7. Låt f(x) vara en 2π-periodisk, integrerbar funktion. Visa noggrant att om

Transkript

1 Matematik Chalmer Tentamen i TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 4 8 ; KL 4:-8: Telefon: Mohammad Aadzadeh: Hjälpmedel: Endat utdelad (vänd textlappen) tabell. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna 6 och 7 ger max 5 poäng var, uppgifterna -5 ger max 4 poäng var. Betyggräner, 3: -7p, 4: 8-3p och 5: 4p- Löningar/Grankning: Se Hemidan, kurdagbok.. Via följande linjära interpolationfeluppkattning för en funktion f C (,), π f f L (,) 8 max ξ f (ξ).. Sök med Laplacetranformation en funktion y(t) om atifierar ekvationen y (t)+3y(t)+ 3. Betrakta begynnelevärdeproblemet t y(τ)dτ = e t, y() =. u =, x (,), u() = u() =. (a) Lö ekvationen analytikt. (b) Dela in intervallet [,] i tre lika delintervall och beräkna för hand tyvhetmatrien och latvektorn för den tyckvi linjära finita element löningen U. 4. a) Beräkna den trigonometrika Fouriererieutvecklingen till följande -periodika funktion { x, < x < f(x) =, < x <. b) Beräkna umman (n ). 5. Använd variabeleparationmetoden och lö följande värmeledningekvation u t = 3u xx, < x < π, t >, u x (,t) = u(π,t) =, t >, u(x,) = co( x ) 5co(3x ), < x < π. 6. Betrakta randvärdeproblemet εu (x)+a(x)u (x)+u(x) = f(x), x I = (,), u() =, u () =, där ε är en poitiv kontant och funktionen a uppfyller a(x), a (x). Bevia att (i) ( /. ε u C f (ii) au C f med w = w (x)dx) 7. Låt f(x) vara en π-periodik, integrerbar funktion. Via noggrant att om f(x) = C n e inx å är C n = π f(x)e inx dx. π n= π LYCKA TILL! MA

2 Table of Laplace Tranform and trigonomerty f(t) af(t)+bg(t) tf(t) t n f(t) e at f(t) f(t T)θ(t T) f (t) F() af()+bg() F () ( ) n F (n) () F(+a) e T F() F() f() f (t) F() f() f () f (n) (t) t n F() F() f(τ)dτ θ(t) t n n! n+ e at +a coh at a a inh at a cobt +b b inbt +b t b inbt ( +b ) b 3(inbt btcobt) ( +b ) n n k f (k ) () k= inainb = inacob = coacob = = co(a b) co(a+b) = in(a b)+in(a+b) = co(a b)+co(a+b)

3 TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 4 8 ; KL 4:-8:. Löningar.. Löning: Enligt Lagrange interpolationat har vi att f π f L (,) (x ) ( x) max x [,] f. Vidare gäller att g(x) = x( x) har maximum då g (x) =, dv då ( x)+x ( ) =, eller för x = /. Alltå är max x [,] [x( x)] = max x [,] g(x) = /( /) = /4. Därmed f π f L (,) 8 f L (,).. Löning: Laplacetranformering av ekvationen ger med y() = att Y() y()+3y()+ Y() = + e Alltå är Y() = (+) (+). Vi anväder partialbråkuppdelning och kriver (+) (+) = A + + B (+) + C +. = +3+ Y() = +. och därmed, genom identifiering av koefficienter, får ekvationytemet: A +C = koeff. 3A +B +C = koeff. = A =, B =, C =. A +B +C = koeff. Värför är Efterom (+) = d d 3. Löning: a) Vi har att Y() = + (+) +. + = L [ te t ], får vi y(t) = e t te t e t. u (x) = = u (x) = x+c = u(x) = x +Cx. u() = = +C = = C = = u(x) = x( x). (b) Med dem givna homogena randdata och partitionen x =, x = /3, x = /3, x 3 =, har vi med endat två ba funktioner: { 3x, x /3, ϕ (x) = 3(/3 x), /3 x /3, och ϕ (x) = { 3(x /3), /3 x /3, 3( x), /3 x. Multiplicera ekvationen med en tetfunktion v V := {v : v + v <, v() = v() = } och integrera över I = [,]. Efter partiell integration får vi variationformuleringen: Finn u V å att u v dx = vdx, v V.

