Program för System och transformer ht07 lp2

Transkript

1 Program för System och transformer ht07 lp2 Syfte Att ge matematiska begrepp och metoder från linjär algebra och analys som är viktiga för systemteori, kontinuerlig och diskret, och för vidare studier inom till exempel matematik, ekonomi, fysik, matematisk statistik, mekanik, reglerteknik, signalteori samt för framtida yrkesverksamhet. Syftet är vidare att utveckla studenternas förmåga att lösa problem, att tillgodogöra sig matematisk text och att kommunicera matematik. Mål Kunskap och förståelse För godkänd kurs skall studenten ha kunskap om egenvärdens betydelse i stabilitets- och resonanssammanhang, för såväl kontinuerliga som diskreta system. kunna beskriva och använda begreppen linjaritet, tids- och rumsinvarians, stabilitet, kausalitet, impulssvar och överföringsfunktion, såväl i kontinuerlig som diskret tid. kunna beskriva strukturen hos en exponentialmatris och kunna beräkna exponentialmatriser i enkla fall. kunna karakterisera olika typer av kvadratiska former dels med hjälp av egenvärdesteknik, dels med hjälp av kvadratkomplettering. kunna definiera begreppet faltning, diskret och kontinuerlig, och kunna använda det både i systemsammanhang och för beskrivning av vissa typer av integralekvationer. ha viss erfarenhet och förståelse av matematiska och numeriska datorprogram. Färdighet och förmåga För godkänd kurs skall studenten kunna visa förmåga att självständigt välja lämpliga metoder för att lösa system av linjära differentialekvationer och system av linjära differensekvationer, och för att genomföra lösningen i huvudsak korrekt. kunna visa förmåga att använda egenvärdesteknik, elementär distributionsteori, funktionsteori, Fourier- och Laplacetransformationer och faltningar vid problemlösning inom teorin för linjära system. i samband med problemlösning kunna visa förmåga att integrera kunskaper från de olika delarna i kursen. med adekvat terminologi, väl strukturerat och logiskt sammanhängande kunna redogöra för lösningen till matematiska problem inom kursens ram. Se också Där hittar du ovannämnda syfte och mål men också innehåll och litteratur. Föreläsningar och seminarier. Jan Gustavsson M , O 8 10, F (MA:1, MA:1, MA:1) 1 Kl den 12/11. Lokal MA:1

2 Övningar. Pi Anders Holst Ti 8 10 To (M:L1, MH332B 2 ) I1 Jan Gustavsson Ti To (E:1144, E:1409) I2 Mario Natiello Ti To (E:1147, E:3336) I3 Sergei Silvestrov Ti To (MH331, MH143) I4 Tomas Carnstam Ti To (MH333, MH229) F Carl Olsson Ti 8 10 To 8 10 (MH333, MH333) Kurschef: Jan Gustavsson. Arbetsrum MH 442. Tel (arbetet) eller (hem). Epost: Jan.Gustavsson@math.lth.se Mottagningstid: O i MH 442. Kursens hemsida: Se eller mera direkt Där hittar du bl.a. målbeskrivning för kursen, detta program, vissa föreläsningsfiler, formelblad, inlämningsuppgifter, handledningar till datorlaborationer och datorövningar o.dyl. Nytillkommen information anslås där. Studerandeexpeditionen finns på 5:e våningen till höger i matematikhuset och är säkrast öppen kl , och Sekreterare är Ann-Margret Svensson (epost: Ann- Margret.Svensson@math.lth.se, tel ) och Karin Nordgaard (epost: Karin@maths.lth.se, tel ). Tentamensupplysningar (lokaler, anmälan till omtentamen, upplysning om när rättningen beräknas vara klar), extentor mm finns på avdelningens hemsida På Vita hyllan, 5:e våningen vid hissen, finns den senaste tentamen, kursprogram, formelblad, instuderingsfrågor, tentamensupplysningar mm. Se också där du hittar kursprogram, formelblad o.dyl. Litteratur. S. Spanne, Föreläsningar i Lineära system, 1997 (KF). S. Spanne, Övningar i Lineära system, 1997 (KF). Tentamen. Preliminärt tisdagen den 11/ kl Lokal: Meddelas senare. För att bli godkänd på kursen ska både skriftlig tentamen, inlämningsuppgifter och laborationer vara godkända. När alla obligatoriska inlämningsuppgifter är godkända och datorlaborationer fullgjorda förs detta in i LADOK under rubriken Datorlaborationer. I kursplanen står det bl a: Datorlaborationer och obligatoriska inlämningsuppgifter som ska vara utförda före tentamen. Slutbetyg på kursen förs in när såväl den skriftliga tentamen som de obligatoriska momenten är avklarade. Resultatet på den skriftliga tentamen avgör slutbetyget. Inlämningsuppgifter. I kursen ingår två obligatoriska inlämningsuppgifter. Se särskild stencil. Tidpunkter då dessa ska vara inlämnade framgår av den stencilen. Inget slutbetyg erhålles om inlämningsuppgifterna ej är godkända. Arbeta i någon mån fortlöpande med inlämningsuppgifterna. 2 Torsdagen den 25/10 är det lokalen M:Q som gäller för Pi 2.

