ω L[cos(ωt)](s) = s 2 +ω 2 L[sin(ωt)](s) =

Transkript

1 Matematik Chalmer Tentamen i TMA683/TMA682 Tillämpad matematik K2/Bt2, , kl 4:-8: Telefon: Henrik Imberg, ; Kontaktperon: Mohammad Aadzadeh, Hjälpmedel: Endat tabell på bakidan av teen. Kalkylator ej tillåten. Betyggräner, 3: 2 29p, 4: 3 39p och 5: 4 5p Löningar/Grankning: Se kurhemidan.. Använd Laplacetranformer för att löa differentialekvationen (8p) y (t)+2y (t)+y(t) = t, t > y() =, y () = 2. a) Betäm Fouriererien till den 2-periodika funktionen x+, x [,) f(x) = x, x [,) b) Betäm inu-erien för funktionen g(x) = x, x [,]. (3p) c) Rita graferna för de två erierna i a) och b) för x [ 3,3]. Jämför och (2p) förklara killnaderna. (4p) 3. Betrakta värmeledningekvationen (p) u(x,t) 2u (x,t) =, x (,), t >, u(,t) =, u(,t) =, t, u(x,) =, x [,]. Använd variabeleparationmetoden för att betämma u(x, t). 4. a) Via, genom att använda definitionen, att funktionerna x, in x, co x} är (3p) linjärt oberoende på intervallet x [, π]. b) Tag fram en linjärkombination av de tre funktionerna om är ortogonal mot (3p) både inx och cox på det givna intervallet (och om inte är noll överallt). 5. Härled variationformulering och finita element-formulering för den tyckvi linjära (9p) finita-element-approximationen för randvärdeproblemet 2u (x)+u(x) =, x [,], u () =, u() =, Härled ockå det motvarande linjära ekvationytemet för en likformig partition T h av intervallet [,] med teglängd h = /3. 6. a) Antag att ω R. Via att följande Laplacetranformer gäller: (4p) ω L[co(ωt)]() = 2 +ω 2 L[in(ωt)]() = 2 +ω 2. b) Via att om funktionen F är periodik med perioden P å är oberoende av a.. a+p a F(x)dx (4p) LYCKA TILL! /TG

2 2 Tabell med Laplacetranformer och trigonometrika formler f(t) af(t)+bg(t) tf(t) t n f(t) e at f(t) f(t T)θ(t T) f (t) F() af()+bg() F () ( ) n F (n) () F(+a) e T F() F() f() f (t) 2 F() f() f () f (n) (t) t f(τ)dτ n F() F() θ(t) t n n! n+ e at +a coh at 2 a 2 a inh at 2 a 2 cobt 2 +b 2 b inbt 2 +b 2 t 2b inbt ( 2 +b 2 ) 2 2b 3(inbt btcobt) ( 2 +b 2 ) 2 n n k f (k ) () k= 2inainb = co(a b) co(a+b) 2inacob = in(a b)+in(a+b) 2coacob = co(a b)+co(a+b)

3 TMA683/TMA682 Tillämpad matematik K2/Bt2, , kl 4:-8:. Löningar.. Laplacetranformering med y() = och y () = ger, efterom L[t] = 2 enligt tabellen, 2 Y() y() y ()+2Y() 2y()+Y() = 2 = ( 2 +2+)Y() = + 2 = Y() = (+) (+) 2 = (+) 2 Partialbråkuppdelning ger (+) 2 = A + B 2 + C + + D (+) 2 där B kan betämma med handpåläggning (förläng med 2 och ätt = ) till B =. På motvarande ätt blir D = 2. A och C betäm genom att multiplicera ihop och identifiera koefficienter till A = 2 och C = 2. Alltå är Y() = (+) 2 = y(t) = 2+t+2e t +2te t, t därvianväntattl[θ(t)] =,L[e t ] = +,L[t] = 2,L[te t ] = (+) 2 (enligtförtaförkjutningregeln) Figur. Funktionen f(x) med perioden a) Från figur er vi att funktionen f(x) är jämn. Alltå är b n =, n =,2,... och f(x) = ( ) 2 a + a n co L x med a n = 2 L ( ) f(x)co L L x dx, n =,,... där perioden är 2L = 2, dv L =. Vi har att och, för n =,2,..., a = 2 f(x)dx = 2 n= ( x)dx = [ ( x) 2 ] x= = a n = 2 ( x)co(x) dx = 2 [ ] x= ( x)in(x) + 2 x= = + 2 [ ] x= co(x) () 2 = 2 co() x= () 2 = 2 ( )n () 2 in(x) dx

4 Alltå är Fouriererien f(x) = 2 + n= b) Sinu-erien för g(x) ge av där L = och 2 ( )n () 2 co(x) = π 2 G(x) = n= k= ( ) b n in L x co((2k )πx) (2k ) 2 b n = 2 g(x)in(x) dx = 2 ( x)in(x) dx = 2 [ ] x= ( x)co(x) 2 x= = [ ] x= in(x) () 2 x= = 2. för n =,2,... Alltå är inu-erien G(x) = n= 2 in(x) co(x) dx Figur 2. Graferna för Fourier-erierna i uppgift 2 a) (blå) och 2 b) (röd). c) Graferna för de två erierna är ritade i figur 2. De är lika på intervallet (,], men kiljer ig åt genom att inu-erien motvarar en udda utvidgning av funktionen till intervallet [, ), medan funktionen f(x) är jämn. 3. Anätt u(x,t) = v(x,t)+s(x) och ätt in i ekvationen och randvillkoren: v(x,t) 2v (x,t) 2S (x) =, x (,), t >, v(,t)+s() =, v(,t)+s() =, t, v(x,)+s(x) =, x (,). Vi er att om S(x) uppfyller S (x) =, x (,), S() =, S() = å löer v(x, t) den homogena värmeledningekvationen med homogena randvillkor. Integration två gånger och inättning av randvillkoren ger att S(x) = x v(x, t) atifierar nu den homogena värmeledningekvationen, v(x,t) 2v (x,t) =, x (,), t >, v(,t) =, v(,t) =, t, v(x,) = S(x) = x, x (,). 2

