Existens och entydighet
|
|
- Christer Ekström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsning 7 Eistens och entydighet 7.1 Aktuella avsnitt i läroboken Appendi Eistence and Uniqueness of Solutions. 47
2 48 FÖRELÄSNING 7. EXISTENS OCH ENTYDIGHET Som vi sett i flera eempel kan man ibland lösa en differentialekvation y = f (,y) och erhålla y som ett uttryck i kända funktioner. Genom att välja lämpligt värde på en integrationskonstant får man ofta också en unik lösning y() som uppfyller givna begynnelsedata y( ) = b. Denna procedur fungerar dock endast i undantagsfall. Man är i regel hänvisad till numeriska metoder för att lösa differentialekvationer. Detta är egentligen inget nytt; även en eplicit lösning, som eempelvis y = e till ekvationen y = y, måste man beräkna numeriskt när man vill se en graf eller ha en tabell. Innan man använder eller konstruerar en numerisk lösningsmetod måste man emellertid veta att det finns en lösning och helst också att den är unik. Det är den typen av resultat som denna föreläsning handlar om. 7. En integralekvation I föreläsning 6 visades att om f : I R n R n är en kontinuerlig funktion så är y : I R n är en kontinuerligt deriverbar lösning till begynnelsevärdesproblemet y = f (,y), y( ) = b (7.1) om och endast om y är en kontinuerlig lösning till integralekvationen y() = b + f (t,y(t))dt (7.) I stället för att lösa begynnelsevärdesproblemet (7.1), kan vi alltså lösa integralekvationen (7.) och det är faktiskt enklare. 7.3 Iteration Den metod vi skall använda är att börja med en enkel gissning som vi sedan successivt förbättrar. Ett första och naturligtvis mycket naivt försök att lösa (7.) är att prova med funktionen y 0 () = konstant = b som i alla fall satisfierar begynnelsedata. Insatt i (7.) ger detta y 1 () = b + f (t,b) dt vilket förstås sällan är lika med y 0 om. Vi ger emellertid inte upp, utan sätter in den nya funktionen y 1 (), och får i nästa varv y () = b + f (t,y 1 (t))dt
3 7.3. ITERATION 49 Upprepas detta blir resultatet en funktionsföljd {y n ()}! n=0 som, förhoppningsvis, allt bättre och bättre approimerar en lösning. Denna erhålles i så fall som gränsvärdet y() = lim n! y n (). Låt oss se hur detta fungerar i ett välkänt fall där vi redan vet hur lösningen ser ut. Eempel 36 Lös ekvationen y = ay med y(0) = 1. Lösning: Om vi startar med y 0 () = 1 får vi succesivt och vi ser att y 1 () = 1 + adt = 1 + a y () = y 3 () = 1 + a 0. y n () = 1 + a + (a) a(1 + at)dt = 1 + a + (a) ( ) 1 + at + (at) + (a)3 lim y n () = n! dt = 1 + a + (a) + + (a)n n!! " n=0 (a) n = e a n! vilket stämmer med vad vi hade anledning att vänta oss. + (a)3 För att komma vidare med den allmänna integralekvationen (7.) måste vi precisera förutsättningarna om f. Det räcker därvid inte att förutsätta att f är kontinuerlig om vi vill ha en unik lösning. Sats 37 Om f : I R n R n är kontinuerlig och dessutom lipschitzkontinuerlig i den andra variabeln, så att det för någon konstant L gäller att f (,y 1 ) f (,y ) L y 1 y för alla I och y 1,y R n, så har integralekvationen (7.) en kontinuerlig lösning y() för varje b R n sådan att f (,b) är begränsad på I och I. Bevis. Vi måste visa att den rekursivt definierade funktionsföljden {y n ()}! n=0 där y 0 () = b och y n+1 () = b + f (t,y n (t))dt, n = 0,1,,...