3 I programmet nedan har jag angivit när du bör ha kommit så långt i kursen att det går att börja arbeta med uppgiften. Datorövningar. I kursen ingår två obligatoriska datorlaborationer. Under den första föreläsningen delas det bl a ut handledningar till de två datorlaborationerna. Syftet med datorlaborationerna är att du ska få ökad förståelse för vissa av de begrepp som finns i kursen. Dessutom får du förhoppningsvis en viss inblick i Matlab och Maple. För att kunna lösa vissa inlämningsuppgifter behöver du kunna använda vad du lärt dig under datorlaborationerna. Under den skriftliga tentamen får dock inga datorer eller miniräknare användas. Erfarenheter från laborationerna kan dock vara värdefulla. Papper, penna och utdelat formelblad ska räcka för att lösa de sex uppgifterna på salsskrivningen. Under den andra föreläsningen får du tillfälle att välja tid för laborationer. Skriv upp den tid och lokal du valt. Följande alternativ finns att välja på: Lab Program Alternativa tider och lokaler nr Datum Kl Lokal 6/ E:Elgkalv, E:Lo och E:Val 1 I 8/ E:Elgkalv och E:Val 9/ E:Elgkalv 1 F, N, Pi 6/ E:Elgkalv och E:Val 7/ E:Elgkalv och E:Lo 20/ E:Elgkalv, E:Lo och E:Val 2 I 22/ E:Elgkalv och E:Val 23/ E:Elgkalv 2 F, N, Pi 20/ E:Elgkalv och E:Val 21/ E:Elgkalv och E:Lo Efter den andra föreläsningen anslår jag (JG) listorna på anslagstavlan mellan ingångarna till föreläsningssal MH:C. Bokningar på platser, som inte finns, gäller inte. Hittar ni ingen plats så vänd er till mig. Det är viktigt att du är väl förberedd inför laborationerna. Vad du förväntas kunna framgår av handledningarna. Den närvarande handledaren kan ställa kontrollerande frågor.

4 Plan för undervisningen: Vecka Dag Verksamhet 43 M F Kapitel 1 2; Exempel på tidsdiskreta system (Td) 3 ; Övn 1.6, 2.5 Ti Ö 1.1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12; 2.1, 2.4; Läxa 4 : 3.1abc(d), (10) On F Kapitel ; Övn 3.32 To Ö 3.2 acf, 5acf, 3, 11acf, 12ad, 29, 30, 31, (35), (39), Td 1, 2 F F Kapitel ; Övn 3.6, 3.7, 3.8, (3.9), 3.28 F Inl M F Kapitel ; Övn 4.6, 4.7; Ti Ö 3.13a, 15, (18), (20), (27), 41; 4.1aceh, 2aceh, 3, 4, 5, 8a e; Td 3, 4 Läxa: 4.14 Ti Inl (efter övningen) On F Td; Kapitel ; Satserna utan bevis; Td 5; Övn 5.11; Td 6 To Ö 4.14; 5.1abc, 2, 3, (4), 5, 6, 7, 8, 17 F F Övn 5.9, 5.18 ; Kapitel ; Övn 9.3 g, h; 45 M F Td; Kapitel ; Övn 9.8 och ev övn 9.12 M Datorlaboration 1 denna vecka Ti Ö 5.20, 21, 34; nr ; 9.1, 2, 3a f,i, 4, 5, 6, On F Kapitel , Td, ; Övn 9.12, 9.18, O Inl 1 1.2, 1.3, 1.5 To Ö 9.10, (11), 13, 14, 17; 10.1, 2, 3, 4, 7, 1a (igen via 7 och 4) F F Kapitel ; Övn 10.8, 10.10a, F Inl M F Kapitel ; Övn 11.9 Ti Ö 10.10d, 11, 14; 11.1, (3), 5, 6, 7, 10, 11, 12 Ti Inl a, b, c; 2.3 a, b, c; On F Kapitel , ; Övn 11.22, O Inl 1 Lämna in inlämningsuppgift 1 senast kl 17. To Ö 11.13, 14, 15, 16, 25, 26, 27, (30); 12.1, 2 To Inl d, e; 2.2 F F Kapitel 12.4, , Övn 12.3, Tidsdiskreta system behandlas inte i den upptagna kurslitteraturen men däremot på föreläsningar (se manus), övningar, datorlaborationer och tentamen. 4 Egenvärden och egenvektorer känner du från kapitel 10 i linjär algebra. Likaså koordinatbyten. 5 Inlämningsuppgift 1. Du kan börja fundera på problemen som anges här. 6 Inlämningsuppgift 2. Du kan börja fundera på problemen som anges här.