4 ϕ (x) ϕ (x) x = x = /3 x = /3 x 3 = x Motvarande finita elementformulering är: Finn U V h = {v V : v är kontinuerlig tyckvi linjär på T h } å att (FEM) U v dx = v v V h. ViharattU(x) = ξ ϕ (x)+ξ ϕ (x)ärbafunktionerpåparitionent h,ξ = U(x )ochξ = U(x ). Vi ätter in U(x) = ξ ϕ (x)+ξ ϕ (x), v = ϕ (x) repektive v = ϕ (x) i (FEM) och får ett linjärt ekvationytem för ξ och ξ om Sξ = b med tyvhatmatri ( ) ( ) S = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = 3, ( ) ( ) ξ ξ =, och latvektor b = ϕ ( ) /3 ξ ϕ =. /3 4. Löning: a) Vi har att L = = L =. Då är För n =, För n, a n = a n = L b n = L Analogt gäller det att L L f(x)co(n π L x)dx = f(x)co(nπx)dx, n, f(x)in(n π L x)dx = f(x)in(nπx)dx, n. a = f(x)co(nπx)dx = = x nπ in(nπx) nπ b n = f(x)dx = f(x)in(nπx)dx = = xco(nπx) nπ + nπ xdx+ dx = 3. xco(nπx)dx+ co(nπx) dx in(nπx)dx = n π co(nπx) = ( )n n π. xin(nπx)dx+ in(nπx) dx co(nπx)dx nπ co(nπx) = nπ co(nπ) nπ co(nπ)+ nπ co(nπ) = nπ.

5 Därför är Fouriererieutvecklingen för f(x), () f(x) 3 4 π (n ) co(n )πx nπ in(nπx). b) Efterom f(x) är kontinuerlig i punkten x =, å i x = har vi likhet i (). Dv x = = = 3 4 π (n ) ( ) 4 = π (n ) (n ) = π Löning: Anätt u(x,t) = X(x)T(t) ; inätning i differentialekvationen ger 3X T = XT eller X X = T 3T = λ = {med radadata}; X = λx, X () = X(π) =. T = 3λT. Med X () = X(π) = endat λ < ger icke triviala löningar. Sätt λ = µ <, vi får då X(x) = Acoµx+Binµx = X (x) = Aµinµx+Bµcoµx. X () = = Bµ = = B = = X(x) = Acoµx. X(π) = = Acoµπ = {A } = µπ = (n )π = µ = (n ). Alltå egenpar är ( X(x) = A n co n ) ( x, λ = n, n =,,... ) ( ) För T gäller då T n = 3λ n T n = T n (t) = T()e 3 n t, n =,,... Superpoition ger den allmänna löningen ( u(x,t) = a n e 3 ( n ) t co n ) x. Ur bygynneledata: u(x,) = co x 5co 3x = ( a n co n ) x. Identifiering av koefficienter ger att a =, a = 5 och a n =, n >, och löningen är 6. Löning: Multiplicering med u ger Här () värför Detta beviar att (3) ε u + u(x,t) = e 3 4 t co x 5e 7 4 t co 3x. αu udx+ u = (f,u) f u f + u. au udx = a d dx u dx = a()u() ε u + u f. ε u f, Multiplicera ekvationen med au and integrera över x: ε u au dx+ au + 3 u f. a u dx, au udx f + au.

6 Alltå enligt () Genom att använda (3) får vi att au f +ε a d dx (u ) dx = f εa()u () ε a (u ) dx f + a ε u f +Cε u. (4) au C f. 7. Se TMA68 Lecture Note. MA 4