k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Ge tydliga och enkla svar där så är möjligt. Observera! För att underlätta rättningen utan att påverka anonymiteten, ber vi att studenter på F skriver F som programkod, och att övriga studenter skriver X som programkod på omslaget.. Endast kortfattade lösningar behövs på denna uppgift. a) Lös ekvationen e z = i fullständigt. (.) b) Vilken konvergensradie har serien k= kzk? (.) c) Vilken ordning har nollstället till f(z) = e z i z =? (.3) ( ) cos z d) Beräkna Res. (.3) z= z ( + z). Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att Svara på formen f(z). u(x, y) = x xy y. 3. a) Lös rekursionsekvationen x n+ 5x n+ + 6x n = n+, där x =, x =. (.6) b) Låt x n vara lösningen till ekvationen i a-uppgiften. Avgör om följande serier konvergerar eller divergerar: n= x n, n= ( ) n x n x n+. (.4) 4. Funktionen f är jämn, 4-periodisk och uppfyller att { t, t, f(t) =, < t <. a) Rita en tydlig bild av grafen till f på intervallet [, 6]. (.) b) Låt S(t) beteckna seriesumman till f:s trigonometriska Fourierserie. Rita en tydlig bild av grafen till S på intervallet [, 6]. (.3) c) Låt c, a k, b k vara (de trigonometriska) Fourierkoefficienterna till f. Beräkna k= a k och a k. (.6) k=

2 5. Definiera en funktionsföljd, f n : R R genom f n (x) = + nx n + x. a) Vilket är det största intervall på vilket funktionsföljden konvergerar punktvis? Vad blir gränsfunktionen f? (.3) b) Låt g : D C vara en funktion (där D är en delmängd av R eller C). Definiera vad som menas med g D. (.) c) Beräkna f f [,] och f f [, ). (.) d) Konvergerar följden (f n ) likformigt på [, ]? På [, R] för varje reellt R >? På [, )? (.3) 6. Låt < α < vara ett reellt tal. Beräkna integralen x α + x dx. Ledning: integrera en lämpligt vald funktion längs en hel eller halv hålkaka.

3 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 Lösningsförslag. a) e z = i z = log i = iπ + πik, dvs. z = iπ + iπk, där k Z är godtyckligt. 4 b) Rottestet ger de kortaste räkningarna: ρ = lim k kz k /k = z, så serien konvergerar för z < och divergerar för z >. Konvergensradien är alltså. c) Maclaurinutveckling av f ger: f(z) = z z4 + högre ordningens termer, vilket visar att f har ett dubbelt nollställe i z =. d) Funktionen har en dubbelpol i z =. Residyregel ger ( cos z ) ( ) +z cos z ( ) ( + z) sin(z) cos z Res = = z= z + z z= ( + z) z= =.. Den givna funktionen är harmonisk (på hela komplexa planet) och har därför ett harmoniskt konjugat. Cauchy Riemanns ekvationer ger: { v y = u x = x y v x = u y = x + y. Ur den första ekvationen följer v = xy y + φ(x), vilket medför att v x = y + φ (x). Jämförelse med den andra ekvationen ger φ (x) = x, dvs. φ(x) = x + C för någon (reell) konstant C. Den sökta funktionen blir således f(x + iy) = (x xy y ) + i(x y + xy + C) eller, med hjälp av identitetssatsen (sätt y =, x = z): för någon reell konstant C. f(z) = ( + i)z + ic 3. a) Vi börjar med att lösa motsvarande homogena ekvation, vars karakteristiska ekvation är r 5r + 6 =, dvs. r = eller r = 3. Lösningen till den homogena ekvationen blir alltså: x h n = A n + B 3 n. Eftersom r = är en rot till det karakteristiska polynomet, ansätter vi en partikulärlösning: x p n = Cn n. Insättning ger C(n + ) n+ 5C(n + ) n+ + 6Cn n = n+, dvs. (8C C) n = n, så C = och den allmänna lösningen till rekursionsekvationen blir x n = A n + B 3 n n n. Begynnelsevärdena ger = A+B och = A+3B vilket löses till A =, B =, och svaret blir därmed x n = 3 n n n.

