Derivata och integral Exempel: Vid fritt fall öar hastigheten med tiden. Hastighetesförändringen per tidsenhet allas accelerationen och ges av gravitationsraften med e d (m/s ) med lösning begynnelsehastighet e d (m/s) vid given. x v (m/s) 9.81 Piza v 1 t (s). p.33/81

34 M Derivata och integral Vilen är fallsträcan vid tiden, nu givet att e ` d a` _ a` för ` Verar här rimligt att svaret ges av! e d! e d där representerar medelhastigheten under det atuella tidsintervallet. b e d N. p.34/81

35 _ / / _ /. p.35/81 Derivata och integral beränas m.h.a. indelning i mycet gf Mera allmänt an orta tidsintervall t 0 1 j 1 j N t t t t 0 t sådana att för _ / varvid bör gälla att alt.

36 ? 5 D F D F D F D F D F D F / _ / _ Derivata och integral ger! Summation över tillsott B G f f gf f tillsott föreg. tillsott B G B G gf f gf f gf B G B G B G hf hf G B DF f f f an beränas m.h.a. upprepad summation. f dvs. p.36/81

37 / _ _ c _ / Derivata och integral Formeln f hf motsvaras av för oändligt orta tidsintervall av c bji hf där motsv. tidsintervallen tillsotten i fallsträca mellan där övergår i exat. c, och och b i summation av, och gf. p.37/81

38 / 4 5 /! G B FD l f m f. p.38/81 Derivata och integral med begynnelsevilloret _ Exempel: ger f f, fås (enl Leibschnitzel) 5, dvs med gf / 5 f f f f G B DF n $ $f l bji

39 Derivata och integral Metoden an generaliseras till ev 4 Exempel: med begynnelsevilloret / B FD G o l ger / dvs pf / f f. p.39/81

40 Derivata och integral Speciellt erhålls för Z?, f? :? f Notera: f f e då? Q. p.40/81

41 Linearisering och Derivata Definition av derivata. Observation: På tillräcligt orta intervall, t.ex. nära en given punt, an en funtion allmänhet betratas som linjär: i y = f(x) _ x. p.41/81

42 q q q q Linearisering och Derivata Vilen är den linjära (affina) funtion som bäst approximerar för nära? Naturligt att välja, dvs så att r, dvs där vi nu går vidare för att hitta ett bra -värde!. p.42/81

43 q s t s G B FD s. p.43/81 Linearisering och Derivata ger Redan valet av där! nära litet f. ty är Lipschitz. om bara

44 s G B FD - Linearisering och Derivata Fråga: Kan vi nu välja så att t Om detta är fallet säger vi att derivatan. mt litet f nära! är deriverbar i med. p.44/81

45 s s Linearisering och Derivata. Finner att Exempel: gäller! dvs för för! är deriverbar med derivatan dvs.. p.45/81

46 s s Linearisering och Derivata Derivatan är alltså (ritningsoeff.) proportionalitetsfatorn i ett linjärt samband alternativt r som approximerar med ett fel sådant att t för nära.. p.46/81

47 =. p.47/81 Linearisering och Derivata? Kan det finnas flera sådana Subtration ger s s ) ger Y (f. Division med s s Men..

48 Linearisering och Derivata.. eftersom följer att t t för att nära!, och då förstås speciellt för, varav följer. p.48/81

49 s G B FD, t s! 7 t. p.49/81 Linearisering och Derivata. Finner att Exempel: erhålls dvs för!, + dvs. om t.ex. nära för

50 l F N 8 M B G FD, - o 8 + Linearisering och Derivata Enlare: o BED G 7 +yx uwv är deriverbar med derivatan Dvs, 7. p.50/81

51 V z K V Iz V D F s V z M V t s t. p.51/81 Deriveringsregler naturligt tal. Utnyttjar nu att, Exempel: VK I JI G BEDF $ 0 delbart m Vi finner att, {+.- B G V N V där. för ngt nära för

52 s s t s t % Deriveringsregler. Finner att Exempel: erhålls $ - dvs för med, t.ex. Alltså % - och Y om nära för. p.52/81

53 V z V z z z z Deriveringsregler Sammanfattningsvis: deriverbar med derivatan för naturliga tal, lisom för, och för. Sall senare se att samma formel giltig för godtycligt heltal, och senare även godtycligt rationellt tal!. Y. p.53/81

54 } S Deriveringsregler Om deriverbar med derivatan så är även derivarbar med derivatan. Vidare är summan av två deriverbara funtioner deriverbar med derivatan. Derivatan betecnas även och. Den senare betecningen motiveras av följande metod för beräning av } J} ^ ^ ^ ^. p.54/81

55 s R s t R / c. p.55/81 Deriveringsregler Har att, ger Y, Division med där gäller nära Dvs för c

56 =, R M - R Deriveringsregler är svårt, ty då fås lihet, men Idealt sall man här ta, t.ex. med Q då att beräna! Däremot gäller ju om lim, + - lim lim om Detta ger oss även en pratis metod att beräna än inte helt problemfri.. p.56/81

