Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.

Transkript

1 Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 3-5-6, kl B1/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg 4 krävs 5 poäng, och för betyg 5 3 poäng. Lösningarna skall motiveras väl! TENTAMENSSKRIVNING 1. Beräkna Fouriertransformen av funktionen { cost sin3t, < t < π, ft = t π. Fouriertransformen ges av formeln fω = ft e itω dt = Eftersom cosinus-funktionen är en jämn, får vi cost e itω dt = Enligt trigonometriska formler är så att om ω ±, cost sin3t e itω dt. cost cosωt i sinωt dt = cost cosωt = cos [ ω t ] + cos [ ω + t ], cost cosωt dt. cost cosωt dt = 1 ω sin [ ω π ] + 1 ω + sin [ ω+π ] = ω ω 4 sinωπ. Eftersom sinus-funktionen är udda, få vi likaså sin3t e itω dt = Enligt trigonometriska formler är så att om ω ±3, i sin3t cosωt i sinωt dt = i sin3t sinωt = cos [ ω + 3t ] + cos [ ω 3t ], sin3t sinωt dt. sin3t sinωt dt = i ω + 3 sin [ ω+3π ] i ω 3 sin [ ω 3π ] = 6i ω 9 sinωπ. Svaret blir således fω = ω ω 4 6i ω sinωπ, 9 för ω ±, ±3. Funktionen fω är kontinuerlig längs med hela reella axeln, p g a att 5 V.g. vänd!

2 f har begränsat stöd. I punkterna ±, ±3 erhålls alltså värdena som gränsvärden av funktionen i närliggande punkter.. Finn en lösning till Dirichlet-problemet u = på enhetsskivan D = { x, y : x + y 1 } med randvärdena ucos θ, sin θ = sin θ cos θ + sin θ, θ < π. 5 Laplace ekvation u skriv i polära koordinater r r r r u + θu =. Denna få med variabelseparations-metoden lösningen i polära koordinater Vi har givet att för r = 1, ur, θ = a + + r n a n cosnθ + b n sinnθ. u1, θ = sin θ cos θ + sin θ = 1 1 cosθ + sinθ. Detta ger lösningen u på formen ur, θ = 1 uttryckt i de vanliga x, y-koordinaterna. 1 r cosθ + r sinθ = y x + xy, 3. Bestäm de konstanter a, b som minimerar integralen a + b x e x dx. 5

3 Polynomen P x = 1, P 1 x = x är ortogonala i L [, 1]. Deras normer i kvadrat är P =, P 1 = 3. Låt g beteckna funktionen gx = e x. Vi har då att och vidare P, g = P 1, g = e x P x dx = e x P 1 x dx = e x dx = e e, x e x dx = e. Den vektor i delrummet som uppspänns av P, P 1 vilken ligger närmast g är projektionen av g på delrummet, som kan skrivas P, g P P x + P 1, g P 1 P 1x = e e 3 e x. Detta ger värdena på a, b vid minimum: a = e e, b = 3 e. 4. Bestäm Fourierserien av funktionen gt = sin t + sin t, < t < π. 5 Vi vet att sin t = 1 1 cost. Vi observerar att g är en jämn funktion, så bara cosinus-termer kommer att förekomma. Enligt BETA, s. 31 har vi sin t = π 4 π 1 4n 1 cosnt. Lägger vi ihop dessa blir resultatet gt = sin t + sin t = π cost 4 1 3π π 4n 1 cosnt. n= V.g. vänd!

4 5. Genom att använda metoden med separation av variabler, lös ekvationen u xx = u t, < x < π, < t < +, med randvillkoren och begynnelsevillkoret u x, t = u x π, t =, < t < +, ux, = π x, < x < π. 6 Vi letar först efter variabelseparerade lösningar, dvs vi sätter och kräver därvid att ux, t = Xx T t, X = X π =, förutom att X X = T T, vilket följer ur värmeledningsekvationen. Eftersom vänster sida ovan bara beror av x, medan höger sida bara beror av t, följer att båda måste vara konstanta. Vi skriver således X X = T T = λ, och får ekvationerna X + λx =, T + λt =. Vi delar nu upp i tre olika fall. Fall 1. λ >, och vi skriver λ = ω, med ω >. Funktionen X är då på formen vilket leder till Vi finner ur X = X π = att X = A cosωx + B sinωx, X = A ω sinωx + B ω cosωx. B =, ω = n, där n är ett positivt heltal. Motsvarande funktion T blir T t = C e nt, så genom att välja C = får vi den kombinerade l sningen u n x, t = T t Xx = A n e nt cosnx.

5 Fall. λ =, och vi får att X = Ax + B, vilket tillsammans med X = X π = ger att A = och att X är konstant. Motsvarande T är likaså konstant, och den kombinerade l sningen blir u x, t = B. Fall 3. λ <, och vi sätter λ = ω med ω >. Här blir lösningen så att X = A e ωt + B e ωt, X = Aω e ωt Bω e ωt. Det följer nu ur X = X π = att A = B =, så i detta fall erhåller vi enbart triviala lösningar. Vi får enligt superpositionsprincipen den allmänna lösningen ux, t = Vi identifierar nu begynnelsedata: ux, = n= n= a n e nt cosnx. a n cosnx = π x, < x < π. Enligt BETA, s. 39, har vi cosinusserie-utveckligen π x = π + 4 π Det följer alltså att vår sökta lösning är ux, t = π + 4 π 1 n 1 cos n 1x, < x < π. e n t n 1 cos n 1x. 6. Beräkna integralen t 1 + t dt genom att betrakta Fouriertransformen till funktionen { e ht = t, t < +, e t, < t <. 5 V.g. vänd!

6 En direkt kalkyl ger vid handen att ĥω = ht e itω dt = iω 1 + ω. Enligt Plancherels formel har vi den generella identiteten I detta fall leder den till att ω 1 + ω dω = π ht dt = 1 π ht dt = π ĥω dω. Detta betyder att det sökta värdet på integralen är π/. e t dt = π. 7. Betrakta problemet med randvillkor u x + λ ux =, < x < π, u =, u π =. Finn ett fullständigt ortogonalt system av lösningar till detta problem i rummet L [, π], med avseende på standard-inre produkten i detta rum. 5 Om λ >, skriver vi λ = ω, där ω >, och löser ekvationen u + λu = : Detta leder till att u = A cosωx + B sinωx. u = Aω sinωx + B cosωx, så att när vi stoppar in randdata u = u π =, så finner vi att A = och att ω = n + 1, där n =, 1,, 3,.... För λ finner vi inga lösningar som är kompatibla med randdata u = u π =. Detta betyder att en bas av egenvektorer ges av [ u n x = sin n + 1 ] x, n =, 1,, 3,.... Dessa bildar den sökta basen. Den är ortogonal och fullständig enligt teorin för Sturm- Liouville-problem.