5 För att betämma v(x, t), anätt v(x, t) = X(x)T(t). Inättning i differentialekvationen för v ger 2X (x)t(t) = X(x)T (t) eller X (x) X(x) = T (t) 2 T(t) = λ. Vi har ett att för värmeledningekvationen med homogena randvillkor är λ <. Sätt därför λ = µ 2. Detta ger X (x)+µ 2 X(x) =, < x <, T (t) = 2µ 2 T(t), t >. X() = X() =. Löningen för X(x) är då X(x) = Acoµx+Binµx. X() = = A = och X() = = Binµ = = µ = (ty B = ger trivial löning). Vi har alltå µ n =, X n (x) = B n inx, n =,2,... (n = ger trivial löning X(x) = och n < ger amma löningar om n > ). För T(t) gäller då T n(t) = 2µ 2 nt n (t) = T n (t) = C n exp( 2() 2 t), n =,2,... Superpoition ger den allmänna löningen v(x,t) = C n exp( 2() 2 t)in(x). Begynnelevillkoret v(x, ) = x ger n= x = v(x,) = C n in(x), n= och vi er att C n är Fourier-inu koefficienter för funktionen v(x,) = x på intervallet (,), vilka ge av C n = 2 Alltå är löningen och = 2( )n xin(x)dx = 2 [ xco(x)] x= () 2 [in(x)] x= = 2( )n+ v(x,t) = 2 ( ) n+ e 2()2t in(x) n= u(x,t) = S(x)+v(x,t) = x+2 4. a) Funktionerna är linjärt oberoende om ekvationen ( ) n+ in(x) n= () λ x+λ 2 inx+λ 3 cox = co(x) dx endat har löningen λ = λ 2 = λ 3 = (där ekvationen kall gälla för alla x [,π]). Genom inättning av värdena x =,π/2,π i () få de tre ekvationerna vilka har den enda löningen λ = λ 2 = λ 3 =. λ 3 = π λ 2 +λ 2 = λ π +λ 3 = b) En linjärkombination av de tre funktionerna ge av Vi vill betämma koefficienterna å att F(x) = λ x+λ 2 inx+λ 3 cox. F(x),inx = och F(x),cox =. 3

6 Vi er att det går att multiplicera F(x) med ett godtyckligt tal och att dea villkor ändå är uppfyllda. Vi kan därför välja λ =. Vi har då (använd formlerna på formelbladet för att beräkna integralerna) = F(x),inx = och = F(x),cox = π π Alltå är linjärkombinationen ortogonal mot både inx och cox. π π xinxdx+λ 2 inxinxdx+λ 3 π π xcoxdx+λ 2 inxcoxdx+λ 3 F(x) = x 2inx+ 4 π cox 5. Multiplicera ekvationen med en tetfunktion v V, där V = v : v L2(,) + v L2(,) <, v() = } coxinxdx = π+λ 2 π 2 = λ 2 = 2 coxcoxdx = 2+λ 3 π 2 = λ 3 = 4 π. och integrera över [, ]. Genom partialintegration och med hänyn till randdata får vi följande variationproblem: Finn u V å att (2) ( 2u v +uv)dx = vdx, v V. En motvarade Finita Element Metod med cg()-metoden (tyckvi linjära bafunktioner) formulera om: Hitta U V h å att (3) där ( 2U v +Uv)dx = vdx, v V h V h = v : v är tyckvi linjär och kontinuerlig i en partition av [,] med teglängd h, v() = }. Vi anätter U(x) = ξ ϕ (x)+ξ ϕ (x)+ξ 2 ϕ 2 (x) där h (x x j ), x [x j,x j ) ϕ j (x) = h (x j x), x [x j,x j+ ), j =,,2, annar är hattfunktionerna varande mot nodpunkterna x j = j/3, j =,,2. Notera att ϕ är en halv hatt. Vi ätter in U(x) = ξ ϕ (x)+ξ ϕ (x)+ξ 2 ϕ 2 (x) i (3) och väljer tetfunktioner ϕ = ϕ i, i =,,2. Vi får då ekvationytemet ( 2A+M)ξ = b, där A är tyvhetmatrien med element A ij = ϕ i ϕ jdx, i,j =,,2, och M är mamatrien med element M ij = ϕ iϕ j dx, i,j =,,2. b är högerledvektorn med element b i = ϕ idx, i =,,2 och ξ = (ξ,ξ,ξ 2 ) T är löningvektorn. För enkelhet kull numrerar vi här matrielementen från till 2. Beräkning av matrielementen ger A ii = 2/h, A i,i± = /h, i =,2 och A = /h (halv hatt), amt M ii = 2h/3, M i,i± = h/6, i =,2 och M = h/3 och reten nollor. För högerledvektorn får vi b i = h, i =,2 och b = h/2. Detta ger eller, med h = /3, h 2 4 h (Löningen är ξ (.335,.2774,.79) T.) 4 ξ ξ ξ 2 ξ ξ ξ 2 /2 = h, /6 = /3 /3

7 6. Se kompendiet om Fouriererier och Laplacetranformer. /TG 5