4 50 FÖRELÄSNING 7. EXISTENS OCH ENTYDIGHET konvergerar mot en kontinuerlig gränsfunktion y() och dessutom att följande kalkyl är tillåten Vi konstaterar att y() = lim y n+1 () = b + lim n! n! = b + = b + 0 y n () = b + lim f (t,y n (t))dt n! f (t,y(t))dt n " k=1 [y k () y k 1 ()] f (t,y n (t))dt och dessutom att för k =,3,... gäller y k () y k 1 () = [ f (t,y k 1 (t)) f (t,y k (t))]dt vilket ger uppskattningen y k () y k 1 () f (t,y k 1 (t)) f (t,y k (t)) dt L y k 1 (t) y k (t) dt För k = 1 och > gäller dessutom y 1 () b f (t,b) dt f (t,b) dt M ( ) där M = sup I f (,b). Vi får nu succesivt y () y 1 () L y 3 () y () L y 1 (t) b dt ML (t )dt = ML ( ) y (t) y 1 (t) dt ML (t ) dt = ML ( ) 3 (t ) 3 dt = ML 3 ( ) 4 4! y 4 () y 3 () L y 3 (t) y (t) dt ML 3. y k () y k 1 () ML k 1 ( ) k i fallet då < ger motsvarande kalkyl i stället att k! y k () y k 1 () ML k 1 ( ) k k!
5 7.4. ENTYDIGHET OCH STABILITET 51 och vi får därmed om I betecknar längden av intervallet I att Eftersom k 1 I k sup y k () y k 1 () ML I k!! k 1 I k " ML k=1 k! = M ( ) e L I 1 L följer det av Weierstrass majorantsats att funktionsserien y() = b +! " k=1 [y k () y k 1 ()] = lim n! y n () konvergerar absolut och likformigt på I och att summan y() är kontinuerlig eftersom alla funktionerna y n i följden är det. Dessutom konvergerar f (t,y n (t)) likformigt mot f (t,y(t)) då n! eftersom sup I och då följer det att f (t,y n (t)) f (t,y(t)) Lsup y n (t) y(t) 0 I lim f (t,y n (t))dt = lim f (t,y n (t))dt = n! n! Därmed är satsen bevisad. f (t,y(t))dt 7.4 Entydighet och stabilitet När vi nu har visat att ekvation (7.1) och (7.) alltid har lösning om f är lipschitzkontinuerlig, återstår frågan om det finns flera lösningar. Besläktad med entydigheten är också problemet med stabiliteten: Vad som händer med lösningen vid små ändringar i f och b. Svaret finns i nästa sats. Sats 38 Om y 1 () respektive y () är lösningar till begynnelsevärdesproblemen y = f 1 (,y), y( ) = b 1 y = f (,y), y( ) = b där f 1 och f uppfyller förutsättningarna i sats 37 med lipschitzkonstanter L 1 respektive L så gäller för att y 1 () y () b 1 b e k( 0) + µ ( ) e k( 0) 1 k där k = min(l 1,L ) och µ = ma,y f 1 (,y) f (,y).
