z = z 2. z = z 2 z /z 2 = 1 1 z = x + c z(x) = x + c = ln x + c + c 2 y(x) = ln y = 0 y(x) = c 2

Transkript

1 Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 1 1. Lös differentialekvationen y = (y ) 2 med hjälp av substitutionen z(x) = y (x). Kommentar: detta är standard substitutionen för differentialekvationer av formen y = f(x, y ). Lösning: Låt z(x) = y (x). Differentialekvationen tar nu formen z = z 2. Notera den triviala lösningen z =. Anta nu att z. Hyfsa och lös, z = z 2 z /z 2 = 1 1 z = x + c z(x) = 1 x + c Substituera y (x) = z(x) och lös den resulterande differentialekvationen: y = 1 x + c y(x) = 1 x + c = ln x + c + c 2 y(x) = ln 1 x + c + c 2 Kom ihåg att även substituera den triviala lösningen: y = y(x) = c 2 Allmänna lösningen till den ursprungliga differentialekvationen är alltså 1 y(x) = ln x + c + c 2 (1) y(x) = c 2 (2) 2. Undersök om funktionen (x, y) f(x, y) är lokalt likformigt Lipschitz i R 2 med avseende på variabeln y, då (i) f(x, y) = sin(y) + cos(x), (ii) f(x, y) = y 1/4. 1

2 Lösning: (i). För att visa att f är lokalt likformigt lipschitz bör vi betrakta godtyckliga intervall interval I x för x och I y för y kring en godtycklig punkt (x, y) och visa att f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) M y 1 y 2 för alla x I x, och y 1, y 2 I y. Notera att här är f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) = sin(y 1 ) + cos(x) (sin(y 2 ) + cos(x)) = sin(y 1 ) sin(y 2 ). mel- Från grundkursen i analys (medelvärdessatsen) följer att det finns ξ y1,y 2 lan y 1 och y 2 så att f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) / y 1 y 2 = sin(y 1 ) sin(y 2 ) / y 1 y 2 = cos(ξ y1,y 2 ) sup y 1,y 2 I y cos(ξ y1,y 2 ) 1 där y 1, y 2 I y och x I x. I sista skedet användes att cos(u) 1 för alla t R. Påståendet följer nu efter multiplikation med y 1 y 2. Lösning: (ii) Anta att f är lokalt likformigt lipschitz kontinuerlig. Låt konstanten i fråga vara M för en rektangel R = [ c, c] [ c, c] omkring punkten (, ). Eftersom D 2 f(x, y) = (1/4) 1 så följer det från medelvärdessatsen att y 4 f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) / y 1 y 2 = D 2 f(ξ y1,y 2 ) = 1 1 M, 4 ξy 3/4 1,y 2 där ξ y1,y 2 ligger mellan y 1 och y 2. Men detta kan inte gälla för något ändligt M <, eftersom 1 när y +. Alltså kan inte M vara ändlig y 4 vilket bevisar att funktionen inte är lokalt likformigt lipschitz i hela R 2 med avseende på y. 3. Verifiera att funktionen f(x, y) = e x ln(1+y 2 ) satisfierar villkoren i den lokala existens-och entydighetssatsen i D = (, 2) R. Tips: partiella derivatan D 2 f(x, y) och medelvärdessatsen med avseende på y. Lösning: För att visa att funktionen f satisfierar vilkoren för den lokala existens-och entydighetssatsen i D = (, 2) R måste vi visa att D inte har några hål, vilket i detta fall är uppenbart, samt att f är lokalt likformigt lipshitz kontinuerlig med avseende på y i D. 2

3 Enligt Lemma 4.2 i Kompendiet uppfylls kravet ifall funktionen har en kontinuerlig derivata med avseende på y i D. Partiella derivatan av f med avseende på y är D 2 f(x, y) = e x 2y 1 + y. 2 Funktionen D 2 f är en produkt av de kontinuerliga funktionerna e x och och därmed kontinuerlig i D R. Påståendet följer. 4. Betrakta Picards iterationer y (x) = y, y k+1 (x) = y + för begynnelsevärdesproblemet y = xy, y() = 1(= y ). x f(t, y k (t))dt, k N, 2y 1+y 2 Bestäm funktionerna y 1, y 2 och y 3. Sök med induktion en formel för y k+1 (x). Lösning: Vi börjar med att räkna ut specialfallen y 1, y 2, y 3. Enligt uppgiften är alltså f(x, y) = xy och y (t) = y = 1. Vi får: y 1 (x) = y + = 1 + y 2 (x) = y + = 1 + x 2 /2 + x 4 /8, f(t, y (t))dt = 1 + tdt = 1 + x/2, f(t, y 1 (t))dt = 1 + ty dt (t + t 3 /2)dt samt y 3 (x) = y + f(t, y 2 (t))dt = 1 + = 1 + t 2 /2 + t 4 /8 + t 6 /48. t(1 + t/2 + t 4 /8)dt Vi kan nu göra följande Ansatz för allmänna formeln: y n (t) = 3 n i= t 2i 2 i i!.