5 Vecka Dag Verksamhet 47 M F Kapitel ; Övn 13.10, 13.12, Ti Datorlaboration 2 denna vecka Ti Ö 12.9, 10, (11) (Använd differentialekvationen i 11.32), 20, 25; 13.1, 3, (4), 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, (2a) Ti Inl f, g, h O F Kapitel 13.10,13.13, ; Övn 13.26, 13.31, O/To/F Inl d (efter laborationen) To Ö , 23, 25, 30b, 32, 33, 36, 37, 39, (40); , 7 F F Kapitel ; Övn 14.9, 14.15d 48 M F Kapitel ; Övn 14.24, 33, 35, M Inl 2 Lämna in inlämningsuppgift 2 senast kl 17. Ti Ö 14.11, 12, 13, 14 15abc, 16abc, 17, 19, 21, 22, (23), 27 On F Kapitel ; Övn 14.46, To Ö 14.29, 30, 31, 41, 44, 45, 50acd, 52, 54, 56; F F Kapitel 6, 7 49 M F Kapitel 7; Ti Ö 6.(11), 16, 17, 18, 25, (26, 27), 28, 29, 30, 31, On F Reserv, Övn 7.18, 7.28, 7.37 To Ö 7.1, 7, 8, 11, 12adef, 23abc, 27, 35, 36 F F Extenta nr 5, För en viss matris A är e ta = e t 12t e t + 1 6t 3e t + 3 6t 3e t t 3e t t 9e t t. e t 1 18t e t + 1 9t 3e t + 4 9t a) Är A diagonaliserbar? b) Är A inverterbar? c) Lös systemet dx dt = Ax, x(0) = d) Är systemet dx dt e) Har systemet = Ax stabilt, neutralt stabilt eller instabilt? dx dt = Ax + e 2t f där f T = [ ] någon generaliserat stationär lösning? Bestäm i så fall denna.

6 Svar: Matrisen A har egenvärdena 0, 0, 1. a) Nej, ty exponentialmatrisen innhåller termer av typ te 0t. b) Nej, ty det A = λ 1 λ 2 λ 3 = 0. c) Systemet har lösningen x(t) = e ta x(0) = e ta = 2e t 2 6e t + 7 2e t 3. d) Systemet är instabilt. Exempelvis ger begynnelsevärdet x(0) = [ ] T lösningen x(t) = [ e t 12t 3e t 2 21t e t 1 18t ] T. Denna lösning är ej begränsad för stora t. e) Ja eftersom 2 ej är egenvärde till A. Den generaliserat stationära lösningen (då s = 2) är x gstat (t) = ( 2I A) 1 f e 2t. Se sats 4.6 sidan 73. Eftersom f = [ ] T så är ( 2I A) 1 f första kolonnen i matrisen ( 2I A) 1. För att beräkna den första kolonnen kan du använda adjunktmetoden. Då fås 4 x gstat (t) = e 2t 12 5 En annan (möjligen enklare) lösning på delproblem e) fås i kapitel 14 via sats