Transformmetoder. Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Transformmetoder Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur AB. Kontakt: Föreläsare och kursansvarig: Robert Algervik e-post: Rum: Å14232 (Hus 1, våning 4, strax norr om postfacken) Telefon: Lektionsledare för EI2 och MasFE1: Denis Gaidashev e-post: Lektionsledare för F2.A och gylärarfy3: Linnéa Gyllingberg e-post: Lektionsledare för F2.B: Hannah Dyrssen e-post: Lektionsledare för F2.C och IT3 (2 lektionsgrupper): Alejandro Castro e-post: Projekt: I kursen ingår även ett projekt på 1 hp. Projektansvarig för samtliga program är Sinchan Biswas. e-post: sinchan.biswas@angstrom.uu.se Kurshemsida och registrering: Kursmaterial kommer nnas tillgängligt via studentportalen. Registrering sker på egen hand. Detaljerad information om hur detta går till åternns på Undervisning: Undervisning sker i form av 20 föreläsningar och 10 lektioner. Vid föreläsningarna introduceras samt exemplieras teori och begrepp, medan lektionerna uteslutande ägnas åt problemlösning (se nedan). 1

2 Tidsplan: Nedan följer en preliminär planering. Ändringar kan förekomma! Föreläsning 1. Introduktion: komplexa exponentialfunktionen, komplexvärda funktioner av en reell variabel, Eulers formler. Fourierserier: komplex form. Avsnitt i boken: 1.1, Föreläsning 2. Fourierserier: trigonometrisk och amplitud-fasvinkelform. Avsnitt i boken: 3.5 (ej punktvis konvergens på s. 62), 3.8 Föreläsning 3. Fourierserier: punktvis konvergens och konvergenshastighet. Avsnitt i boken: 3.5 (om punktvis konvergens, se även exemplen) Föreläsning 4. Fourierserier: Parsevals formel, räkning med Fourierserier. Avsnitt i boken: 3.6, 3.7 Föreläsning 5. Fouriertransformen: denition och exempel. Avsnitt i boken: 4.2 Föreläsning 6. Fouriertransformen: inversa Fouriertransformen och faltning. Avsnitt i boken: Föreläsning 7. Fouriertransformen: Plancherels formel, något om LTI-system. Avsnitt i boken: 4.1 (kursivt) Föreläsning 8. Laplacetransformen: denition och enkla egenskaper. Avsnitt i boken: 1.2, 1.3 Föreläsning 9. Laplacetransformen: invers Laplacetransformation av rationella funktioner. Avsnitt i boken: 1.4 Föreläsning 10. Laplacetransformen: faltning, begynnelse och slutvärdessatserna. Avsnitt i boken: 1.8 (begynnelse och slutvärdessatserna nns ej med i boken) Föreläsning 11. LTI-system: impulssvar, överföringsfunktion, stabilitet och kausalitet. Avsnitt i boken: 1.6 Föreläsning 12. Variabelseparation: värmeledningsekvationen. Avsnitt i boken: 5.3 Föreläsning 13. Variabelseparation: vågekvationen. Avsnitt i boken:

3 Föreläsning 14. Variabelseparation: exempel på inhomogena och andra fall. Avsnitt i boken: Föreläsning 15. Z-transformen: denition och egenskaper. Avsnitt i boken: 2.2 Föreläsning 16. Z-transformen: lösning av dierensekvationer. Avsnitt i boken: 2.1, 2.2 Föreläsning 17. LTI-system: diskreta fallet. Avsnitt i boken: 2.3 Föreläsning 18. Repetition/reserv. Föreläsning 19. Repetition. Föreläsning 20. Repetition. Examination: Examinationen sker i form av en skriftlig tentamen som äger rum fredagen den 23 oktober Tentamen innehåller 8 uppgifter där vardera uppgift kan ge maximalt 5 poäng. Betyg 3 motsvarar poäng, betyg 4 motsvarar poäng och betyg 5 motsvarar 32 poäng eller mer. Till ordinarie tentamenstillfälle nns en möjlighet att erhålla maximalt 2 bonuspoäng genom att lösa ett antal kryssproblem inför lektionerna (se nedan). 3