6 5 FÖRELÄSNING 7. EXISTENS OCH ENTYDIGHET Följdsats 39 Speciellt följer av sats 38 att lösningen till ekvation (7.1) är unik, eftersom det för två lösningar y 1 () och y () med samma högerled, f = f 1 = f så att µ = 0, och samma begynnelsedata, b = b 1 = b så att b 1 b = 0, måste gälla att y 1 () y () 0. Så till beviset. Bevis. Sambanden y 1 () = b 1 + y () = b + 0 f 1 (t,y 1 (t))dt f (t,y (t))dt ger med triangelolikheten och någon av omskrivningarna uppskattningen och därmed är f 1 (t,y 1 ) f (t,y ) = [ f 1 (t,y 1 ) f 1 (t,y )] + [ f 1 (t,y ) f (t,y )] = [ f 1 (t,y 1 ) f (t,y 1 )] + [ f (t,y 1 ) f (t,y )] f 1 (t,y 1 ) f (t,y ) k y 1 y + µ y 1 () y () b 1 b + b 1 b + b 1 b + k f 1 (t,y 1 (t)) f (t,y (t)) dt (k y 1 (t) y (t) + µ)dt y 1 (t) y (t) dt + µ ( ) Sätt u() = y 1 (t) y (t) dt. Då är u( ) = 0 och u () = y 1 () y () vilket ger olikheten Grönwalls lemma (33) ger då för > att u () ku() + b 1 b + µ ( ) (7.3) u() e k( 0) u( ) + e k( t) ( b 1 b + µ (t ))dt = 1 ( ) k b 1 b e k( 0) 1 + µ ( ) k e k( 0) 1 µ k ( ) (7.4) kombinerar vi (7.3) och (7.4) får vi slutligen y 1 () y () = u () ku() + b 1 b + µ ( ) b 1 b e k( 0) + µ ( ) e k( 0) 1 k Det kan mycket väl finnas lösningar till ekvation (7.1) även om f inte är lipschitzkontinuerlig. Däremot kan vi i sådana fall inte garantera att lösningen är entydig. Jämför med eempel 40.
7 7.5. LOKALA RESULTAT 53 Eempel 40 Begynnelsevärdesproblemet y = 3 y med y(0) = 0 har tre lösningar: 1. y() = 0 { (/3) 3 för 0,. y() = 0 för < 0. { (/3) 3. y() = 3 för 0, 0 för < 0. Ett resultat av det faktum att funktionen 3 y inte är lipschitzkontinuerlig i en omgivning av y = 0 eftersom det gäller att 3 y1 3 y 1 /3 = y 1 y 3 y y1 y y y y 7.5 Lokala resultat Vi har hittills förutsatt att funktionen f (, y) uppfyller lipschitzvillkoret f (,y 1 ) f (,y ) L y 1 y (7.5) med en konstant L som gäller för I och godtyckliga vektorer y 1,y R n. Det är inte alltid möjligt att uppnå detta utan vi får acceptera inskränkningar även i y-led så att (7.5) bara gäller om y 1,y! R n. Det kan då hända att graferna till funktionerna y n () i iterationen inte ligger kvar i rektangeln {(,y) : I, y!} och vi kan då inte garantera att lösningen är definierad för alla i intervallet I. I sådana fall får vi nöja oss med att konstatera att det i något delintervall " +", med " > 0, finns en unik lösning till y = f (,y).
Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer
Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Anders Källén 11 maj 2016 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera vad vi allmänt kan säga om lösningar till ett system
Läs merALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merNågra satser ur talteorin
Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan
Läs merMeningslöst nonsens. November 19, 2014
November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?
Läs merLineära system av differentialekvationer
Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merFixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
Läs merExistens och entydighet för ordinära differentialekvationer
Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer Michael Björklund, f-mib@f.kth.se Grundläggande begrepp Definition 1 Ett begynnelsevärdesproblem för ordinära differentialekvationer har följande
Läs merR LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av
Läs merTATA 57/TATA80 18 augusti Lösningar 1) Lösning 1: Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger.
TATA 57/TATA8 8 augusti 26. Lösningar ) Lösning : Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger [ z + z ] Y (z) = z + z z 3 z 2 som i sin tur ger (efter ommöblering) Av
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merz = z 2. z = z 2 z /z 2 = 1 1 z = x + c z(x) = x + c = ln x + c + c 2 y(x) = ln y = 0 y(x) = c 2
Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 1 1. Lös differentialekvationen y = (y ) 2 med hjälp av substitutionen z(x) = y (x). Kommentar: detta är standard substitutionen för differentialekvationer
Läs merLipschitz-kontinuitet
Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera
Läs merKontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet
Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merEXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM
EXISTENS AV EN UNIK LÖSNING TILL FÖRSTAORDNINGENS BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM Vi betraktar ett begnnelsevärdesproblem IVP, initial-value problem) av första ordningen som är skrivet på normal form IVP1) Man
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs mer1 x dx Eftersom integrationskonstanten i (3) är irrelevant, kan vi använda oss av 1/x som integrerande faktor. Låt oss beräkna
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 30 maj 20, kl 8:00 3:00 Svar, uppgift : i sant, ii sant, iii falskt, iv sant, v falskt, vi sant,
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN SF66 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE den januari 0 kl 09.00-.00. Hur många gånger antar funktionen f) = ) värdet när varierar i intervallet 9? LÖSNING:
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merModeller för dynamiska förlopp
Föreläsning 3 Modeller för dynamiska förlopp 3.1 Aktuella avsnitt i läroboken (.1) Population Models. (.) Equilibrium Solutions and Stability. (.3) Acceleration-Velocity Models. 19 FÖRELÄSNING 3. MODELLER
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs mer8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
Läs merMVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.
MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merAB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer
AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s
Läs merLite Kommentarer om Gränsvärden
Lite Kommentarer om Gränsvärden På föreläsningen (Föreläsning 2 för att vara eakt) så introducerade vi denitionen Denition. Vi säger att f() går mot a då går mot oändligheten, uttryckt i symboler som f()
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs merDifferentialekvationer av första ordningen
Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 5 Integraler Denna modul omfattar kapitel 5 och avsnitt 6.-6. i kursboken Calculus av Adams och Esse och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merModul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.
Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion
Läs merTavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017
Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................
Läs merTillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl
Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merFöreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integraler och statistik Krzysztof Marciniak ITN, Campus Norrköping, krzma@itn.liu.se www.itn.liu.se/ krzma ver. - 9--6 Inledning - lite om statistik Statistik är en gren av tillämpad
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs merMaclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Läs merIcke-linjära ekvationer
stefan@it.uu.se Eempel f ( ) = e + = 5 3 f ( ) = + + 5= f (, y) = cos( ) sin ( ) + y = Kan endast i undantagsfall lösas eakt Kan sakna lösning, ha en lösning, ett visst antal lösningar eller oändligt många
Läs merLaboration 1, M0039M, VT16
Laboration 1, M0039M, VT16 1 Förberedelser Ove Edlund, Staffan Lundberg LTU (1) Gör dig bekant med Matlab-manualen finns för nedladdning på Fronter. (2) Läs igenom laborationens teoridel, avsnitt 2 nedan.
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs merOm ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs mer1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs mer14. Minsta kvadratmetoden
58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs merBlock 5: Ickelineära. ekvationer? Läroboken. Löpsedel: Icke-lineära. ekvationer. Vad visade laborationen? Vad visade laborationen?
Block 5: Ickelineära ekvationer Löpsedel: Icke-lineära ekvationer Varför är det svårt att lösa ickelineära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod Noggrannhet/stoppvillkor
Läs merVeckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3
Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter
Läs merPartiella differentialekvationer av första ordningen
Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs mer1 Primitiva funktioner
Primitiva funktioner Definition. F ( är en primitiv funktion till f( om F ( f(. Antag att vi har hittat en primitiv funktion F ( till f(. Finnsdetflerprimitivafunktionerochvilken form har de i så fall?
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs mer= 0 vara en given ekvation där F ( x,
DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merFULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE
FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE JAN-FREDRIK OLSEN I detta dokumentet ämnar vi bevisa följande två satser: Sats 1 (Satsen om mellanliggande
Läs merTAYLORS FORMEL VECKA 4
TAYLORS FORMEL VECKA 4 David Heintz, 20 november 2002 Innehåll 1 1 2 Uppgift 29.7 3 3 Uppgift 31.9 4 1 Av de elementära funktionerna är det polynomen som har den enklaste strukturen. Om f är ett givet
Läs merIcke-linjära ekvationer
stefan@it.uu.se Exempel x f ( x = e + x = 1 5 3 f ( x = x + x x+ 5= 0 f ( x, y = cos( x sin ( x + y = 1 Kan endast i undantagsfall lösas exakt Kan sakna lösning, ha en lösning, ett visst antal lösningar
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs mer