Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018

Transkript

1 KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF169, Differentialekvationer och Transformer II (del ) 8 januari 18 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser: A 1 poäng, B 19, C 16, D 13, E 11, Fx 1. Det finns möjlighet att komplettera betyget Fx inom 4 veckor. Kontakta i så fall Maria Saprykina. Tillåtna hjälpmedel: formelsamlingen BETA. OBS: För full poäng krävs fullständiga, tydligt presenterade och välmotiverade lösningar som är lätta att följa. Markera dina svar tydligt. 1. Använd separation av variabler för att lösa randvärdesproblemet u x (x,y) = u y (x,y)+u(x,y), u(x,) = 4e x +5e 3x. Vi söker lösningar på formen u(x,y) = X(x)Y(y). Insättninng i ekvationen ger: X (x)y(y) = X(x)Y (y)+x(x)y(y). Dividera medx(x)y(y) (vi antar att denna faktor är skilld från ): X (x) X(x) = Y (y) +1 := λ Y(y) därλär en (godtycklig) konstant, eftersom HL i likheten är oberoende avy, och VL är oberoende avx. Detta ger oss ett system av ordinera differentialekvationer: X (x) = λx(x) Y (y) = (λ)y(y). För varje λ ges dess lösning av X(x) = Ae λx Y(y) = Be (λ)y. Produkten u(x,y) = Ce λx+(λ)y är alltså en lösning till den ursprungliga ekvationen (för valfri konstant C). Även linjära kombinationer på formen N u(x,y) = C j e λ jx+(λ j )y j=1 är lösningar till samma ekvation (för valfria konstanter N N ochλ j, C j R, j = 1,...,N). Om u(x,) = 4e x + 5e 3x, så har vi λ 1 =, λ = 3, C 1 = 4, C = 5, och den sökta lösningen är u(x,y) = 4e x 3y +5e 3x+y.

2 . Bestäm de konstanter a ochbsom minimerar vardet av integralen a+bx e x dx. LåtV vara rummet av kontinuerliga funktioner med inre produkten f,g = f(x)g(x)dx, och låt W vara delrummet som spänns av funktioner 1 och x. Vi vet att integralen i frågan blir som minst om a ochbär sådana atta+bx är projektionen av funktionen e x på W. Eftersom 1 xdx =, är polynomen P (x) = 1 och P 1 (x) = x ortogonala i V. Därför kan projektionen beräknas på följande sätt: Vi beräknar: Slutligen, alltså a = e e ochb = 3e. 3. a). Funktionen a+bx = P,e x P P + P 1,e x P 1 P 1. P,e x = P1,e x = 1 e x dx = e e, x e x dx = e, P =, P 1 = /3. a+bx = e e g(x) = 3e x, x för < x 1, 3 för 1 < x π utvecklas i en sinus-series(x) på intervallet[,π]. AngeS(1),S() ochs(π). Formulera satsen som du har använt. Låt oss definiera funktionen g på följande sätt: g(x) = g(x) för alla x [,1], g är udda på intervallet ( π,π), g ärπ-periodisk på R. Den nya funktionen g kan utvecklas till en Fourier-serie S(x), och denna serie är en sinus-serie (dvs alla dess termer har form c n sinnx). Enligt sats 4.5 i Vretblads bok (Formulering krävs!), S(x) = 1 ( g(x )+ g(x + )). Vi beräknar: S(1) = 1(g(1 )+g(1 + )) = 1 (1+3) =,

3 S() = 1(g( ) + g( + )) = 1 (3 + 3) = 3 (serien konvergerar till funktionen i funktionens kontinuitetskunkter); S(π) = 1( g(x )+ g(x + )) = 1 (3 3) =. b). Låt f vara en kontinuerlig π-periodisk funktion som uppfyller f(x + π) = f(x) för x [ π,π]. Visa att alla de udda Fourierkoefficienterna av f är noll, dvs c k+1 =, k Z. c n = π Foureier-serien av f har form c ne inx där f(x)e inx dx = π f(x)e inx dx+ Om n är udda, har vi 1+e inπ =, och därför ärc n =. f(x)e inx dx = f(x)e inx (1+e inπ )dx. 4. Fouriertransformen definieras avff(t)}(ω) = f(t)e iωt dt. a). Bevisa skalningsformeln för Fouriertransform: 1p. För x = at har vi: F[f(at)](w) = F[f(at)](w) = 1 a ˆf( ω ), a >. a f(at)e iωt dt = 1 a f(x)e i(ω/a)t dx = 1 a ˆf( ω ), a >. a 1 b). Tabellen för Fourier-transformer i [V] ger: F[ π e t / ] = e ω /. Använd Fourier-transform för att lösa 3p. e t = e 4(t x) f(x)dx Planen är att Fourier-transformera ekvationen. Vi kan tolka integralen i högerled som faltning e 4t f(t) och använda att F[f g] = F[f] F[g]. Vi ska behöva transformera funktioner på formenf(t) = e kt,k >. Från formeln ovan samt skallningsformeln följer: F[e kt ] = F[e ( kt) / ] = π 1 e (ω/ k) / = (π/k)e ω /(4k). k Med denna formeln får vi: F[e t ] = πe ω /4, F[e 4t ] = (π/4)e ω /16. Fourier-transformerar ekvationen: πe ω /4 = (π/4)e ω /16 F[f]. 3 Det följer att F[f] = e 3ω /16,