4 Mål: För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna: ˆ redogöra för följande transformers denitioner och egenskaper: laplacetransformen, z-transformen, fouriertransformen; ˆ tillämpa transformregler för att beräkna enkla funktioners transformer, och kunna använda tabeller för att beräkna inversa transformer; ˆ beräkna periodiska funktioners fourierkoecienter samt känna till något kriterium för fourierseriens punktvisa konvergens; ˆ använda Parsevals och Plancherels satser; ˆ formulera viktigare resultat och satser inom kursens område; ˆ använda transformer för att lösa dierential- och dierensekvationer; ˆ använda transformmetoder inom något av utbildningsprogrammets tillämpningsområden och i detta sammanhang kunna genomföra och presentera ett mindre projekt. 4

5 Lektionsanvisningar, kryssproblem och bonuspoäng Nedan följer en uppsättning rekommenderade problem att lösa, eller åtminstone tänka igenom, inför motsvarande lektion. Försök att åtminstone bekanta dig med ett par problem i varje avsnitt inför lektionen. Vid varje lektion, utom den sista, ägnar vi ca 20 minuter till att i smågrupper diskutera de två kryssproblem som ges till motsvarande lektion (se nedan). Till lektionen skall man ta med prydligt skrivna lösningar till kryssproblemen. Lektionsledaren tittar till hur diskussionen går i grupperna. Efter diskussionen skall alla lösningar lämnas in med namn till lektionsledaren som bedömmer lösningarna och lämnar tillbaka dem nästföljande lektion. De lösningar som är korrekta och välskrivna ges ett kryss. Om man vid kursens slut har 9 kryss respektive 14 kryss får man 1, respektive 2 bonuspoäng till ordinarie tenta. Inför lektion 1. Testproblem kap. 3: 1ac, 2ab, 6, 8, 9, 10, Ange Fourierserien på trigonometrisk form för (a) f(t) = sin(2t); (b) g(t) = sin 2 t; (c) h(t) = cos 3 t. OBS: Man behöver inte beräkna några integraler för att lösa uppgiften! 2. Funktionen f har period 2π och ges av f(t) = e t då t < π. Bestäm Fourierserien för f på (a) komplex form. (b) trigonometrisk form. Ledning: använd resultatet i (a) för att lösa (b). Inför lektion 2. Testproblem kap. 3: 12abc, 14ac (ange både den reella och den komplexa formen i uppgift 14), 15ac, 22abc, 23ac, 24, 16abc Övningar kap. 3: 1, 5, 8, (alla på både reell och komplex form), 11, 12, 16, Ange sinusserien för f(t) = cos t, 0 < t < π. 2. Låt f vara den 2-periodiska funktion som denieras av t om 0 t 1 f(t) = 0 om 1 < t < 0. 5

6 (a) Bestäm Fourierserien för f på trigonometrisk form. (b) Använd resultatet i (a) för att beräkna serien k=0 1 (2k + 1) 2. Inför lektion 3. Övningar kap. 4: 1, 2, 3, 5, Extra övningar: 1. Beräkna Fouriertransformen av följande funktioner: (a) f(t) = t om t < 1 och f(t) = 0 för övrigt; (b) f(t) = 1 t om t < 1 och f(t) = 0 för övrigt. 2. Låt f vara som i 1 (b). Beräkna Fouriertransformen av f direkt från denitionen. 3. Bestäm Fouriertransformen av av f(t) = te t2 /2. 4. Antag att f har Fouriertransformen ˆf(ω) = e ω4. Ange Fouriertransformen av e it f(2t + 1). 1. Bestäm Fouriertransformen av f(t) = e (t2 +4t)/2. 2. Bestäm Fouriertransformen av (a) (b) f(t) = g(t) = 1 t 2 + 8t + 25, t + 4 (t 2 + 8t + 25) 2. Inför lektion 4. Övningar kap. 4: 7, 9 Extra övningar: 1. Beräkna Fouriertransformen av (a) t 2, (b) e it 1 + 9t 2, (c) sin t 1 + 9t 2. 6