57 Deriveringsregler Exempel: ( analytis derivering) : +, +, # # +# #, +# #, +# #, +, +# #, +, # # # # # dvs #.. p.57/81

58 / Deriveringsregler Numeris derivering: Ofta an vi endast beräna och, med och ƒ För gäller... p.58/81

59 t G B FD, t / Š ƒ / /, + v : /! / t % + x v, dvs om % % som minimeras om, så i ett. T.ex. gäller i Matlab bör man välja fall med. p.59/81

60 N $ G B FD t s t Derivata, med på intervallet gäller ju som vi sett Liformigt differentierbar: Exempel: Betrata L. För -, - +yx u v med -., om vi t.ex. tar nära för. p.60/81

61 t t s t Derivata Vi noterar att verar finnas något blir större för nära, och att det inte oberoende av s.a. t för nära. I de fall då det finns ett sådant liformigt differentierbar på. säger vi att är. p.61/81

62 L K K L I c Derivata Sats: Om för liformigt differentierbar på, så gäller med derivata JI I K för dvs är Lipschitz med onstant ). (samma som i Beviset finns i boen, gansa långt, men ul!! Visar här att är Lipschitz om har ändlig längd vilet är enlare.,. p.62/81

63 s s t t ct L K I c c. p.63/81 Derivata Vi har K I K JI K K JI K JI K JI K K I c K I K I. med onstant Lipschitz på, dvs för i orta Beviset i allmänna fallet bygger på att dela in delintervall av längd, och låta gå mot noll.

64 c Q Q L c L Derivata Avslutningsvis noterar vi att att en Lipschitz ontinuerlig funtion på ett ändligt (långt) intervall med längd måste vara begränsad, dvs finns tal s.a., för alla För beviset noterar vi helt enelt att för alla.. p.64/81

65 M Derivata Exempel: Funtionen på intervallet är inte begränsad. Beviset ovan faller på att inte är Lipschitz ontinuerlig. Exempel: Funtionen på är inte Lipschitz, men ändå begränsad. N N. p.65/81

66 s s t t Deriveringsregler, om, med derivatan deriverbar i Erinrar oss: och t. för ngt nära för y y = f(x) y = f(x) + (x x) _ y = (x x) x _ x. p.66/81

67 Deriveringsregler Om s och s Œ följer att och J} } för onstanter }. Övning: Visa detta!! Exempel: S! $, S Ž 8 Ž 7!.. p.67/81

68 N s M M T s M t s t. p.68/81 Deriveringsregler? Produtderivering: Från ovan: normalstora små jättesmå N s Œ N Œ där Œ Œ. för nära, för ngt Övning: Visa detta!! Œ

69 Deriveringsregler Slutsats: Exempel: S M B FD G 7 B FD G Œ N! B DF G { 7 B FD G Œ B FD G B DF G Œ { 7 P Kontroll: har derivatan 7 P. Stämmer!. p.69/81

70 Deriveringsregler Derivering av sammansatt funtion Œ F G B D F G BED Fråga:? Vi har s Œ r r s För r och erhålls M s Œ N s s Œ där... p.70/81

71 s Œ t t Œ. p.71/81 Deriveringsregler s Œ s t Œ Lipschitz så att dvs om gäller s Œ om nära för

72 t t. p.72/81 Deriveringsregler t Œ 4 Œ är deriverbar med derivatan dvs allas här inre derivatan. Fatorn

73 Deriveringsregler Exempel: För, 8 Ž fås 7 Ž! där, dvs 7 Ž B FD G { + Œ +,,! B DF G Œ { +,. p.73/81

74 Deriveringsregler Deriveringsregeln uttrycs ofta c c c c c c där alltså och, och allas edjeregeln. Exempel:, 8 8 ger c c c c 7! 7!. p.74/81

75 Deriveringsregler Exempel:,,, dvs ger c c c c c c c c t.ex. S 7 9 7! 7 7. p.75/81

76 Deriveringsregler Exempel:, ger Exempel: S š S š œ +,$ q š, dvs regeln S V z V giltig även för negativa heltal z.. p.76/81

77 Deriveringsregler Derivering av vot Alltså, S M N Exempel: S 8! p.77/81

78 Derivata Högre ordnings derivor: Funtionen an i sin tur deriveras: S c c Exempel: 8 ger 7 7! P + 8, P +, Exempel: ger! 8 + V,! z V V z ž V. p.78/81

79 s t s > N K K I K I Derivata Höger/vänster derivata: Om med för nära sådana att säger vi att har höger derivata i. Exempel: är inte deriverbar i men har högerderivata och vänsterderivatan för. En funtion allas deriverbar på ett intervall om den är deriverbar för och högerderiverbar resp vänsterderiverbar i och., om dessa ingår i intervallet. M I. p.79/81

80 Deriveringsregler Derivering av 3, Ÿ ZJ rationellt tal: Erinrar oss att 3 n n är lösningen till dvs Derivering m.a.p. ger dvs n n Ÿ 3 Samma deriveringsregel som för heltalsexponenter!!. p.80/81

81 n 8 7 Z! S S S. p.81/81 Deriveringsregler. n 8 #som Exempel: n n $ Exempel:, dvs tidigare.