4 b) Vi har x n = 3 n n n. Sätt a n = x n och b n = 3 n. Vi ser att a n lim = lim n b n n 3 n 3 n n n = lim n 3 n 3 n ( n( 3 )n ) = och eftersom n= b n är en konvergent (geometrisk) serie, visar jämförelsetestet på gränsvärdesform att n= a k också är konvergent. (Lösningar med kvot- eller rottestet fungerar också bra.) För den andra serien har vi att lim ( ) n (3 n n n ) n 3 n+ (n + ) n+ = = 3 på liknande sätt som i den första gränsvärdesberäkningen. Termerna i serien går alltså inte mot och serien divergerar därför. 4. a) y = f(t) 4 6 b) Funktionen uppfyller villkoren (existens av höger- och vänstergränsvärden och högeroch vänsterderivator) i sats 7.8 i alla punkter (och villkoren i sats 7.6 i de flesta punkter). Grafen till Fourierseriens summa blir således: y = f(t) 4 6 c) Eftersom f är jämn är b k = för alla k. Fourierserien blir alltså: c + k= a k cos kπt. Insättning av t = och hänvisning till sats 7.6 (eller grafen i b) visar att Beräkning av c ger c = 4 Följaktligen är f(t) dt = k= c + a k =. k= f(t) dt = ( ( t) dt + ) dt =. a k =. På motsvarande sätt ger Parsevals formel att c + a k = 4 k= f(t) dt t t

5 och ( f(t) dt = ( t) dt + 4 Vi får alltså a k =. 5. a) Vi har att k= f n (x) = + nx n + x = x + n, + x n ( ) dt) = 7 4. så lim n f n (x) = x för varje x R. Funktionsföljden konvergerar alltså punktvis mot f(x) = x på hela R. b) g D = sup{ g(x) : x D}. c) Vi ser att f (x) f(x) = + x + x x = x = x så för x, f (x) f(x) = x med likhet för x =. Med andra ord måste f f [,] =. Vi ser också att f (x) f(x) kan bli godtyckligt stort eftersom högerledet går mot + då x +, så f f [, ) = +. d) En liknande beräkning som i c) visar att f n (x) f(x) = x 4 x + n. (*) Vi ser alltså att f n f [,R] = sup x R f n (x) f(x) R4 +, n vilket visar att lim n f n f [,R] = för varje R >. Det betyder att funktionsföljden konvergerar likformigt på [, R] för varje R >. (I synnerhet för R = ). Ur (*) ser vi också att för varje fixt n, kan vi göra f n (x) f(x) hur stort som helst (uttrycket i höger led går mot + då x + för varje n). Med andra ord är f n f [, ) = + för varje n. Funktionsföljden konvergerar alltså inte likformigt på [, ). 6. Sätt f(z) = zα + z, där zα = exp(α Log n z) är den naturliga grenen. Jag väljer att göra lösningen genom att integrera längs en hel hålkaka (för figur och beteckningar, se exempel.5), men det går också bra att integrera längs en halv hålkaka (som i övning.). På C R (om R är tillräckligt stort) är + z dz CR z α då R eftersom α <. πr max z C R z α + z πr4rα R = 8πR+α R

6 På C ε (om ε < / ) är z Cε α + z dz πε max z α z C ε + z πε εα / = 4πε+α då R eftersom α >. Längs I + får vi den önskade integralen och längs I får vi: I f(z) dz = ε R exp(α(ln x + πi)) R dx = e πiα x α + x + x dx. Vi lägger ihop alla fyra integraler, använder residysatsen och låter ε + och R + : ( ( ) ( )) ( e πiα x α z α z α ) dx = πi Res + Res + x z=i + z z= i + z ( ) i α = πi i ( i)α = π ( e iπα/ e 3iπα/). i Om α kan vi dividera med e πiα och får x α + x dx = π eiπα/ e 3iπα/ = π eiπα/ ( e iπα ) e πiα ( e iπα )( + e iπα ) = π e iπα/ + e = π iπα/ cos πα. Fallet α = kan hanteras separat (enklast via envariabelmetoder) och det visar sig att formeln ovan gäller även i det fallet. ε