7 2. Låt f ha Fouriertransformen F (ω) = e ω sin ω. ω Bestäm f(0) och använd sedan detta för att beräkna integralen 0 e ω sin ω dω. ω 3. Låt f(t) = 1 t 2 för t < 1 och f(t) = 0 annars. Beräkna ˆf och använd resultatet för att beräkna integralerna sin t t cos t t 3 dt och (sin t t cos t) 2 dt. t 6 1. Bestäm Fouriertransformen till funktionen e t om t > 0, f(t) = e t om t < 0. Använd sedan resultatet till att beräkna integralen 2. Lös integralekvationen 0 x 2 (1 + x 2 ) 2 dx. f(t y)e y dy = t 2, t R. Inför lektion 5. Testproblem kap. 1: 2a, 3a, 4ac, 5ac, 6ac, 8abc, 9abc, Övningar kap. 1: 1abcdef, 2, 3 1. Beräkna L[te t cos t](s). 2. Låt f(t) = sin t för 0 t 2π, f(t) = 0 annars. Beräkna f(s). 7

8 Inför lektion 6. Testproblem kap. 1: 10abc, 11ab, 12ab, 13acef, 14abc, 15ace, 18ab Övningar kap. 1: 6, 7, 9 1. Ange f(t) om f(s) = s + 3 s 3 s. 2. Lös integralekvationen t y(t) + (t u)y(u) du = te t. 0 Inför lektion 7. Testproblem kap. 1: 17abc, 19abc, 20abc, 21abc, 22ab, 23ab, 25, 26, 27 Övningar kap. 5: 1, 2, 3 1. Ange en funktion f(t) som uppfyller f(0) = 0 och för t 0. t f (t) 3f(t) + 0 f(u)e t u du = e 2t, 2. Lös begynnelsevärdesproblemet x + y = e t, y y 2x = 0. t > 0 om x(0) = 1, x (0) = 0, y(0) = 1 och y (0) = 2. Inför lektion 8. Testproblem kap. 5: 9, 10, 11, 13 Övningar kap. 5: 8, 10, 11, 12, 15, 17, 18 8

9 1. Lös med hjälp av variabelseparationsmetoden u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0; u(0, t) = 0, u(1, t) = 1, t > 0; u(x, 0) = 2x x 2, 0 < x < Lös med hjälp av variabelseparationsmetoden u xx = u tt, 0 < x < π, t > 0; u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0; u(x, 0) = sin x, 0 < x < π; u t (x, 0) = sin 3x, 0 < x < π. Inför lektion 9. Testproblem kap. 2: 4bcd, 5abcd, 6ab, 7a, 8abcd Övningar kap. 2: 1cd, 2abc, 5ab, 8abc, 9 1. Bestäm talföljden (a n ), n = 0, 1, 2,..., så att n 2 n k 1, n = 0, 1 a k = 0, n 2. k=0 2. Ange talföljderna (a n ) och (b n ), n = 0, 1, 2,, om a 0 = 1, b 0 = 4 och a n+1 + 2a n b n = 1, n = 0, 1, 2,.... b n a n 5b n = 3 Inför lektion 10. Repetition Svar till extraövningar Lektion 3: 1. a) ˆf(ω) = 2i (ω cos ω sin ω) för ω 0 och ˆf(0) = 0, b) ˆf(ω) = ω 2 4 sin 2 ( ω 2 ) för ω 0 och ˆf(0) = F(f )(ω) = 2i(1 cos ω)/ω för ω 0 och ω 2 f (0) = F(te t2 /2 )(ω) = iω 2πe ω2 /2, exp[i(ω 1)/2 ( ω 1 2 )4 ] Lektion 4: 1. a) πe ω /3 /3, b) πe ω 1 /3 /3, c) π(e ω 1 /3 e ω+1 /3 )/(6i), 2. integralen blir π/4, 3. ˆf(ω) = 4(sin ω ω cos ω)/ω 3, π/2 samt 2π/15. 9