4 4 och inverstransformen (med k = 4/3) ger f(t) = 4 (3π) e 4t /3. 5. a). Vad menas med att(φ n ) n utgör en fullständig ON mängd i ett inre produktrum V? 1p. En följd av funktioner (φ n ) n utgör en fullständig mängd i ett inre produktrum V om för varje u V och varje ε > finns en linjär kombination N c nφ n sådan att N u c n φ n < ε. Mängden är ON (ortonormerad) om funktionerna φ n uppfyller: 1, m = n, φ n,φ m =, m n. b). Formulera Parsevals formel (som relaterar normen av funktionen till dess Fourierkoefficienter); 1p. Om (φ n ) n är en fullständig ON mängd i ett inre produktrum V, och u V har Fourier-koefficienter c n = u,φ n, så u = u,φ n = c n. c). Antag att f(x) är en kontinuerlig funktion, och f(x)x n dx =, n =,1,,... Använd b) för att visa att f(x) = för alla x [, 1]. Vi vet att mängden av Legendre-polynom P n, (n =,...) utgör en fullständig ortogonal mängd i rummet av kontinuerliga funktioner med inre produkt Antagandet i uppgiften medför att f,φ = f(x)φ(x)dx. f(x)p n dx = f,p n =, n =,1,,... Enligt Parsevals formel, f = f(x) dx =. Eftersom f(x) är kontinuerlig, medför detta attf(x) är identiskt lika med.

5 6. a). Verifiera enligt definition att funktionen x för x 1, f(x) = annars, definierar en tempererad distribution enligt formeln f[g] = f(x)g(x)dx. 1p. Vi säger att en funktionφtillhör Schwartz klasss omφhar derivator av alla ordningar och för alla icke-negativa heltal n,k finns konstant C n,k sådan att för alla x R gäller (1+ x ) n φ (k) (x) C n,k. En följd av funktioner φ j, j = 1,,..., konvergerar i S till en funktion ψ S om för alla icke-negativa heltaln,k gäller: lim max j x R (1+ x )n φ (k) j (x) ψ (k) (x) =. En tempererad distribution är en linjär kontinuerlig avbildning från Schwartz klass till C. Vi verifierar attf definierar en tempererad distribution. Först, omφ S, så ärφkontinuerlig, ochf[φ] = xφ(x)dx är definierad. Sedan,f[c 1 φ 1 +c φ ] = x(c 1φ 1 (x)+c φ (x))dx = c 1 f[φ 1 ]+c f[φ ], alltså är funktionalen linjär. Antag att en följd funktioner φ j S konvergerar is till ψ S. Då f[φ j ] f[ψ] = x(φ j (x) ψ(x))dx max φ j (x) ψ(x) x [,1] då j, och det betyder att avbildningen ovan är kontinuerlig. b). Beräkna f i distributionsmening. Förkorta så långt som möjligt. p. Vi uttrycker f i termer av Heaviside funktionen: f(x) = x(h(x) H(x)). Vi fårf (x) = H(x) H(x)+xδ(x) xδ(x) = H(x) H(x) δ(x). I sista steget har vi använt formeln g(x)δ(x a) = g(a)δ(x a). 5 c). Beräkna värdet avf [e x ]. Svaret skall inte innehålla intergraler. 1p. Enligt definitionen, f [e x / ] = f[(e x / ) ] = f[ xe x ] = x e x dx. Det har tyvärr uppstått ett fel i uppgiftformuleringen, och denna integral går inte att beräkna med enkla metoder. Alla försök kommer att belönas.