4 Vi bevisar påståendet med induktion. Fallet n = visades ovan. Antag induktionshypotesen, nämligen att påståendet gäller när n = k. Då följer i fallet n = k + 1 att, y n+1 = y + = 1 + = 1 + k+1 i=1 f(t, y k (t))dt = 1 + k t( k t 2i+1 k 2 i i! dt = 1 + t 2(i+1) 2 i+1 (i + 1)! t 2i k+1 2 i i! = i= t 2i 2 i i!. i= t 2i )dt (induktionshypotesen) 2 i i! dvs. induktionsteget följer. Detta bevisar formeln för alla n N. 5. Anta att f och g är godtyckliga två gånger deriverbara funktioner R R. Definiera u : R 2 R med u(x, t) = f(x + ct) + g(x ct) för (x, t) R 2. Verifiera att u löser vågekvationen 2 u(x, t) t 2 = c 2 2 u(x, t) x 2, där c > är en konstant. (Konklusion: lösningar av partiella differentialekvationer är olika lösningar av ordinära DEr.) Lösning: Vi deriverar u(x, t) två gånger med avseende på respektive variabel och ser ifall påståendet följer: u(x, t) t f(x + ct) + g(x ct) = = cf (x + ct) cg (x ct) t = c(f (x + ct) g(x ct)), 2 u(x, t) t 2 samt på samma sätt = c(f (x + ct) g(x ct)) t = c 2 (f (x + ct) + g (x ct)), u(x, t) x = f(x + ct) + g(x ct) x = f (x + ct) + g (x ct), 4

5 2 u(x, t) x 2 Påståendet följer. = f (x + ct) + g (x ct) x = f (x + ct) + g (x ct). 6. Anta att y : R R är en sådan kontinuerligt deriverbar funktion att y (x) p(x)y(x) + q(x), x R, där p och q är givna kontinuerliga funktioner R R. Visa att y(x) exp( ( p(t)dt) y() + för alla x. Tips: derivera hjälpfunktionen x G(x) = y(x) exp( exp( p(t)dt), ) p(s)ds)q(t)dt använd antagandet samt integrera den resulterande olikheten över [, x]. Lösning: Börja med att derivera hjälpfunktionen: G (x) = y (x) exp( = (y (x) p(x)y(x)) exp( p(t)dt) y(x)p(x) exp( p(t)dt) Märk att den ursprungliga olikheten kan omskrivas som y (x) p(x)y(x) + q(x) y (x) p(x)y(x) q(x) (y (x) p(x)y(x)) exp( G (x) q(x) exp( p(t)dt). p(t)dt)) q(x) exp( p(t)dt) p(t)dt) Uppgiften löser sig nu med att integrera båda sidorna i olikheten ovan från till x: G(x) G() p(s)ds)dt. 5

6 Flytta över G() samt substituera uttrycket för G(x), vilket ger G(x) = y(x) exp( = y() exp( = y() + p(t)dt) G() + p(t)dt) + p(s)ds)dt p(s)ds)dt Multiplicera till slut med exp( p(t)dt), från vilket följer att y(x) exp( p(t)dt) ( y() + p(s)ds)dt p(s)ds)dt ). Kommentar: olikheten är ett exempel på en differentialolikhet. Notera att högra sidan löser motsvarande differentialekvation. Extrapoäng ges för lösta räkneövningsuppgifter enligt följande skala: för varje räkneövning 2 3 uppgifter = +1/2 p., 4 6 uppgifter = +1 p. Extrapoängen adderas till poängtalet i kursprovet (4 uppgifter som poängbedöms -6 p. per uppgift). I kursprovet får ni ha med en ensidig handskriven A4-minneslapp. 6